Hình học 9 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó chi tiết nhất

Hình học 9 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó chi tiết nhất

1. Hệ thức vi – ét

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có nghiệm dù đó là hai nghiệm phân biệt hay nghiệm kép thì ta đều hoàn toàn có thể viết được dưới dạng :

Khi đó nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) thì ta có :

2. Ứng dụng của định lý Vi – ét

a) Tính nhẩm nghiệm

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = 1 và nghiệm còn lại là x2 = c / a
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x1 = – 1 và nghiệm còn lại là x2 = – c / a

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích.

+ Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P. thì hai số đó là nghiệm của phương trình bậc hai x2 – Sx + P = 0
+ Điều kiện để có hai số đó là S2 – 4P ≥ 0

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Cho phương trình x2 – 3x + 2 = 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2(x1 + x2) – x1.x2

Hướng dẫn:

Ta có : Δ = ( – 3 ) 2 – 4.1.2 = 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 .
Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có :

Khi đó P. = 2 ( x1 + x2 ) – x1. x2 = 2.3 – 2 = 4. Vậy P = 4

Câu 2: Tìm hai số khi biết tổng hai số đó là S = 5 và tích của hai số đó là P = 6 ?

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 là hai số cần tìm, khi đó x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 – 5 x + 6 = 0
Ta có Δ = ( – 5 ) 2 – 4.1.6 = 25 – 24 = 1 > 0
Khi đó phương trình có hai nghiệm là :

Vậy hai số cần tìm là 3 và 2 .

Câu 1: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 5 và tích của chúng bằng 6.

Câu 2: Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 11 và tích của chúng bằng 60.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 50: Hãy tính x1 + x2, x1x2.

Lời giải

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 51: Cho phương trình 2×2 – 5x + 3 = 0.

a ) Xác định những thông số a, b, c rồi tính a + b + c .
b ) Chứng tỏ rằng x1 = 1 là một nghiệm của phương trình .
c ) Dùng định lý Vi-ét để tìm x2 .

Lời giải

a ) a = 2 ; b = – 5 ; c = 3
⇒ a + b + c = 2 – 5 + 3 = 0
b ) Thay x = 1 vào phương trình ta được :
2.12 – 5.1 + 3 = 0
Vậy x = 1 là một nghiệm của phương trình
c ) Theo định lí Vi-et ta có :
x1. x2 = c / a = 3/2 ⇒ x2 = 3/2

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 51: Cho phương trình 3×2 + 7x + 4 = 0.

a ) Xác định những thông số a, b, c rồi tính a – b + c .
b ) Chứng tỏ rằng x1 = – 1 là một nghiệm của phương trình .
c ) Tìm nghiệm x2 .

Lời giải

a ) a = 3 ; b = 7 ; c = 4
⇒ a + b + c = 3 – 7 + 4 = 0
b ) Thay x = – 1 vào phương trình ta được :
3. ( – 1 ) 2 + 7. ( – 1 ) + 4 = 0
Vậy x = – 1 là một nghiệm của phương trình
c ) Theo định lí Vi-et ta có :
x1. x2 = c / a = 4/3 ⇒ x2 = 4/3 : ( – 1 ) = – 4/3

Bài 25 (trang 52 SGK Toán 9 Tập 2): Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (…):

a) 2×2 – 17x + 1 = 0;

Δ = … ; x1 + x2 = … ; x1. x2 = … ;

b) 5×2 – x – 35 = 0;

Δ = … ; x1 + x2 = … ; x1. x2 = … ;

c) 8×2 – x + 1 = 0 ;

Δ = … ; x1 + x2 = … ; x1. x2 = … ;

d) 25×2 + 10x + 1 = 0 ;

Δ = … ; x1 + x2 = … ; x1. x2 = … ;

Lời giải

a) 2×2 – 17x + 1 = 0

Có a = 2 ; b = – 17 ; c = 1
Δ = b2 – 4 ac = ( – 17 ) 2 – 4.2.1 = 281 > 0 .
Theo hệ thức Vi-et : phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu :
x1 + x2 = – b / a = 17/2
x1. x2 = c / a = 50% .

b) 5×2 – x – 35 = 0

Có a = 5 ; b = – 1 ; c = – 35 ;
Δ = b2 – 4 ac = ( – 1 ) 2 – 4.5. ( – 35 ) = 701 > 0
Theo hệ thức Vi-et, phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu :
x1 + x2 = – b / a = 1/5
x1. x2 = c / a = – 35/5 = – 7 .

c) 8×2 – x + 1 = 0

Có a = 8 ; b = – 1 ; c = 1
Δ = b2 – 4 ac = ( – 1 ) 2 – 4.8.1 = – 31 < 0 Phương trình vô nghiệm nên không sống sót x1 ; x2 .

d) 25×2 + 10x + 1 = 0

Có a = 25 ; b = 10 ; c = 1
Δ = b2 – 4 ac = 102 – 4.25.1 = 0
Khi đó theo hệ thức Vi-et có :
x1 + x2 = – b / a = – 10/25 = – 2/5

x1.x2 = c/a = 1/25.

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, có Δ = b2 – 4 ac .
Khi Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức Vi-et :

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 52: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

a ) – 5×2 + 3 x + 2 = 0 ;
b ) 2004×2 + 2005 x + 1 = 0 .

Lời giải

a ) – 5×2 + 3 x + 2 = 0 ;
Nhận thấy phương trình có a + b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm
x1 = 1 ; x2 = c / a = ( – 2 ) / 5
b ) 2004×2 + 2005 x + 1 = 0
Nhận thấy phương trình có a – b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm
x1 = – 1 ; x2 = – c / a = ( – 1 ) / 2004

Trả lời câu hỏi Toán 9 Tập 2 Bài 6 trang 52: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.

Lời giải

Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình x2 – x + 5 = 0
Δ = b2 – 4 ac = ( – 1 ) 2 – 4.1.5 = – 19 < 0 ⇒ phương trình vô nghiêm Vậy không sống sót 2 số có tổng bằng 1 và tích bằng 5

Bài 26 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2): Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

a) 35×2 – 37x + 2 = 0;

b) 7×2 + 500x – 507 = 0;

c) x2 – 49x – 50 = 0;

d) 4321×2 + 21x – 4300 = 0.

Lời giải

a) Phương trình 35×2 – 37x + 2 = 0

Có a = 35 ; b = – 37 ; c = 2 ⇒ a + b + c = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = 1 ; x2 = c / a = 2/35 .

b) Phương trình 7×2 + 500x – 507 = 0

Có a = 7 ; b = 500 ; c = – 507 ⇒ a + b + c = 7 + 500 – 507 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = 1 ; x2 = c / a = – 507 / 7 .

c) Phương trình x2 – 49x – 50 = 0

Có a = 1 ; b = – 49 ; c = – 50 ⇒ a – b + c = 1 – ( – 49 ) – 50 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = – 1 ; x2 = – c / a = 50 .

d) Phương trình 4321×2 + 21x – 4300 = 0

Có a = 4321 ; b = 21 ; c = – 4300 ⇒ a – b + c = 4321 – 21 – 4300 = 0
⇒ Phương trình có nghiệm x1 = – 1 ; x2 = – c / a = 4300 / 4321 .

Kiến thức áp dụng

+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = 1 ; nghiệm còn lại x2 = c / a .
+ Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x1 = – 1 ; nghiệm còn lại x2 = – c / a .

Bài 27 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2): Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

a ) x2 – 7 x + 12 = 0 ;
b ) x2 + 7 x + 12 = 0 .

Lời giải

a ) x2 – 7 x + 12 = 0
Có a = 1 ; b = – 7 ; c = 12
⇒ Δ = b2 – 4 ac = ( – 7 ) 2 – 4.1.12 = 1 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu :

Vậy thuận tiện nhận thấy phương trình có hai nghiệm là 3 và 4 .
b ) x2 + 7 x + 12 = 0
Có a = 1 ; b = 7 ; c = 12
⇒ Δ = b2 – 4 ac = 72 – 4.1.12 = 1 > 0
⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu :

Vậy thuận tiện nhận thấy phương trình có hai nghiệm là – 3 và – 4 .

Kiến thức áp dụng

Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0, có Δ = b2 – 4 ac .
Khi Δ ≥ 0, phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn nhu cầu hệ thức Vi-et :

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-et, bắt buộc phải kiểm tra Δ xem phương trình có nghiệm hay không.

Bài 28 (trang 53 SGK Toán 9 Tập 2): Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a ) u + v = 32, uv = 231

b ) u + v = – 8, uv = – 105
c ) u + v = 2, uv = 9

Lời giải

a ) S = 32 ; P = 231 ⇒ S2 – 4P = 322 – 4.231 = 100 > 0
⇒ Tồn tại u và v là hai nghiệm của phương trình : x2 – 32 x + 231 = 0 .
Ta có : Δ = ( – 32 ) 2 – 4.231 = 100 > 0
⇒ PT có hai nghiệm :

Vậy u = 21 ; v = 11 hoặc u = 11 ; v = 21 .
b ) S = – 8 ; P = – 105 ⇒ S2 – 4P = ( – 8 ) 2 – 4. ( – 105 ) = 484 > 0
⇒ u và v là hai nghiệm của phương trình : x2 + 8 x – 105 = 0
Ta có : Δ ’ = 42 – 1. ( – 105 ) = 121 > 0
Phương trình có hai nghiệm :

Vậy u = 7 ; v = – 15 hoặc u = – 15 ; v = 7 .
c ) S = 2 ; P = 9 ⇒ S2 – 4P = 22 – 4.9 = – 32 < 0 ⇒ Không sống sót u và v thỏa mãn nhu cầu .

Kiến thức áp dụng

Nếu hai số có tổng bằng S, tích bằng P. thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình : x2 – S.x + P. = 0 .
Điều kiện để có hai số đó là : S2 – 4P ≥ 0 .

Hình học 9 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng của nó chi tiết nhất. Soanbaitap.com gửi đến các bạn học sinh đầy đủ những bài giải toán 9 có trong sách giáo khoa tập 1 và tập 2, đầy đủ cả phần Toán hình 9 và Toán đại 9. Tổng hợp các công thức, giải bài tập toán và cách giải toán lớp 9 khác nhau.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật