Hệ thức lượng trong tam giác là gì? Công thức và Các dạng bài tập

Khác với hệ thức lượng trong tam giác vuông đã được học ở lớp 9, chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác thường lớp 10 sẽ có sự đa dạng và khó hơn. Chúng ta hãy cùng DINHNGHIA.VN đi tìm hiểu những kiến thức lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác, cũng như cách giải các bài tập ứng dụng liên quan đến phần kiến thức toán học quan trọng này nhé!

Các hệ thức lượng trong tam giác thường

Định lý cosin

Định lý này được phát biểu như sau : Trong một tam giác bất kể, bình phương một cạnh bằng tổng những bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cos của góc xen giữa chúng .

Xét tam giác ABC, gọi AB=c; AC=b; BC=a, ta có:

\ ( a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } – 2 bc. cosA \ )
\ ( b ^ { 2 } = a ^ { 2 } + c ^ { 2 } – 2 ac. cosB \ )
\ ( c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – 2 ab. cosC \ )
Từ đó suy ra hệ quả : Trong tam giác ABC, luôn có :
\ ( cos A = \ frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } – a ^ { 2 } } { 2 bc } \ )
\ ( cos B = \ frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } – b ^ { 2 } } { 2 ac } \ )
\ ( cos C = \ frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } – c ^ { 2 } } { 2 ab } \ )

Định lý Sin

Trong tam giác ABC bất kể, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối lập với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác .
Với R là nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có :
\ ( \ frac { a } { sinA } = \ frac { b } { sinB } = \ frac { c } { sinC } = 2R \ )

Định lý về đường trung tuyến

Tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi \ ( m_ { a }, m_ { b }, m_ { c } \ ) lần lượt là những đường trung tuyến ứng vẽ từ những đỉnh A, B, C của tam giác .
Khi đó ta có :
\ ( m_ { a } ^ { 2 } = \ frac { b ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 } – \ frac { a ^ { 2 } } { 4 } \ )
\ ( m_ { b } ^ { 2 } = \ frac { a ^ { 2 } + c ^ { 2 } } { 2 } – \ frac { b ^ { 2 } } { 4 } \ )
\ ( m_ { c } ^ { 2 } = \ frac { b ^ { 2 } + a ^ { 2 } } { 2 } – \ frac { c ^ { 2 } } { 4 } \ )

Tính diện tích tam giác

Trong tam giác ABC, kí hiệu :
\ ( h_ { a }, h_ { b }, h_ { c } \ ) lần lượt là những đường cao được vẽ từ những đỉnh A, B, C, ứng với những cạnh a, b, c .
R, r lần lượt là đường kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác .
\ ( p = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( a + b + c \ right ) \ ) là công thức tính nửa chu vi của tam giác .
Từ đó ta có những công thức tính diện tích quy hoạnh tam giác ABC như sau :
\ ( S = \ frac { 1 } { 2 } ah_ { a } = \ frac { 1 } { 2 } bh_ { b } = \ frac { 1 } { 2 } ch_ { c } \ )
\ ( S = \ frac { 1 } { 2 } absinA = \ frac { 1 } { 2 } acsinB = \ frac { 1 } { 2 } bcsinA \ )

\(S=\frac{abc}{4R}\)

\ ( S = pr \ )
\ ( S = \ sqrt { p ( p-a ) ( p-b ) ( p-c ) } \ )

Cách giải tam giác và ứng dụng

Từ hệ thức lượng trong tam giác, muốn giải những dạng toán về tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa những yếu tố đã cho với những yếu tố chưa biết của tam giác trải qua những hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và những công thức tính diện tích quy hoạnh tam giác .

Các bài toán về giải tam giác

Sau đây là 3 bài toán cơ bản :

• Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc .

Đối với dạng toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lạ. i

• Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa .

Đối với dạng toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba .

• Giải tam giác khi biết ba cạnh .

Đối với dạng toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc .

Trên đây là tổng hợp các kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác thường, các dạng bài tập cũng như ứng dụng. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ cho quá trình học tập và trau dồi kiến thức của bản thân. Nếu còn băn khoăn gì về chủ đề hệ thức lượng trong tam giác, bạn đừng quên để lại nhận xét ở phía dưới nhé!

Rate this post

Please follow and like us :

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật