Công thức giải phương trình chứa căn

Có nhiều dạng bài tập về căn thức như : rút gọn biểu thức, tính giá trị của biểu thức, giải phương trình, hệ phương trình, … Tuy nhiên, trong bài viết này tất cả chúng ta tập trung chuyên sâu tìm hiểu và khám phá cách giải phương trình chứa dấu căn, qua đó vận dụng giải một số ít bài tập về phương trình chứa căn thức để rèn luyện kỹ năng và kiến thức giải toán .

I. Kiến thức cần nhớ khi giải phương trình chứa dấu căn

$small A^{2}=B^2Leftrightarrow A=pm B$

Bạn đang đọc: Công thức giải phương trình chứa căn

$small sqrt{A}=BLeftrightarrow left{egin{matrix} Bgeq 0 A=B^2 end{matrix} ight.$

$small sqrt{A^2}=BLeftrightarrow left | A ight |=B$

$small sqrt{frac{A}{B}}=frac{sqrt{A}}{sqrt{B}}, : (Ageq 0,B 0)$

II. Cách giải Phương trình có chứa dấu căn

1.Giải phương trình chứa căn thức dạng:với e 0 là hằng số

i) Trường hợp:hoặc $small f(x)=frac{ax+b}{cx+d}$ thì:

+ Bước 1: Tìm điều kiện của x để f(x) 0

+ Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn.

+ Bước 3: Giải phương trình để tìm nghiệm x thỏa mãn điều kiện

* Ví dụ 1 (Bài 25 trang 16 SGK Toán 9 Tập 1):Tìm x?

a) b)

c) d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$

° Lời giải:

a)(*)

– Điều kiện : x 0, khi đó bình phương 2 vế ta có :

– Ta thấy x = 4 thỏa điều kiện kèm theo nên pt có nghiệm x = 4 .

b)(*)

– Điều kiện : x 0, khi đó bình phương 2 vế ta có :

$small (*)Leftrightarrow 4x=5Leftrightarrow x=frac{5}{4}$

– Ta thấy x = 5/4 thỏa điều kiện kèm theo nên pt có nghiệm x = 5/4 .

c) (*)

– Điều kiện : x – 1 0 x 1 ; khi đó ta có ( ở bày này ta hoàn toàn có thể rút gọn thông số trước khi bình phương 2 vế ) :

$small Leftrightarrow sqrt{x-1}=7Leftrightarrow (x-1)=7^2$

– Ta thấy x = 50 thỏa điều kiện kèm theo nên pt có nghiệm x = 50 .

d) $small sqrt{4(1-x)^2}-6=0$ (*)

– Vì ( 1 – x ) 2 0 x nên pt xác lập với mọi giá trị của x .

$small (*)Leftrightarrow sqrt{4(1-x)^2}=6Leftrightarrow 2left | 1-x ight |=6Leftrightarrow left | 1-x ight |=3$

Vậy phương trình có 2 nghiệm x = – 2 hoặc x = 4

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$

° Lời giải:

a) $small sqrt{frac{2x-3}{x-1}}=2$ (*)

– Điều kiện: $small frac{2x-3}{x-1}geq 0Leftrightarrow x1: hay : xgeq frac{3}{2}$

– Khi đó bình phương 2 vế ta được :

$small frac{2x-3}{x-1}=4Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

– Đối chiếu điều kiện kèm theo ( x < 1 hoặc x 3/2 ) ta thấy x = 1/2 thỏa điều kiện kèm theo, nên ta nhận nghiệm này. Kết luận pt có nghiệm x = 1/2 .

b) $small frac{sqrt{2x-3}}{sqrt{x-1}}=2$ (*)

– Điều kiện: $small left{egin{matrix} x-10 2x-3geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} x1 xgeq frac{3}{2} end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq frac{3}{2}$

– Khi đó bình phương 2 vế ta được :

$small (*)Leftrightarrow frac{2x-3}{x-1}=4 Leftrightarrow 2x-3=4(x-1)$ $small Leftrightarrow2x=1Leftrightarrow x=frac{1}{2}$

– Đối chiếu điều kiện kèm theo ( x 3/2 ) ta thấy x = 1/2 không thỏa điều kiện kèm theo này, nên ta KHÔNG nhận nghiệm này. Kết luận ptvô nghiệm .

Xem Thêm Nước Nga Tiếng Anh Là Gì ? Nước Nga Trong Tiếng Anh Là Gì

ii) Trường hợp:(*)thì ta cần kiểm tra biểu thức f(x).

+ ) Nếu f ( x ) = ax2 + bx + c = ( Ax ± B ) 2 tức là có dạng hằng đẳng thức thì KHAI CĂN, tức là :

$\small \sqrt{f(x)}=e\Leftrightarrow \sqrt{(Ax\pm B)^2}=e$ $\small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} Ax\pm B=e\\ Ax\pm B=-e \end{matrix} \right.\Rightarrow x=?$

+) Nếukhông có dạng hằng đẳng thức thì ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1: Điều kiện f(x) 0

– Bước 2: Bình phương 2 vế phương trình để khử căn thức

– Bước 3: Giải phương trình bậc 2 (bằng cách phân tích thành nhân tử đưa về pt tích).

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $dpi{100} fn_cm small sqrt{2x^2-8x+8}=3sqrt{2}$ (*)

° Lời giải:

– Vì : 2×2 – 8 x + 8 = 2 ( x2 – 4 x + 4 ) = 2 ( x – 2 ) 2 nên ta có :

$small (*) Leftrightarrow sqrt{2(x-2)^2}=3sqrt{2} Leftrightarrow sqrt{2}.sqrt{(x-2)^2}=3sqrt{2}$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-2)^2}=3Leftrightarrow left | x-2 ight |=3$

* Ví dụ 2: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-4x+6}=sqrt{11}$ (*)

° Lời giải:

– Ta thấy : x2 – 4 x + 6 = x2 – 4 x + 4 + 2 = ( x – 2 ) 2 + 2 không có dạng ( Ax ± B ) 2 nên ta thực thi như sau :
– Điều kiện : x2 – 4 x + 6 0 ( x – 2 ) 2 + 2 0 x nên biểu thức xác lập với mọi giá trị của x .
– Bình phương 2 vế phương trình ta được :

(x – 2)2+ 2 = 11(x – 2)2= 9

– Kết luận : Phương trình có 2 nghiệm x = – 1 và x = 5 .

2. Giải phương trình chứa dấu căn dạng:

* Phương pháp giải:

– Bước 1: Viết điều kiện của phương trình:

– Bước 2: Nhận dạng từng loại tương ứng với các cách giải sau:

¤ Loại 1: Nếu f(x) có dạng hằng đẳng thức (Ax± B)2 thì khai căn đưa về phương trình trị tuyệt đối để giải.

¤ Loại 2: Nếu f(x) = Ax± B và g(x) = Ex ± D thì dùng phương phápbình phương 2 vế.

¤ Loại 3: Nếu f(x) = Ax2 + Bx + C [không có dạng hằng đẳng thức(Ax± B)2] và g(x) = Ex ± D thì dùng phương pháp bình phương 2 vế.

¤ Loại 4: Nếu f(x) = Ax2+ Bx + C và g(x) = Ex2 + Dx + F thì thử phân tích f(x) và g(x) thành nhân tử, nếu chúng có nhân tử chung thì đặt nhân tử chung đưa về phương trình tích.

– Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện không sau đó kết luận nghiệm của phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

° Lời giải:

– Ta có: $small sqrt{x^{2}-10x+25}=3-x$

$small Leftrightarrow sqrt{(x-5)^2}=3-xLeftrightarrow left | x-5 ight |=3-x$

– Vậy phương trình vô nghiệm

* Ví dụ 2:Giải phương trình sau: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$ (*)

° Lời giải:

– Ta có: $small sqrt{(x-3)^2}=3-x$

Xem Thêm Siêu đồng hồ đại gia Tùng Vàng rao bán 100 tỷ 'chất' thế nào?

– Vậy phương trình có vô số nghiệm x 3 .

* Ví dụ 3:Giải phương trình sau:

° Lời giải:

– Điều kiện: $small left{egin{matrix} 2x-3geq 0 x-1geq 0 end{matrix} ight.Leftrightarrow left{egin{matrix} xgeqfrac{3}{2} xgeq 1 end{matrix} ight.Leftrightarrow xgeq frac{3}{2}$

– Bình phương 2 vế ta được :

2x – 3 = (x – 1)2 2x – 3 = x2 – 2x + 1

Xem thêm: Top 5 phần mềm kiểm tra đạo văn tốt nhất 2022

x2 – 4 x + 4 = 0 ( x – 2 ) 2 = 0 x = 2 .
– Đối chiếu với điều kiện kèm theo ta thấy x = 2 thỏa điều kiện kèm theo nên phương trình nhận nghiệm này .
– Phương trình có nghiệm x = 2 .

* Ví dụ 4:Giải phương trình sau: $small sqrt{x^2-5x-6}=x-2$ (*)

° Lời giải:

– Ta thấy : f ( x ) = x2 – 5 x – 6 không có dạng hằng đẳng thức ( Ax ± B ) 2 ( và vế phải là dạng hàm bậc 1 ) nên để khử căn ta dùng giải pháp bình phương 2 vế .

– Điều kiện: $small left{egin{matrix} x^2-5x-6geq0 x-2geq0 end{matrix} ight.$ khi đó ta bình phương 2 vế được:

– Kiểm tra x = – 10 có thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo không bằng cách thay giá trị này vào những biểu thức điều kiện kèm theo thấy không thỏa
Vậy phương trình vô nghiệm .

3. Giải phương trình chứa dấu căn dạng: $small sqrt{[f(x)]^2}pm sqrt{[h(x)]^2}=g(x)$

* Để giải phương trình dạng này ta thực hiện các bước sau:

– Bước 1:Nếu f(x) và h(x) có chứa căn thì phải có điều kiện biểu thức trong căn 0.

– Bước 2: Khử căn thức đưa phương trình về dạng pt trị tuyệt đối:|f(x)|± |h(x)| = g(x).

– Bước 3: Xét dấu trị tuyệt đối (khử trị tuyệt đối) để giải phương trình.

* Ví dụ 1: Giải phương trình:(*)

° Lời giải:

– Điều kiện : x 0 .

– Mặt khác, ta thấy: $small {x+4-4sqrt{x}}=(sqrt{x}-2)^2$ và $small {x+9-6sqrt{x}}=(sqrt{x}-3)^2$ nên ta có:

(**)

– Ta xét những trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối :

+) TH1: Nếu, ta có:

Phương trình có vô số nghiệm x 9 .

+) TH2:Nếu , ta có:

– Đối chiếu điều kiện kèm theo ta thấy x = 9 không thỏa đk nên loại .

+) TH3:Nếu

+) TH4:Nếu , ta có:

Phương trình vô nghiệm .
Kết luận : Vậy phương trình có vô số nghiệm x 9 .

* Ví dụ 2:Giải phương trình:

° Lời giải:

– Điều kiện : x 1

– Nhận thấy: $small x+3-4sqrt{x-1}=(x-1)-4sqrt{x-1}+4=(sqrt{x-1}-2)^2$

$small x+8-6sqrt{x-1}=(x-1)-6sqrt{x-1}+9=(sqrt{x-1}-3)^2$

– Đến đây xét những trường hợp giải tương tự như ví dụ 1 ở trên .

4. Cách giải một số phương trình chứa căn khác.

i) Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình chứa dấu căn.

Xem Thêm Thuốc metasone là thuốc gì? Sử dụng thế nào? | VHO

* Ví dụ 1: Giải phương trình sau:(*)

° Lời giải:

– Điều kiện : x 0

Đặt $small sqrt{x}=t,: (tgeq 0)Rightarrow x=t^2$ khi đó ta có pt (*) trở thành:

$small t^{2}-3t+2=0Leftrightarrow (t-1)(t-2)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=1 t=2 end{matrix} ight.$

– Cả 2 nghiệm t đều thỏa điều kiện kèm theo nên ta có :

( Cách giải pt bậc 2 một ẩn những em sẽ học ở nội dung bài chương sau ) .

* Ví dụ 2:Giải phương trình sau:(*)

° Lời giải:

– Điều kiện:

Đặt $small sqrt{x-2}=t,(tgeq 0)Rightarrow x-2=t^{2}Rightarrow x=t^2+2$ , khi đó pt(*) trở thành:

$small t+sqrt{t^{2}+5}=5 Leftrightarrow sqrt{t^{2}+5}=5-t,: (**)$

– Ta thấy pt ( * * ) có dạng ở mục 2 ) loại 3 ; với điều kiện kèm theo 5 – t 0 t 5 ; ta bình phương 2 vế ( * * ) được :
t2 + 5 = ( 5 – t ) 2 t2 + 5 = t2 – 10 t + 25 10 t = 20 t = 2
– Với t = 2 thỏa điều kiện kèm theo 0 t 5 nên ta có :

Phương trình có nghiệm x = 6 .

* Ví dụ 3:Giải phương trình sau: $small x^2-2x+3sqrt{x^2-2x-3}=7$ (*)

° Lời giải:

– Điều kiện : x2 – 2 x – 3 0. Khi đó ta có :

$small (*)Leftrightarrow x^2-2x-3+3sqrt{x^2-2x-3}-10=0(**)$

Đặt $small sqrt{x^2-2x-3}=t,: (tgeq 0)Rightarrow t^{2}=x^2-2x-3$ khi đó pt(**) trở thành:

$small t^2+3t-10=0Leftrightarrow (t-2)(t+5)=0Leftrightarrow left [egin{matrix} t=2 t=-5 end{matrix} ight.$

– Đối chiếu điều kiện kèm theo thì t = – 5 loại và t = 2 nhận .
Với t = 2 x2 – 2 x – 3 = 4 x2 – 2 x – 7 = 0 ( x2 – 2 x + 1 ) – 8 = 0 .

$small Leftrightarrow (x-1)^2=8Leftrightarrow left [egin{matrix} x-1=2sqrt{2} x-1=-2sqrt{2} end{matrix} ight. Leftrightarrow left [egin{matrix} x=1+2sqrt{2} x=1-2sqrt{2} end{matrix} ight.$

– Kiểm tra thấy 2 nghiệm x trên thỏa điều kiện kèm theo nên pt có 2 nghiệm. x = 1 ± 22 .

ii) phương pháp đánh giá biểu thức dưới dấu căn (lớn hơn hoặc nhỏ hơn 1 hằng số) để giải phương trình chứa căn thức.

– Áp dụng với phương trình chứa căn thức dạng: $small sqrt{[f(x)]^2+c}+sqrt{[h(x)]^2+d}=pm [g(x)]^2+e$ (với c,d>0 và c+d=e)

– PT hoàn toàn có thể cho ngay dạng này hoặc hoàn toàn có thể tách một thông số nào đó để có [ f ( x ) ] 2 ; [ h ( x ) ] 2 hay [ g ( x ) ] 2 ;

* Ví dụ: Giải phương trình sau: $small sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^4-10x^2+30}=8$ (*)

° Lời giải:

– Ta nhận thấy :

$small Rightarrow sqrt{3(x+1)^2+9}geq 3$

$small Rightarrow sqrt{5(x^2-1)^2+25}geq 5$

– Do đó: $sqrt{3x^2+6x+12}+sqrt{5x^2-10x+30}geq 8$ dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:

$small left{egin{matrix} sqrt{3x^2+6x+12}=3 sqrt{5x^4+6x^2+12}=5 end{matrix} ight. Leftrightarrow left{egin{matrix} 3(x+1)^2+9=9 5(x^2-1)^2+25=25 end{matrix} ight.$ $small Leftrightarrow left{egin{matrix} x+1=0 x^2-1=0 end{matrix} ight.Leftrightarrow x=-1$