Công thức Moivre

Ở bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức vàcông thức Moivre.

Xin nhắc lại rằng điểm trọng tâm của số phức là sự ra đời của một con số rất đặc biệt, đó là con số i với tính chất

Số phức có dạng

trong đó a và b là hai số thực. Kỳ trước chúng ta đã học về những phép tính đại số cơ bản của số phức.

• Phép cọng và trừ

  

• Phép nhân

  

• Phép chia

   Sử dụng đẳng thức
  

• Số phức liên hợp

  

• Trị tuyệt đối

  

Dạng lượng giác của số phức
Hôm nay tất cả chúng ta sẽ học về một đặc thù rất quan trọng của số phức, đó là mọi số phức z đều hoàn toàn có thể viết về dạng lượng giác như sau

trong đó Thật vậy, với z=a+ib, chúng ta có

do đó
Chúng ta có
do đó sống sót ϕ để
Suy ra
Từ đó tất cả chúng ta có dạng lượng giác của số phức

Trường hợp đặc biệt z=0 thì chúng ta có thể chọn Phép nhân của số phức theo dạng lượng giác

Dạng lượng giác của số phức rất thuận tiện trong việc lấy tích của hai số phức nhờ vào hằng đẳng thức sau đây
Do đó nếu tất cả chúng ta có hai số phức u và v, nếu tất cả chúng ta màn biểu diễn chúng về dạng lượng giác
thì tích của chúng sẽ là
Luỹ thừa và Công thức Moivre
Tương tự như phép nhân, phép lấy luỹ thừa cũng rất thuận tiện khi tất cả chúng ta viết số phức về dạng lượng giác .
Nếu
thì

Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức

Bây giờ tất cả chúng ta làm 1 số ít bài tập .

Bài toán 1: Giải phương trình bậc hai

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác .

Lời giải: Chúng ta có

do đó phương trình này có nghiệm phức
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên tất cả chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng
Từ đó tất cả chúng ta có dạng lượng giác

Bài toán 2: Giải phương trình bậc hai

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác .

Lời giải: Chúng ta có

do đó phương trình này có nghiệm phức
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên tất cả chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng
Từ đó tất cả chúng ta có dạng lượng giác

Bài toán 3: Giải phương trình bậc hai

rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác .

Lời giải: Chúng ta có

do đó phương trình này có nghiệm phức
Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên tất cả chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng
Từ đó tất cả chúng ta có dạng lượng giác

Bài toán 4: Tính  bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức sau

Lời giải: Cách thứ nhất chúng ta đưa  về dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre.

Trước tiên tất cả chúng ta tính giá trị tuyệt đối của
Từ đó tất cả chúng ta có dạng lượng giác
Dùng công thức Moivre, tất cả chúng ta tính luỹ thừa

Dùng nhị thức Newton, chúng ta có

So sánh phần số thực của hai tác dụng, tất cả chúng ta rút ra được hằng đẳng thức
Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn gặp lại những bạn ở kỳ sau .

Bài tập về nhà.

1. Viết các số sau về dạng lượng giác: 

2. Tìm giá trị tuyệt đối của số phức 

3. Cho  và , tính 

4. Tính  bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức tổ hợp.

5. Biểu diễn x dưới dạng lượng giác rồi tìm tất cả các giá trị của số phức sao cho 

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật