TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ TAM THỨC BẬC HAI LUÔN DƯƠNG, LUÔN ÂM

TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ TAM THỨC BẬC HAI LUÔN DƯƠNG, LUÔN ÂM

Từ định lí về dấu tam thức bậc hai tất cả chúng ta hoàn toàn có thể giải được những phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó hoàn toàn có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện kèm theo của tham số để tam thức bậc 2 ( bất phương trình bậc hai ) luôn dương, luôn âm với mọi x thuộc ℝ, tìm điều kiện kèm theo để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực x, tìm điều kiện kèm theo để bất phương trình vô nghiệm … Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp trung học phổ thông .
Nếu bài viết hữu dụng, bạn hoàn toàn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào những banner quảng cáo. Xin cảm ơn !

Cách giải Phương trình bậc hai với máy tính Casio

1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c, tìm điều kiện của tham số m để f(x)>0 với mọi x thuộc ℝ.

Để xử lý bài toán trên, tất cả chúng ta cần xét hai trường hợp :

Khi a=0, ta kiểm tra xem lúc đó f(x) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
Khi a≠0, thì f(x) là một tam thức bậc hai, nên f(x)>0 với mọi x∈ℝ khi và chỉ khi
{a>0Δ<0

Tương tự, tất cả chúng ta có những bài toán sau :
Bài toán 2. Cho f ( x ) = ax2 + bx + c, tìm điều kiện kèm theo của tham số m để f ( x ) < 0 với mọi x thuộc ℝ .
Cần xét hai trường hợp :

Kiểm tra khi a=0.
Khi a≠0, thì f(x)>0 với mọi x∈ℝ tương đương với
{a<0Δ<0

Bài toán 3. Cho f ( x ) = ax2 + bx + c, tìm điều kiện kèm theo của tham số m để f ( x ) ≥ 0 với mọi x thuộc ℝ .
Xét hai trường hợp :

Khi a=0, ta kiểm tra xem lúc đó f(x) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
Khi a≠0, thì f(x)>0 với mọi x∈ℝ tương đương với
{a>0Δ≤0

Bài toán 4. Cho hàm số f ( x ) = ax2 + bx + c, tìm điều kiện kèm theo của tham số m để f ( x ) ≤ 0 với mọi x thuộc ℝ .
Để xử lý bài toán trên, tất cả chúng ta cần xét hai trường hợp :

Khi a=0, ta kiểm tra xem lúc đó f(x) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
Khi a≠0, thì f(x)>0 với mọi x∈ℝ tương đương với
{a<0Δ≤0

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số f ( x ) = 3×2 + x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ .
Hướng dẫn. Hàm số f ( x ) = 3×2 + x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi
{ a = 3 > 0 Δ = − 12 m − 11 < 0
Giải hệ này, từ đó tìm được đáp số m < − 1112 .
Ví dụ 2. Tìm m để biểu thức sau luôn dương với mọi x
f ( x ) = ( m − 1 ) x2 + ( 2 m + 1 ) x + m + 1 .
Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp :

Trường hợp 1. m−1=0⇔m=1. Lúc này bất phương trình f(x)>0 tương đương với 3x+2>0⇔x>−23 Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài (đề bài yêu cầu là f(x)>0 với mọi x∈R), do đó m=1 không thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2. m≠1, khi đó  f(x)>0,∀x∈ℝ tương đương với ⇔{m−1>0Δ=4m+5<0{m>1m<−54 Rất tiếc hệ này cũng vô nghiệm.
Tóm lại, không tìm được giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm
Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi x thuộc ℝ thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau

Bất phương trình f(x)>0 vô nghiệm tương đương với
f(x)≤0,∀x∈ℝ

Bất phương trình f(x)<0 vô nghiệm tương đương với
f(x)≥0,∀x∈ℝ

Bất phương trình f(x)≥0 vô nghiệm tương đương với
f(x)<0,∀x∈ℝ

Bất phương trình f(x)≤0 vô nghiệm tương đương với
f(x)>0,∀x∈ℝ

Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây tất cả chúng ta sử dụng những hiệu quả trên để xử lý 1 số ít bài tập .
Ví dụ 1. Tìm tổng thể những giá trị của tham số m để bất phương trình
( m − 1 ) x2 + 2 ( m − 1 ) x + 1 ≥ 0
nghiệm đúng với ∀ x ∈ ℝ .
Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ thì cũng chính là
f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ ,
trong đó f ( x ) = ( m − 1 ) x2 + 2 ( m − 1 ) x + 1. Do đó, tất cả chúng ta xét hai trường hợp :

Trường hợp 1. Khi m=1, bất phương trình trở thành
0x2+0x+1≥0

Rõ ràng bất phương trình này luôn đúng với mọi x∈ℝ. Nên giá trị m=1 thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2. Khi m≠1, thì f(x) là tam thức bậc hai nên f(x)≥0,∀x∈ℝ khi và chỉ khi
⇔⇔{m−1>0(m−1)2−(m−1)≤0{m>1m2−3m+2≤0{m>11≤m≤2⇔1<m≤2< p=””>
Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, tất cả chúng ta có đáp số m ∈ [ 1 ; 2 ] .
Ví dụ 2. Cho hàm số f ( x ) = ( m − 1 ) x2 + 2 mx − 3 trong đó m là tham số. Tìm toàn bộ giá trị của m để bất phương trình f ( x ) > 0 vô nghiệm .
Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp :

Khi m=1, bất phương trình f(x)>0 trở thành
2x−3>0⇔x>32.

Suy ra m=1 không thỏa mãn yêu cầu.
Khi m≠1 thì f(x) là tam thức bậc hai. Yêu cầu bài toán tương đương với
f(x)≤0,∀x∈ℝ

Điều kiện cần và đủ là
{m−1<0Δ′=m2+3(m−1)≤0

Giải hệ bất phương trình trên, tìm được đáp số m∈[−3−21√2;−3+21√2].
Ví dụ 3. Cho f(x)=(m−2)x2−2(2−m)x+2m−1, với m là tham số.

Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình f(x)=0 nhận x=−2 làm nghiệm.
Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y=f(x)‾‾‾‾√ được xác định với mọi giá trị của x∈ℝ.
Hướng dẫn.

1. Phương trình f ( x ) = 0 nhận x = − 2 làm nghiệm khi và chỉ khi f ( − 2 ) = 0. Điều này tương tự với
( m − 2 ) ( − 2 ) 2 − 2 ( 2 − m ) ( − 2 ) + 2 m − 1 = 0 ⇔ m = 12
Vậy m = 12 là giá trị cần tìm .
2. Hàm số y = f ( x ) ‾ ‾ ‾ ‾ √ được xác lập với mọi giá trị của x ∈ ℝ khi và chỉ khi :
f ( x ) ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ

⇔(m−2)x2−2(2−m)x+2m−1≥0,∀x∈ℝ(1)

Chúng ta xét hai trường hợp :

Trường hợp 1: m−2=0⇔m=2 thì (1) có dạng 3≥0,∀x∈ℝ (luôn đúng)
Trường hợp 2: m−2≠0⇔m≠2. Lúc đó (1) xảy ra khi và chỉ khi:
⇔⇔⇔⎧⎩⎨⎪⎪m≠2Δ′≤0m–2>0{m>2(2–m)2–(m–2)(2m–1)≤0{m>2(2–m)(m+1)≤0⎧⎩⎨⎪⎪m>2[m≤–1m≥2⇔m>2

Kết luận : Vậy những số thực m ≥ 2 thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
</m≤2<>

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp

Từ khóa tìm kiếm: tam thức bậc 2 luôn âm khi nào,phương trình bậc 2 luôn dương khi nào,điều kiện để tam thức bậc 2 luôn âm,tam thức bậc 2 luôn dương khi nào,điều kiện để f(x) 0 với mọi x thuộc r,tìm điều kiện để tam thức bậc 2 luôn dương luôn âm,fx 0 với mọi x thuộc r lúc nào,điều kiện de tam thức bậc 2 luôn dương,điều kiện của tam thức bậc 2,luôn dương là dấu gì,bất phương trình luôn dương,điều kiện để bất phương trình luôn dương,tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm,điều kiện tam thức bậc 2,tìm m để bất phương trình luôn dương,tam thức ko dương với mọi x khi,f(x) luôn âm lúc nào,điều kiện để phương trình luôn dương,để phương trình luôn dương,tam thức dương với mọi x lúc,tam thức bậc 2 luôn âm,điều kiện để phương trình luôn âm,điều kiện để tam thức bậc 2 vô nghiệm,nghiệm luôn dương,phương trình bậc hai luôn âm khi nào,tam thức âm với mọi x lúc,luôn âm là như thế nào,tam thức bậc 2 âm khi nào,tam thức bậc hai luôn dương,các điều kiện của tam thức bậc hai,tam thức bậc hai luôn âm khi nào,tam thức luôn âm lúc nào,điều kiện để f(x) không âm,tam thức fx dương với mọi x lúc,điều kiện để f(x) luôn âm,điều kiện để tam thức luôn dương với mọi x,để tam thức bậc hai luôn âm,luôn ko dương,pt bậc 2 luôn dương,điều kiện để fx luôn âm,luôn âm,điều kiện để tam thức bậc 2 luôn dương,luôn dương là gì,tam thức luôn dương với mọi x là,tìm m để phương trình luôn dương,luôn dương có bằng 0 ko,tìm m để tam thức bậc 2 luôn dương,để tam thức bậc 2 luôn dương,biểu thức luôn dương lúc nào,tìm m để fx luôn dương,tam thức bậc hai luôn dương khi nào,f(x) 0 lúc nào,phương trình luôn dương,hai luôn,điều kiện để phương trình bậc hai luôn dương,tìm m để f(x) luôn dương,tam thức luôn âm với mọi x thuộc r,điều kiện để biểu thức luôn dương,tam thức luôn dương với mọi x