Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Từ VLOS

Khi
nhân
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng

một
số
khác
0,
thì
ta
phải:

Giữ
nguyên
chiều
bất
phương
trình
nếu
số
đó
dương;
Đổi
chiều
bất
phương
trình
nếu
số
đó
âm.

Thế
còn,
khi
nhân
hai
vế
của
bất
phương
trình
với
cùng

một
biểu
thức
thì
sao?

Bạn đang đọc: Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn

Tóm tắt nội dung bài viết

Lí thuyết [sửa]
Khái niệm bất phương trình[sửa]
Bất phương trình một ẩn[sửa]
Điều kiện của một bất phương trình[sửa]
Bất phương trình chứa tham số[sửa]
Bất phương trình tương tự[sửa]
Định nghĩa[sửa]
Phép biến hóa tương tự[sửa]
Bình phương[sửa]
Hệ bất phương trình một ẩn[sửa]
BÀI TẬP[sửa]
Xem thêm[sửa]
Tài liệu tìm hiểu thêm[sửa]
Liên kết ngoài[sửa]

Lí
thuyết

[sửa]

Ở

lớp
8,
chúng
ta
đã
được

làm
quen
với
một
số
khái
niệm
liên
quan
đến
bất
phương
trình:

bất
phương
trình
một
ẩn,
tập
nghiệm
của
bất
phương
trình,
giải
bất
phương
trình,
hai
bất
phương
trình
tương
đương,

quy
tắc
biến
đổi
bất
phương
trình…
Bài
này,
chúng
ta
sẽ
tìm
hiểu
một
cách
đầy
đủ
hơn
về
các
khái
niệm
đó,
ngoài
ra
chúng
ta
còn
biết
thêm:
thế
nào
là

hệ
bất
phương
trình
một
ẩn
và
cách
giải
nó.

Khái niệm bất phương trình[sửa]

Bất phương trình một ẩn[sửa]

Cũng giống như khái niệm phương trình một ẩn, ta có định nghĩa sau về bất phương trình một ẩn :

CHÚ
Ý

Các

mệnh
đề
chứa
biến
dạng:

f(x)
>
g(x),

f(x)
≤
g(x)
và

f(x)
≥
g(x)

(2)
cũng
được
gọi
là
các
bất
phương
trình
một
ẩn.
Các
phát
biểu
trong
định
nghĩa
trên
cho
bất
phương
trình
(1),
cũng
đúng
cho
các
bất
phương
trình
(2).

Hoạt
động
1

Cho các bất phương trình sau:

a) 2x < 3; b) $|x|\leq 1$ .

1. Trong các số: $-2;\ 2{\frac {1}{2}};\ \pi ;\ {\sqrt {10}}$ , số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất phương trình (a).

2. Giải các bất phương trình (a) và (b), biểu diễn tập nghiệm của mỗi bất phương trình đó trên các trục số khác nhau và dùng

các tập con thường dùng để viết các tập nghiệm đó.

Dưới
đây,
chúng
ta
chỉ
nói
tới
bất
phương
trình
dạng

f(x)
< g(x).
Đối
với
các
bất
phương
trình
dạng

f(x)
>
g(x),

f(x)
≤
g(x)
và

f(x)
≥
g(x),
ta
cũng
có
các
kết
qủa
tương
tự.

Điều kiện của một bất phương trình[sửa]

Tương
tự
như

điều
kiện
của
phương
trình,
ta
gọi
các
điều
kiện
của
ẩn
số

x
để
các
biểu
thức

f(x)
và

g(x)
có
nghĩa
là

điều
kiện
xác
định
của
bất
phương
trình
(hay
gọi
tắt
là

điều
kiện
của
bất
phương
trình).

Chẳng hạn, điều kiện kèm theo của bất phương trình :
${\sqrt {3-x}}+{\sqrt {x+1}}\leq 3$

là
3
–

x
≥
0
và

x
+
1
≥
0.

Bất phương trình chứa tham số[sửa]

Cũng giống như phương trình chứa tham số. Trong một bất phương trình, ngoài những chữ đóng vai trò ẩn số còn hoàn toàn có thể có những chữ khác, những chữ này được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Tập nghiệm của bất phương trình hoàn toàn có thể phụ thuộc vào vào tham số .
Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số thì bất phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm những nghiệm đó .
Chẳng hạn :

Bất
phương
trình
(2m
+
1)x
–
3
< 0 có thể được coi là một bất phương trình ẩn
x
chứa
tham
số

m.
Bất
phương
trình

y2
–
2ty
+
1
≥
0

có
thể
được
coi
là
một
bất
phương
trình
ẩn

y
chứa
tham
số

t.

Bất phương trình tương tự[sửa]

Định nghĩa[sửa]

Ở lớp 8, tất cả chúng ta đã được biết thế nào là hai bất phương trình tương tự. Dưới đây, tất cả chúng ta có một định nghĩa không thiếu hơn .
Giống như phương trình tương tự, ta có :

cùng
ẩn)
được
gọi
là

tương
đương
nếu
chúng
có
cùng
tập
nghiệm.
Hai bất phương trình ( ) được gọi lànếu chúng có cùng tập nghiệm .

Nếu

f(x)
< g(x)
tương
đương
với

f1(x)
< g1(x)
thì
ta
viết:

f(x)
< g(x)
$\Leftrightarrow$

f1(x)
< g1(x)

Hoạt
động
2

Các khẳng định sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) $x+{\sqrt {x-2}}>{\sqrt {x-2}}\Leftrightarrow x>0;$

b) $({\sqrt {x-1}})^{2}\leq 1\Leftrightarrow x-1\leq 1.$

CHÚ
Ý

Khi
muốn
nhấn
mạnh
hai
bất
phương
trình
có
cùng
điều
kiện
xác
định
là

D
và
tương
đương
với
nhau,
ta
nói:

Hai
bất
phương
trình
tương
đương
trên

D,
hoặc
Với
điều
kiện

D,
hai
bất
phương
trình
là
tương
đương
với
nhau.

VÍ
DỤ.
Với
điều
kiện

x
>
2,
ta
có
${\frac {1}{x-2}}>1\Leftrightarrow 1>x-2.” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/2/8/2/282b2c978fd3003999fb3c6e08d48a6f.png”/> </dd> </dl> </dd> </dl> </dd> </dl> </dd> </dl> <h4><span id=$ Phép biến hóa tương tự[sửa]

Cũng
như
với

phương
trình,
để
giải
một
bất
phương
trình
ta
liên
tiếp
biến
đổi
nó
thành
những
bất
phương
trình
tương
đương
cho
đến
khi
được
bất
phương
trình
đơn
giản
nhất
mà
ta
có
thể
viết
ngay
tập
nghiệm.
Các
phép
biến
đổi
như
vậy,
không
làm
thay
đổi
tập
nghiệm
của
bất
phương
trình,
được
gọi
là
các

phép
biến
đổi
tương
đương.

Mở rộng từ những quy tắc đổi khác bất phương trình đã biết, ta có 1 số ít phép đổi khác tương tự sau, thường được sử dụng khi giải bất phương trình .

Cộng / trừ hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm biến hóa điều kiện kèm theo của bất phương trình ta được một bất phương trình tương tự .

$P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x)+f(x)<Q(x)+f(x)$

NHẬN
XÉT.

Nếu
cộng
hai
vế
của
bất
phương
trình

P(x)
< Q(x) + f(x)
với
biểu
thức

-f(x)
ta
được
bất
phương
trình

P(x)
–
f(x)
< Q(x).
Do
đó:

P(x)<Q(x)+f(x)\Leftrightarrow P(x)-f(x)<Q(x)

Như
vậy,
chuyển
vế
và
đổi
dấu
một
hạng
tử
trong
một
bất
phương
trình
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.

VÍ
DỤ
1

$(x-1)^{3}>2x^{2}+2x-1\,” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/8/3/2/83225e0924fe150c11acf850d405568d.png”/> Xét bất phương trìnhTa có : <img alt=$ 2x^{2}+2x-1″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/c/b/a/cbaa7ca94f362099b0f8a6cc4a2959f1.png”/>

(Biến
đổi
đồng
nhất)

$\Leftrightarrow x^{3}-3x^{2}+3x-1>2x^{2}+2x-1″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/9/b/9/9b90cccd5eed741cf18ff1ec74ff17a0.png”/> (Biến đổi đồng nhất) <img alt=$ 0″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/f/0/f/f0f33b17a04db36034f7af8bc17d4c5b.png”/>

(Chuyển
vế
và

đổi
dấu
hạng
tử)

Xem thêm: Bộ Kế hoạch Đầu tư Tiếng Anh là gì?

$\Leftrightarrow x^{3}-5x^{2}+x>0″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/f/1/e/f1e09c2109053bc260bc000036044955.png”/> (Biến đổi đồng nhất) </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table width=$

luôn
nhận
giá
trị
dương
(mà
không
làm
thay
đổi
điều
kiện
của
bất
phương
trình)
ta
được
một
bất
phương
trình
tương
đương.
Nhân / chia hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( mà không làm đổi khác điều kiện kèm theo của bất phương trình ) ta được một bất phương trình tương tự .

$P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P(x).f(x)<Q(x).f(x)$

nếu
$f(x)>0,\ \forall x” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/6/d/2/6d2f588518dc4dde82758ece0eda4de1.png”/> Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. <img alt=$ Q(x).f(x)” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/2/7/8/2780d99dda02532850923fb3b95c30a9.png”/>

nếu
$f(x)<0,\ \forall x$

VÍ
DỤ
2

(x^{2}+2)(x+1)<2x(x^{2}+2)\,

a ) Bất phương trình

$\Leftrightarrow {\frac {(x^{2}+2)(x+1)}{x^{2}+2}}<{\frac {2x(x^{2}+2)}{x^{2}+2}}$

(Chia
cả
hai
vế
cho
$x^{2}+2>0,\ \forall x” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/1/e/7/1e74cbc9ea5b4522358fd531fc8a4974.png”/> ) x + 1 < 2x. b) Bất phương trình <img decoding=$

$\Leftrightarrow {\frac {(-x^{2}-1)(x+{\frac {1}{x}})}{-x^{2}-1}}\geq {\frac {3(x^{2}+1)}{-x^{2}-1}}\,$
(Chia
cả
hai
vế
cho
$-x^{2}-1<0,\ \forall x$
,

đổi
chiều
bất
phương
trình.)

$\Leftrightarrow x+{\frac {1}{x}}\geq -3.$

Bình phương[sửa]

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm biến hóa điều kiện kèm theo của nó ta được một bất phương trình tương tự .

$P(x)<Q(x)\Leftrightarrow P^{2}(x)<Q^{2}(x)$

nếu
$P(x)\geq 0,\ Q(x)\geq 0,\forall x$
nếu

VÍ
DỤ
3

${\sqrt {x^{2}+2x+2}}>{\sqrt {x^{2}-2x+3}}” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/e/9/0/e903367e2dc22bb7c4bc09e3db3730a0.png”/> Giải bất phương trình</td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table width=$

Lời
giải

x.
Bình
phương
hai
vế
bất
phương
trình
này
ta
được:
Hai vế của bất phương trình đều có nghĩa và dương với mọi. Bình phương hai vế bất phương trình này ta được :

$\Leftrightarrow ({\sqrt {x^{2}+2x+2}})^{2}>({\sqrt {x^{2}-2x+3}})^{2}” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/c/e/8/ce8cc6f8a2d4282dd7c99e9d84c1d62f.png”/> <img alt=$ x^{2}-2x+3″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/5/5/0/5509890dd79e7ea01010afd7550fb340.png”/>

$\Leftrightarrow 4x>1″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/a/7/4/a74090fd0397b3489d459c16a8d3dcd0.png”/> <img alt=$ {\frac {1}{4}}.” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/1/c/f/1cf657372af4ffd9bc28a778f25b3df8.png”/>

Vậy
nghiệm
của
bất
phương
trình
là
$x>{\frac {1}{4}}.” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/c/3/c/c3ca4f99451de65a08ea617b2674de8c.png”/> </td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <h3><span id=$ Hệ bất phương trình một ẩn[sửa]

Có
những
bài
toán
yêu
cầu
tìm
các
giá
trị
của
ẩn
số

x
thỏa
mãn

đồng
thời
nhiều
bất
phương
trình.
Nói
cách
khác,
khi
đó
ta
cần
giải
một

hệ
bất
phương
trình
ẩn

x.

Mỗi
số
thực

x
đồng
thời
là
nghiệm
của

tất
cả
các
bất
phương
trình
của
hệ
được
gọi
là
một

nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình.

Giải
hệ
bất
phương
trình
là
tìm
tập
nghiệm
của
nó.

Hiển nhiên, tập nghiệm của một hệ bất phương trình là giao của toàn bộ những tập nghiệm của những bất phương trình trong hệ. Do đó :

Muốn
giải
hệ
bất
phương
trình
một
ẩn,
ta
giải
từng
bất
phương
trình
của
hệ
rồi

lấy
giao
của
các
tập
nghiệm
thu
được.

VÍ
DỤ
4

${\begin{cases}3-x\geq 0\qquad \qquad \qquad &(1)\\x+2>0\qquad \qquad \qquad &(2)\\2x-1\geq 0.\qquad \qquad \qquad &(3)\end{cases}}” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/d/9/2/d92fc0921539d6eac691a1676d1720a0.png”/> Giải hệ bất phương trình</td> </tr> <tr> <td> </td> </tr> </table> <table width=$

Lời
giải

Giải lần lượt từng bất phương trình của hệ, ta có :

3-x\geq 0\Leftrightarrow 3\geq x\Leftrightarrow x\leq 3

x+2>0\Leftrightarrow x>-2″ class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/8/f/9/8f97ffda11b4dfcdc86cb4afe9b479e4.png”/></dd> </dl> <dl> <dd> <img decoding=

Biểu
diễn
trên
trục
số:

Tập
nghiệm
của
(1)
là:

Tập nghiệm của ( 1 ) là : Tập nghiệm của ( 2 ) là : Tập nghiệm của ( 3 ) là : Giao của ba tập nghiệm là :

Vậy
tập
nghiệm
của
hệ
là:
$\left[{\frac 12};3\right]$
hay
còn
có
thể
viết
là
${\frac 12}\leq x\leq 3$
.

CHÚ
Ý

Trong
thực
hành,
để
cho
gọn
ta
chỉ
cần
biểu
diễn
các
tập
nghiệm
của
các
bất
phương
trình
của
hệ
trên
một
trục
số.
Khi
đó,
ta
gạch
đi
các
điểm
(phần)
không
thuộc
tập
nghiệm
của
từng
bất
phương
trình
trong
hệ,
phần
còn
lại
sẽ
biểu
diễn
tập
nghiệm
cần
tìm
và
lời
giải
trên
có
thể
trình
bày
lại
như
sau:

Ta
có:

${\begin{cases}3-x\geq 0\\x+2>0\\2x-1\geq 0\end{cases}}\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{cases}3\geq x\\x>-2\\x\geq {\frac 12}\end{cases}}\qquad \qquad \qquad (I)” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/c/2/c/c2c7dc8c7c85cf1c687a98dcb25c7d67.png”/> <dl> <dd> <dl> <dd> <dl> <dd> <dl> <dd> Suy ra, <img decoding=$

Vậy
tập
nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình
là:

BÀI TẬP[sửa]

1.
Một
bạn
lập
luận
như
sau:
Do
hai
vế
của
bất
phương
trình
${\sqrt {x-1}}<|x|$
luôn
không
âm
nên
bình
phương
hai
vế,
ta
được
bất
phương
trình
tương
đương
$x-1<x^{2}$
.
Theo
em,
lập
luận
trên
có
đúng
không?
Vì
sao?

2. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra tập nghiệm của mỗi bất phương trình sau:
a) ${\sqrt {x}}>-{\sqrt {x}};” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/f/d/2/fd228e83b7effca6b960a42b52dcabf4.png”/> </td> <td> b)<br /> <img decoding=$
c) $x+{\frac {1}{x-3}}\geq 2+{\frac {1}{x-3}}$	d) ${\frac {x}{{\sqrt {x-2}}}}<{\frac {2}{{\sqrt {x-2}}}}.$

3.
Trong
hai
bất
phương
trình
sau
đây,
bất
phương
trình
nào
tương
đương
với
bất
phương
trình
2x
–
1
≥
0:

$2x-1+{\frac {1}{x-3}}\geq {\frac {1}{x-3}}$
và
$2x-1-{\frac {1}{x+3}}\geq -{\frac {1}{x+3}}$

4.
Trong
bốn
cặp
bất
phương
trình
sau
đây,
hãy
chọn
ra
các
cặp
bất
phương
trình
tương
đương
(nếu
có):

a)

x
–
2
>
0
và

x^{2}(x-2)<0;

b)

x
–
2
< 0 và

x^{2}(x-2)

>
0;

c)

x
–
2
≤
0
và

≤
0;

d)

x
–
2
≥
0
và

≥
0;

5. Giải các bất phương trình sau:
a) ${\frac {3x+1}{2}}-{\frac {x-2}{3}}<{\frac {1-2x}{4}};$	b) $(2x-1)(x+3)-3x+1\leq (x-1)(x+3)+x^{2}-5;$
c) ${\frac {x+2}{3}}-x+1>x+3;” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/d/b/4/db459eab4a8d8fb971aaf88edde47908.png”/> </td> <td> d)<br /> <img decoding=$
e) $(1-{\sqrt {2}})x<3-2{\sqrt {2}};$	f) $(x+{\sqrt {3}})^{2}\geq (x-{\sqrt {3}})^{2}+2;$

6. Giải hệ bất phương trình:
a) ${\begin{cases}5x-2>4x+5\\5x-4<x+2;\end{cases}}$	b) ${\begin{cases}2x+1>3x+4\\5x+3\geq 8x-9;\end{cases}}” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/5/2/7/527a159ea38410d3d853efe83fad152a.png”/> </td> </tr> <tr> <td> c)<br /> <img decoding=$	d) ${\begin{cases}(1-x)^{2}>5+3x+x^{2}\\(x+2)^{2}<x^{3}+6x^{2}-7x-5;\end{cases}}$
e) ${\begin{cases}{\cfrac {4x-5}7}<x+3\\{\cfrac {3x+8}4}>2x-5;\end{cases}}” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/d/b/7/db70ae7f7224549eb3278333874f2933.png”/> </td> <td> f)<br /> <img decoding=$
g) ${\begin{cases}15x-2>2x+{\cfrac 13}\\2(x-4)<{\cfrac {3x-14}2};\end{cases}}$	h) ${\begin{cases}x-1\leq 2x-3\\3x<x+5\\{\cfrac {5-3x}2}\leq x-3.\end{cases}}$

Xem thêm[sửa]

Tài liệu tìm hiểu thêm[sửa]

Sách
in:
- Đại
  số
  10,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  2006,
  trang
  80.
- Đại
  số
  10
  Nâng
  cao,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  2006,
  trang
  113
  và
  117.
- Đại
  số
  10,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  2001,
  trang
  78
  và
  88.
- Tài
  liệu
  giáo
  khoa
  thí
  điểm,
  Đại
  số
  10,
  Ban
  khoa
  học
  tự
  nhiên,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  1997,
  trang
  124
  và
  143.

Xem thêm: Nước Úc Tiếng Anh Là Gì – Nước Úc Trong Tiếng Anh Là Gì

Liên kết ngoài[sửa]

Bất
phương
trình
trên
Wikipedia.

< < < Đại số 10

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp

Xem Thêm Thuốc omeptul 20mg là thuốc gì, công dụng ra sao?

« Cách cân bằng phương trình hóa học lớp 10

Công thức & Cách điều chế nước Javen (ĐÚNG CHUẨN) »

Đại số 10/Chương IV/§2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn