Bất phương trình bậc nhất một ẩn – http://wp.ftn61.com

VnHocTap. com trình làng đến những em học viên lớp 8 bài viết Bất phương trình bậc nhất một ẩn, nhằm mục đích giúp những em học tốt chương trình Toán 8 .

Nội dung bài viết Bất phương trình bậc nhất một ẩn:
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Khái niệm về bất phương trình bậc nhất một ẩn Bất phương trình bậc nhất một ẩn là bất phương trình có dạng ax+b > 0 (hoặc ax+b < 0, ax+b ≥ 0, ax + b ≤ 0), trong đó x là ẩn, a và b là các số đã cho, a 6= 0. 2. Hai bất phương trình tương đương Hai bất phương trình được gọ là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. 3. Một số chú ý khi giải một bất phương trình Khi giải một bất phương trình, ta có thể: Chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó. Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số dương. Nhân (hoặc chia) cả hai vế với cùng một số âm và đổi chiều của bất phương trình. B CÁC DẠNG TOÁN VÍ DỤ 1. Giải bất phương trình với m là hằng: mx + 1 ≥ m2 + x. LỜI GIẢI. Biến đổi tương đương mx + 1 ≥ m2 + x ⇔ mx − x ≥ m2 − 1 ⇔ (m − 1)x ≥ m2 − 1. (1) Nếu m > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≥ m + 1. Nếu m < 1 thì nghiệm của bất phương trình là x ≤ m + 1. Nếu m = 1 thì (1) có dạng 0x ≥ 0: nghiệm của bất phương trình là mọi x. VÍ DỤ 2. Giải bất phương trình với a là hằng: x + 1 a + ax > x + 2 a − 2x. LỜI GIẢI. Điều kiện xác định của bất phương trình là a 6= 0. Biến đổi bất phương trình: x + 1 a + ax > x + 2 a − 2x ⇔ x a + 1 a + ax > x a + 2 a − 2x ⇔ ax + 2x > 2 a − 1 a ⇔ (a + 2)x > 1 a. (1) Nếu a > −2, a 6= 0 thì nghiệm của bất phương trình là x > 1 a(a + 2). Nếu a < −2 thì nghiệm của bất phương trình là x < 1 a(a + 2). Nếu a = −2 thì (1) có dạng 0x > − 1 2, nghiệm đúng với mọi x.
VÍ DỤ 3. Kí hiệu [a] (phần nguyên của a) là số nguyên lớn nhất không vượt quá a. Tìm x biết rằng ï 3x − 5 7 ò = x. LỜI GIẢI. Theo đề bài, x là số nguyên lớn nhất không vượt quá 3x − 5 7. Do đó ï 3x − 5 7 ò = x ⇔ 0 ≤ 3x − 5 7 − x < 1, (1) x Z. (2) Giải bất phương trình (1): 0 ≤ 3x − 5 7 − x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ −4x − 5 7 < 1 ⇔ 0 ≤ −4x − 5 < 7 ⇔ 5 ≤ −4x < 12 ⇔ − 5 4 ≥ x > −3. Theo (2), x Z, do đó x = −2. 1. Bài tập tự luyện BÀI 1. Tìm giá trị của x thỏa mãn cả hai bất phương trình: 2x 5 + 3 − 2x 3 ≥ 3x + 2 2 và x 2 + 3 − 2x 5 ≥ 3x − 5 6. LỜI GIẢI. Ta có 2x 5 + 3 − 2x 3 ≥ 3x + 2 2 ⇔ 12x + 10(3 − 2x) ≥ 15(3x + 2) ⇔ x ≤ 0. (1) Mặt khác x 2 + 3 − 2x 5 ≥ 3x − 5 6 ⇔ 15x + 6(3 − 2x) ≥ 5(3x − 5) ⇔ x ≤ 43 12. (2) Từ (1) và (2) ta có x ≤ 0. BÀI 2. Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình: 3x − 2 5 ≥ x 2 + 0,8 và 1 − 2x − 5 6 > 3 − x 4. LỜI GIẢI. Ta có 3x − 2 5 ≥ x 2 + 0,8 ⇔ 2(3x − 2) ≥ 5x + 8 ⇔ x ≥ 12. (1) Mặt khác 1 − 2x − 5 6 > 3 − x 4 ⇔ 12 − 2(2x − 5) > 3(3 − x) ⇔ x < 13. (2) Từ (1) và (2) ta có −12 ≤ x < 13. Vì x Z nên x = 12. BÀI 3. Tìm số nguyên x thỏa mãn cả hai bất phương trình: 2(3x − 4) < 3(4x − 3) + 16 và 4(1 + x) < 3x + 5. LỜI GIẢI. Ta có 2(3x − 4) < 3(4x − 3) + 16 ⇔ 6x − 8 < 12x + 7 ⇔ x > − 5 2. (1) Mặt khác 4(1 + x) < 3x + 5 ⇔ 4x + 4 < 3x + 5 ⇔ x < 1. (2) Từ (1) và (2) ta có − 5 2 < x < 1. Vì x Z nên x {−2; −1; 0}. BÀI 4. Cho biểu thức A = 1 1 − x + 2 x + 1 − 5 − x 1 − x 2 ã : 1 − 2x x 2 − 1. 1 Rút gọn biểu thức A. 2 Tìm x để A > 0. LỜI GIẢI. 1 Ta có A = 1 1 − x + 2 x + 1 − 5 − x 1 − x 2 ã : 1 − 2x x 2 − 1 = 1 + x + 2(1 − x) − (5 − x) 1 − x 2 · 1 − x 2 2x − 1 = −2 2x − 1, với x 6= 1 2 và x 6= ±1. 2 A > 0 ⇔ −2 2x − 1 > 0 x 6= 1 2 ; x 6= ±1 ⇔ −1 6= x < 1 2. BÀI 5. Cho biểu thức B = 1 3 + 3 x 2 − 3x ã : x 2 27 − 3x 2 + 1 x + 3ã. 1 Rút gọn biểu thức B. 2 Tìm x để B < −1. LỜI GIẢI. 1 Ta có B = 1 3 + 3 x 2 − 3x ã : x 2 27 − 3x 2 + 1 x + 3ã = x 2 − 3x + 9 3(x 2 − 3x) ã : x 2 3(3 − x)(3 + x) + 3(3 − x) 3(3 − x)(3 + x) ã = x 2 − 3x + 9 3x(x − 3) · 3(3 − x)(3 + x) x 2 − 3x + 9 = − x + 3 x, với x 6= 0; x 6= ±3. 2 B < −1 ⇔ − x + 3 x > −1 x 6= 0; x 6= ±3 ⇔ −3 x < 0 x 6= ±3 ⇔ (−x > 0, x 6= 3. BÀI 6. Giải bất phương trình x + 2 89 + x + 5 86 > x + 8 83 + x + 11 80. LỜI GIẢI. x + 2 89 + x + 5 86 > x + 8 83 + x + 11 80 ⇔ x + 2 89 + 1a + x + 5 86 + 1a > x + 8 83 + 1a + x + 11 80 + 1a ⇔ (x + 91) 1 89 + 1 86 − 1 83 − 1 80ã > 0 ⇔ x < −91. BÀI 7. Giải các bất phương trình với a là hằng: 1 2(x + 2) < a(a + x); 2 a(x − a) ≤ x − 1; 3 2x a 2 − a + 1 − 1 2a + 2 < 4x − 1 2a 2 − 2a + 2 + a − 2ax 1 + a 3. LỜI GIẢI. 1 Ta có 2(x + 2) < a(a + x) ⇔ (a + 2)x < a2 − 4. Nếu a > −2 thì x < a − 2. Nếu a < −2 thì x > a − 2. Nếu a = −2: Vô nghiệm. 2 Ta có a(x − a) ≤ x − 1 ⇔ (a − 1)x ≤ a 2 − 1. Nếu a > 1 thì x ≤ a + 1. Nếu a < 1 thì x ≥ a + 1. Nếu a = 1 thì 0x ≤ 0, nghiệm đúng với mọi x. 3 Điều kiện: a 6= −1. Ta có 2x a 2 − a + 1 − 1 2a + 2 < 4x − 1 2a 2 − 2a + 2 + a − 2ax 1 + a 3 ⇔ a 2(1 + a 3) (4x − a) < 0 ⇔ a a + 1 (4x − a) < 0. Nếu a = 0 thì bất phương trình vô nghiệm. Nếu a a + 1 > 0 (tức là a < −1 hoặc a > 0) thì x < a 4. Nếu a a + 1 < 0 (tức là −1 < a < 0) thì x > a 4. BÀI 8. Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình sau là số dương: m + 1 x − 1 = 1 − m.
LỜI GIẢI. Điều kiện xác định: x 6= 1. Đưa phương trình về dạng (1 − m)x = 2. Nếu m = 1, phương trình vô nghiệm. Nếu m 6= 1 thì x = 2 1 − m. Giải điều kiện x 6= 1 ta được m 6= −1. Nghiệm của phương trình là x = 2 1 − m với m 6= ±1. Phương trình có nghiệm là số dương ⇔ (m < 1, m 6= −1. BÀI 9. Tìm giá trị của m để nghiệm của phương trình 4mx > x + 1 là a) x > 9; b) x < −5. LỜI GIẢI. Ta có 4mx > x + 1 ⇔ (4m − 1)x > 1. (1) Nếu m = 1 4 thì (1) vô nghiệm. Nếu m > 1 4 thì nghiệm của (1) là x > 1 4m − 1. Nếu m < 1 4 thì nghiệm của (1) là x < 1 4m − 1. 1 Để nghiệm của (1) là x > 9, cần và đủ là: m > 1 4 1 4m − 1 = 9 ⇔ m > 1 4 m = 5 18 ⇔ m = 5 18. 2 Để nghiệm của (1) là x < −5, cần và đủ là: m < 1 4 1 4m − 1 = −5 ⇔ m < 1 4 m = 1 5 ⇔ m = 1 5. BÀI 10. Có bao nhiêu số tự nhiên n nằm giữa 1 và 2000 sao cho phân số n 2 + 7 n + 4 không phải là phân số tối giản? LỜI GIẢI. Ta có A = n 2 + 7 n + 4 = (n + 4)(n − 4) + 23 n + 4 = n − 4 + 23 n + 4. A rút gọn được ⇔ 23 và n + 4 có ước chung khác ±1 ⇔ n + 4... 23, hay nói cách khác n = 23k − 4 với k N ∗. Ta có 1 < n < 2000 ⇔ 1 < 23k − 4 < 2000 ⇔ 5 23 < k < 87 3 23. Do k N ∗ nên k nhận 87 giá trị (là 1, 2, 3,..., 87). Vậy có 87 số tự nhiên n phải tìm. BÀI 11. Cho một dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1. Người ta xóa đi một số thì trung bình cộng của các số còn lại bằng 35 7 17. Tìm số bị xóa. LỜI GIẢI. Giả sử ta có n số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n. Nếu xóa số 1 thì trung bình cộng của các số còn lại là 2 + 3 + · · · + n n − 1 = (2 + n) (n − 1) 2 (n − 1) = 2 + n 2. Nếu xóa số n thì trung bình cộng của các số còn lại là 1 + 2 + · · · + (n − 1) n − 1 = n(n − 1) 2 (n − 1) = n 2. Ta có n 2 ≤ 35 7 17 ≤ n + 2 2 ⇔ n ≤ 70 14 17 ≤ n + 2 ⇔ 68 14 17 ≤ n ≤ 70 14 17. Do n N nên n = 69 hoặc n = 70. Với n = 70, tổng của 69 số còn lại là: 35 7 17 · 69 / N, loại. Với tổng của 69 số còn lại là: 35 7 17 · 68 = 2408. Số bị xóa là số: (1 + 2 + · · · + 69) − 2048 = 2415 − 2408 = 7.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp