[Định nghĩa] [Tính chất] [Công thức] Lũy thừa

Ibaitap : Qua bài [ Định nghĩa ] [ Tính chất ] [ Công thức ] Lũy thừa cùng tổng hợp lại những kiến thức và kỹ năng về lũy thừa và hướng dẫn giải thuật cụ thể bài tập vận dụng .

I.  LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

Lũy thừa với số mũ nguyên dương

Với a là số thực tùy ý, lũy thừa bậc n ( n là số nguyên dương ) của a là tích của n thừa số a .\ ( { { a } ^ { n } } = \ underbrace { a. a …… a } _ { n } \ ) ( n là thừa số )

Trong đó: a là cơ số, n là số mũ

Lũy thừa với số mũ nguyên âm và 0

Với a ≠ 0 thì \ ( { { a } ^ { 0 } } = 1, { { a } ^ { 1 } } = a, { { a } ^ { – n } } = \ frac { 1 } { a }, { { a } ^ { – 1 } } = \ frac { 1 } { a } \ )

Chú ý:

• \({{0}^{0}},{{0}^{-n}}\) không có nghĩa.
• Các tính chất trên đúng trong trường hợp số mũ nguyên hoặc không nguyên.
• Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a ≠ 0.
• Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.

II.  PHƯƠNG TRÌNH \({{x}^{n}}=b\)

Xét phương trình \ ( { { x } ^ { n } } = b \ ), ta có hiệu quả biện luận số nghiệm như sau :

Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình \({{x}^{n}}=b\) có nghiệm duy nhất.

Trường hợp n chẵn:

• \(b<0\): phương trình vô nghiệm.
• \(b=0\): phương trình có một nghiệm \(x=0\).
• \(b>0\): phương trình có hai nghiệm trái dấu \(x=\pm\sqrt[n]{b}\).

III. CĂN BẬC N

Khái niệm:

Cho n là số nguyên dương \ ( n \ left ( n \ ge 2 \ right ) \ ) và số thực a. Nếu \ ( { { a } ^ { n } } = b \ ) thì a là căn bậc n của b

Tính chất:

• \(\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\)
• \(\sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a,\forall a\)
• \(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)
• \(\sqrt[n]{{{a}^{m}}}={{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{m}}\)
• \(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}\)
• Nếu n là số nguyên dương lẻ và a < b thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\)
• Nếu n là số nguyên dương chẵn và 0 < a < b thì \(\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}\)

IV. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

Với a là số thực dương và số hữu tỉ \ ( r = \ frac { m } { n } \ ), trong đó \ ( m \ in Z, n \ in N, n \ ge 2 \ ), ta có :\ ( { { a } ^ { r } } = { { a } ^ { \ frac { m } { n } } } = \ sqrt [ n ] { { { a } ^ { m } } } \ )

Chú ý: \({{a}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a}\).

V. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ VÔ TỈ

Với a là một số dương, α là một số ít vô tỉ, ta có dãy số hữu tỉ :\ ( { { a } ^ { \ alpha } } = \ underset { n \ to + \ infty } { \ mathop { \ lim } } \, { { a } ^ { { { r } _ { n } } } } \ ) với \ ( \ alpha = \ underset { n \ to + \ infty } { \ mathop { \ lim } } \, { { r } _ { n } } \ ) .

VI. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA

Cho a, b là các số thực dương; α, β là những số thực tùy ý. Khi đó, ta có tính chất của lũy thừa:

• \({{a}^{\alpha }}.{{a}^{\beta }}={{a}^{\alpha +\beta }}\).
• \(\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{a}^{\beta }}}={{a}^{\alpha -\beta }}\).
• \({{\left( {{a}^{\alpha }} \right)}^{\beta }}={{a}^{\alpha \beta }}\).
• \({{(ab)}^{\alpha }}={{a}^{\alpha }}{{a}^{\beta }}\).
• \({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{\alpha }}=\frac{{{a}^{\alpha }}}{{{b}^{\alpha }}}\).
• Nếu a>1 thì \({{a}^{\alpha }}>{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha >\beta\).
• Nếu 0{{a}^{\beta }}\Leftrightarrow \alpha <\beta\).

VII. BÀI TẬP THAM KHẢO VỀ LŨY THỪA

Ví dụ: Rút gọn các biểu thức sau: \(\frac{{{a}^{\frac{4}{3}}}\left( {{a}^{\frac{-1}{3}}}+{{a}^{\frac{2}{3}}} \right)}{{{a}^{\frac{1}{4}}}\left( {{a}^{\frac{3}{4}+{{a}^{\frac{-1}{4}}}}} \right)}\); \(\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}}\).

Lời giải tham khảo:

a ) \ ( \ frac { { { a } ^ { \ frac { 4 } { 3 } } } \ left ( { { a } ^ { \ frac { – 1 } { 3 } } } + { { a } ^ { \ frac { 2 } { 3 } } } \ right ) } { { { a } ^ { \ frac { 1 } { 4 } } } \ left ( { { a } ^ { \ frac { 3 } { 4 } + { { a } ^ { \ frac { – 1 } { 4 } } } } } \ right ) } \ )\ ( = \ frac { { { a } ^ { \ frac { 4 } { 3 } } } { { a } ^ { \ frac { – 1 } { 3 } } } + { { a } ^ { \ frac { 4 } { 3 } } } { { a } ^ { \ frac { 2 } { 3 } } } } { { { a } ^ { \ frac { 1 } { 4 } } } { { a } ^ { \ frac { 3 } { 4 } } } + { { a } ^ { \ frac { 1 } { 4 } } } { { a } ^ { \ frac { – 1 } { 4 } } } } \ )\ ( = \ frac { a \ left ( 1 + a \ right ) } { a + 1 } = a \ )

b) \(\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{b}+{{b}^{\frac{1}{3}}}\sqrt{a}}{\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}} =\frac{{{a}^{\frac{1}{3}}}{{b}^{\frac{1}{2}}}+{{b}^{\frac{1}{3}}}{{a}^{\frac{1}{2}}}}{{{a}^{\frac{1}{6}}}+{{b}^{\frac{1}{6}}}}\)

\ ( = \ frac { { { a } ^ { \ frac { 1 } { 3 } } } { { b } ^ { \ frac { 1 } { 2 } } } + { { b } ^ { \ frac { 1 } { 3 } } } { { a } ^ { \ frac { 1 } { 2 } } } } { { { a } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } + { { b } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } } = \ frac { { { a } ^ { \ frac { 2 } { 6 } } } { { b } ^ { \ frac { 3 } { 6 } } } + { { b } ^ { \ frac { 2 } { 6 } } } { { a } ^ { \ frac { 3 } { 6 } } } } { { { a } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } + { { b } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } } \ )\ ( = \ frac { { { a } ^ { \ frac { 2 } { 6 } } } { { b } ^ { \ frac { 2 } { 6 } } } \ left ( { { a } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } + { { b } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } \ right ) } { { { a } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } + { { b } ^ { \ frac { 1 } { 6 } } } } = { { a } ^ { \ frac { 2 } { 6 } } } { { b } ^ { \ frac { 2 } { 6 } } } = { { a } ^ { \ frac { 1 } { 3 } } } { { b } ^ { \ frac { 1 } { 3 } } } \ )

\(=\sqrt[3]{ab}\)

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật