Kiến thức công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Bài viết này Vted giới thiệu đến bạn đọc Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện được trích từ Bài giảng khoá học COMBO X tại Vted:

Đây là bài viết rất có ích so với bạn đọc, vừa đủ tổng thể những trường hợp hay gặp khi tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện :

Bạn đang xem: công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Bạn đang đọc: Kiến thức công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp

Định nghĩa mặt cầu ngoại tiếp

Tóm tắt nội dung bài viết
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của khối đa diện đó

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

Đáy là một đa giác nội tiếp

Chứng minh. Xem bài giảng

Xem Thêm Giải Mã Ý Nghĩa Của Tên Sơn Tùng Mtp Là Gì ? Một Số Tên Gọi Khác Của Sơn Tùng M

Công thức 1: Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

USD R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( dfrac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } }. USD
Trong đó USD { { R } _ { d } } USD là bán kính ngoại tiếp đáy ; USD h USD là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy .

Ví dụ 1.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=3a,BC=4a,SA=12a$ và $SA$ vuông góc với đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=frac{13a}{2}.$

B. $R=6a.$

C. $R=frac{17a}{2}.$

D. $R=frac{5a}{2}.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có ${{R}_{d}}=frac{AC}{2}=frac{sqrt{A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}}}{2}=frac{sqrt{9{{a}^{2}}+16{{a}^{2}}}}{2}=frac{5a}{2}.$

Vậy USD R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = sqrt { { { left ( frac { 5 a } { 2 } right ) } ^ { 2 } } + { { left ( frac { 12 a } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = frac { 13 a } { 2 }. USD Chọn đáp án A .

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABC$ có [SA=SB=SC=a,widehat{ASB}=widehat{ASC}={{90}^{0}},widehat{BSC}={{60}^{0}}.] Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

A. $frac{7pi {{a}^{2}}}{6}.$

B. [frac{7pi {{a}^{2}}}{3}.]

C. $frac{7pi {{a}^{2}}}{18}.$

D. $frac{7pi {{a}^{2}}}{12}.$

Giải. Ta có $left{ begin{gathered} SA bot SB hfill \ SA bot SC hfill \ end{gathered} right. Rightarrow SA bot (SBC).$

Vì vậy USD R = sqrt { R_ { SBC } ^ { 2 } + { { left ( frac { SA } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = sqrt { { { left ( frac { BC } { 2 sin widehat { BSC } } right ) } ^ { 2 } } + { { left ( frac { SA } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = sqrt { { { left ( frac { a } { 2 frac { sqrt { 3 } } { 2 } } right ) } ^ { 2 } } + { { left ( frac { a } { 2 } right ) } ^ { 2 } } } = sqrt { frac { 7 } { 12 } } a. USD
Diện tích mặt cầu USD S = 4 pi { { R } ^ { 2 } } = frac { 7 pi { { a } ^ { 2 } } } { 3 }. USD Chọn đáp án B .

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

Khối tứ diện vuông USD OABC USD có USD OA, OB, OC USD đôi một vuông góc có [ R = frac { sqrt { O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } } } { 2 }. ]

Ví dụ 1:Khối tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc và có bán kính mặt cầu ngoại tiếp bằng $sqrt{3}.$ Thể tích lớn nhất của khối tứ diện $OABC$ bằng

A. $frac{4}{3}.$

B. $8.$

C. $frac{8}{3}.$

D. $8.$

Giải. Ta có USD R = frac { sqrt { O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } } } { 2 } = sqrt { 3 } Leftrightarrow O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } = 12. USD
Mặt khác USD { { V } _ { OABC } } = frac { 1 } { 6 }. OA.OB.OC USD và theo bất đẳng thức AM – GM ta có :
[ 12 = O { { A } ^ { 2 } } + O { { B } ^ { 2 } } + O { { C } ^ { 2 } } ge 3 sqrt [ 3 ] { O { { A } ^ { 2 } }. O { { B } ^ { 2 } }. O { { C } ^ { 2 } } } Rightarrow banmaynuocnong.comle 8. ] Do đó USD { { V } _ { OABC } } le frac { 8 } { 6 } = frac { 4 } { 3 }. USD Chọn đáp án A .

Xem Thêm TÔI VÀ CHỊ – Truyện 18+ Dài Hay 2021 ( Update Chương 46 END )

>>Xem thêm về BĐT AM – GM tại đây

Công thức 3: Khối lăng trụ đứng có đáy là đa giác nội tiếp (đây là trường hợp đặc biệt của công thức 1)

USD R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } }. USD
Tham khảo : Kiến thức thứ tự những lõi lọc nước | Bán Máy Nước NóngTrong đó USD { { R } _ { d } } USD là bán kính ngoại tiếp đáy ; USD h USD là độ dài cạnh bên .

Ví dụ 1.Cho mặt cầu bán kính $R$ ngoại tiếp một hình lập phương cạnh $a.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. $a=frac{sqrt{3}R}{3}.$

B. $a=2R.$

C. $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$

D. $a=2sqrt{3}R.$

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{a}{2} right)}^{2}}}=frac{asqrt{3}}{2}.$ Vậy $a=frac{2sqrt{3}R}{3}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều [ABC.A’B’C’] có các cạnh đều bằng [a]. Tính diện tích [S]của mặt cầu đi qua$$ $6$ đỉnh của hình lăng trụ đó.

A.[S=dfrac{49pi {{a}^{2}}}{144}.]

B. [S=dfrac{7{{a}^{2}}}{3}.]

C.[S=dfrac{7pi {{a}^{2}}}{3}.]

D. [S=dfrac{49{{a}^{2}}}{144}.]

Giải. Có $S=4pi {{R}^{2}}=4pi left( R_{d}^{2}+{{left( dfrac{h}{2} right)}^{2}} right)=4pi left( {{left( dfrac{a}{sqrt{3}} right)}^{2}}+{{left( dfrac{a}{2} right)}^{2}} right)=dfrac{7pi {{a}^{2}}}{3}.$ Chọn đáp án C.

Công thức 4: Công thức cho khối tứ diện có các đỉnh là đỉnh của một khối lăng trụ đứng $R=sqrt{R_{d}^{2}+{{left( frac{h}{2} right)}^{2}}}.$

Khối tứ diện USD ( { { H } _ { 1 } } ) USD có những đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng USD ( { { H } _ { 2 } } ), USD khi đó USD { { R } _ { ( { { H } _ { 1 } } ) } } = { { R } _ { ( { { H } _ { 2 } } ) } } = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } }. USD

Ví dụ 1: Cho khối lăng trụ đứng có chiều cao $h$ không đổi và đáy là tứ giác $ABCD,$ trong đó $A,B,C,D$ thay đổi sao cho $overrightarrow{IA}.overrightarrow{IC}=overrightarrow{IB}.overrightarrow{ID}=-{{h}^{2}},$ với $I$ là giao điểm của hai đường chéo. Xác định giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho.

Giải.

Xem thêm: Làm Thế Nào Để Active Windows 7

Ta có USD R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + { { left ( frac { h } { 2 } right ) } ^ { 2 } } }, USD trong đó USD O USD là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có
USD overrightarrow { IA }. overrightarrow { IC } = overrightarrow { IB }. overrightarrow { ID } = – { { h } ^ { 2 } } = O { { I } ^ { 2 } } – R_ { d } ^ { 2 } Leftrightarrow R_ { d } ^ { 2 } = O { { I } ^ { 2 } } + { { h } ^ { 2 } } ge { { h } ^ { 2 } }. USD
Do đó USD Rge sqrt { { { h } ^ { 2 } } + frac { { { h } ^ { 2 } } } { 4 } } = frac { hsqrt { 5 } } { 2 }. USD
Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại USD Oequiv I. USD

Công thức 5: Công thức cho khối chóp có mặt bên vuông góc đáy $R = sqrt {R_d^2 + {{left( {dfrac{a}{2}.cot x} right)}^2}} $ trong đó ${{R}_{d}}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $a,x$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy, góc ở đỉnh của mặt bên nhìn xuống đáy.

Hoặc hoàn toàn có thể sử dụng công thức USD R = sqrt { R_ { d } ^ { 2 } + R_ { b } ^ { 2 } – frac { { { a } ^ { 2 } } } { 4 } }, USD trong đó USD { { R } _ { b } } USD là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và USD a USD tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy .

Ví dụ 1: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, tam giác $SAD$ đều cạnh $sqrt{2}a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính bán kính $R$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD.$

A. $R=dfrac{asqrt{10}}{2}.$

B. $R=dfrac{asqrt{42}}{6}.$

C. $R=dfrac{asqrt{6}}{4}.$

D. $R=sqrt{2}a.$

Giải. Ta có $R=sqrt{{{left( dfrac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( dfrac{sqrt{2}a}{2}.cot {{60}^{0}} right)}^{2}}}=sqrt{{{left( frac{sqrt{2}a}{sqrt{2}} right)}^{2}}+{{left( frac{sqrt{2}a}{2sqrt{3}} right)}^{2}}}=frac{asqrt{42}}{6}.$

Xem Thêm Ý nghĩa của màu tím trong tình yêu và cuộc sống

Chọn đáp án B .

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A.$ Biết $AB=A{A}’=a,$ $AC=2a.$ Gọi $M$ là trung điểm của $AC.$ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $M{A}'{B}'{C}’$ bằng

A. USD 5 pi { { a } ^ { 2 } }. USD
B. USD 3 pi { { a } ^ { 2 } }. USD
C. USD 4 pi { { a } ^ { 2 } }. USD
Xem thêm : Tổng hợp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng | Bán Máy Nước NóngD. USD 2 pi { { a } ^ { 2 } }. USD

Giải. Chóp $M.{A}'{B}'{C}’$ có mặt bên $(M{A}'{C}’)bot ({A}'{B}'{C}’)$ do đó

USD S = 4 pi { { R } ^ { 2 } } = 4 pi left ( R_ { { A } ‘ { B } ‘ { C } ’ } ^ { 2 } + R_ { M { A } ‘ { C } ’ } ^ { 2 } – { { left ( dfrac { { A } ‘ { C } ’ } { 2 } right ) } ^ { 2 } } right ) = 4 pi left ( { { left ( dfrac { sqrt { 5 } a } { 2 } right ) } ^ { 2 } } + { { a } ^ { 2 } } – { { left ( dfrac { 2 a } { 2 } right ) } ^ { 2 } } right ) = 5 pi { { a } ^ { 2 } }. USD
trong đó USD { { R } _ { { A } ‘ { B } ‘ { C } ’ } } = dfrac { { B } ‘ { C } ’ } { 2 } = dfrac { sqrt { 5 } a } { 2 } ; M { A } ’ = M { C } ’ = sqrt { 2 } a, { A } ‘ { C } ’ = 2 aRightarrow M { A } ’ bot M { C } ’ Rightarrow { { R } _ { M { A } ‘ { C } ’ } } = dfrac { { A } ‘ { C } ’ } { 2 } = a. USD
Chọn đáp án A .

Công thức 6: Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau có $R=dfrac{c{{b}^{2}}}{2h},$ trong đó $cb$ là độ dài cạnh bên và $h$ là chiều cao khối chóp, được xác định bởi $h=sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}.$

Ví dụ 1.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện đều cạnh $sqrt{3}a.$

A. $R=frac{asqrt{6}}{4}.$

B. $R=frac{asqrt{3}}{2}.$

C. $R=frac{3sqrt{2}a}{4}.$

D. $R=frac{3a}{4}.$

Giải.Ta có $cb=sqrt{3}a,h=sqrt{c{{b}^{2}}-R_{d}^{2}}=sqrt{3{{a}^{2}}-{{left( frac{sqrt{3}a}{sqrt{3}} right)}^{2}}}=sqrt{2}aRightarrow R=frac{3{{a}^{2}}}{2sqrt{2}a}=frac{3sqrt{2}a}{4}.$ Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $sqrt{3}$ và cạnh bên bằng $x$ với $x>1.$ Thể tích của khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ có giá trị nhỏ nhất thuộc khoảng nào dưới đây?

A. $(7;3pi ).$

B. $(0;1).$

C. $(1;5).$

D. $(5;7).$

Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi

USD V = dfrac { 4 } { 3 } pi { { R } ^ { 3 } } = dfrac { 4 } { 3 } pi { { left ( dfrac { c { { b } ^ { 2 } } } { 2 h } right ) } ^ { 3 } } = dfrac { 4 } { 3 } pi { { left ( dfrac { { { x } ^ { 2 } } } { 2 sqrt { { { x } ^ { 2 } } – { { left ( dfrac { sqrt { 3 } } { sqrt { 3 } } right ) } ^ { 2 } } } } right ) } ^ { 3 } } = g ( x ) = pi dfrac { { { x } ^ { 6 } } } { 6 sqrt { { { ( { { x } ^ { 2 } } – 1 ) } ^ { 3 } } } } ge underset { ( 1 ; + infty ) } { mathop { min } }, g ( x ) = g ( sqrt { 2 } ) = dfrac { 4 pi } { 3 }. USD Chọn đáp án C .

Công thức 7:Khối tứ diện gần đều $ABCD$ có $AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c$ có $R=sqrt{frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{8}}.$

Xem thêm Ví dụ và công thức nhanh cho trường hợp khối chóp bất kì tại khoá học do Vted phát hành: banmaynuocnong.com/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2019-mon-toan-danh-cho-teen-2k1-2

Bạn đọc cần bản PDF của bài viết này hãy để lại Bình luận trong phần Bình luận ngay bên dưới Bài viết này Vted sẽ gửi cho các bạn

>> Xem thêm Tuyển tập Đề thi thử Toán THPT Quốc gia 2021 có giải thuật chi tiết cụ thể