Nguyên hàm từng phần nâng cao

Nguyên hàm từng phần là một giải pháp giải những bài toán nguyên hàm nâng cao hiệu suất cao nhất lúc bấy giờ. Bài viết này được biên soạn với mong ước giúp bạn hiểu hơn về chiêu thức này .

A. Công thức nguyên hàm từng phần

Công thức tổng quát là :

B. Bài toán

Hãy tính nguyên hàm của hàm f(x) có dạng như sau:

Lời hướng dẫn

Bước 1: Ta tiến hành đặt

( v ( x ) là một nguyên hàm của h ( x ) )

Bước 2: Khi này, nguyên hàm ban đầu sẽ trở thành

Để bạn hiểu hơn về những bước trên, ta cùng nhau vào ví dụ sau :

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm số có dạng sau f(x) = lnx

Lời giải
Dựa theo chiêu thức trên, ta làm như sau

Bước 1: Đầu tiên ta cần đặt

Khi đó :

C. Các dạng toán nguyên hàm từng phần thường gặp

Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số logarit

Hãy tính nguyên hàm của hàm số logarit sau

với f ( x ) là một hàm của đa thức .
Phương pháp giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở trên, ta suy ra

Để bạn hiểu rõ hơn về dạng này, tất cả chúng ta cùng nhau làm 1 ví dụ sau đây nhé :

Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x.lnx

Hướng dẫn giải

Dựa vào giải pháp giải ở trên bạn dễ thấy

Bước 1:  Ta tiến hành đặt biểu thức dạng

Bước 2: Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có:

Dạng 2: Nguyên hàm của hàm số mũ

Tính nguyên hàm của hàm số mũ USD A = \ int { f \ left ( x \ right ) { e ^ { ax + b } } dx } USD với f ( x ) là một hàm đa thức .
Phương pháp :

– Bước 1: Ta tiến hành đặt

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta có: $\int {f\left( x \right){e^{ax + b}}dx} = uv – \int {vdu} $

Để hiểu hơn về dạng toán này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của biểu thức sau $I = \int {x{e^x}{\rm{d}}x} $

Lời giải

Dựa theo giải pháp trên, ta thực thi đặt

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có :

Dạng 3: Hàm số lượng giác và hàm đa thức

Hãy tính nguyên hàm của hàm số lượng giác \ [ A = \ int { f \ left ( x \ right ) \ sin \ left ( { ax + b } \ right ) dx } \ ] hoặc \ [ B = \ int { f \ left ( x \ right ) \ cos \ left ( { ax + b } \ right ) dx } \ ] Hướng dẫn giải

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

– Bước 2: Dựa vào việc đặt ở bước 1, ta biến đổi thành

Để hiểu hơn ví dụ này, ta cùng nhau xem ví dụ sau đây .

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hàm lượng giác sau $A = \int {x\sin xdx} $

Lời giải
Đây là một nguyên hàm tích hợp giữa nguyên hàm lượng giác, bạn hãy làm như sau :
Dựa theo giải pháp trên, ta đặt như sau

Theo công thức nguyên hàm từng phần ta có :

Dạng 4: Hàm số lượng giác và hàm số mũ

Hãy tình nguyên hàm phối hợp giữa hàm số lượng giác và hàm số mũ

Các bước giải như sau :

– Bước 1: Ta tiến hành đặt như sau

– Bước 2: Khi đó, nguyên hàm sẽ tính theo công thức tổng quát $uv – \int {vdu} $

Lưu ý: Đây là dạng toán phức tạp nên cần lấy nguyên hàm từng phần 2 lần. Ngoài ra, ở bước 1 ta có thể đặt khác chút bằng cách đặt

Để giúp bạn hiểu hơn dạng toán này, mời bạn theo dõi một ví dụ đưới dây nha :

Ví dụ: Hãy tính nguyên hàm của hai hàm là hàm lượng giác và hàm e mũ sau đây $I = \int {\sin x.{e^x}{\rm{d}}x} $

Phương pháp giải
Đây là một nguyên hàm tích hợp giữa nguyên hàm lượng giác, nguyên hàm của e mũ u. Bạn hãy làm như sau :
Ta triển khai đặt như sau

Khi đó, nguyên hàm trở thành :

Lúc này ta tính : USD J = \ int { \ cos x { e ^ x } dx } USD
Để tính được J, bạn cần lấy nguyên hàm từng phần lần 2. Cụ thể là
Đặt như sau

Khi đó :

Trên đây là bài viết san sẻ cách dùng nguyên hàm từng phần giải những bài nguyên hàm phức tạp. Hy vọng bài viết này hữu dụng với bạn trong quy trình học tập .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật