Lý thuyết nhị thức Niu

I. Công thức nhị thức Niu – Tơn

1. Công thức nhị thức Niu – Tơn

Với \ ( a, b \ ) là những số thực tùy ý và với mọi số tự nhiên \ ( n ≥ 1 \ ), ta có :

\({(a + b)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n – 1}}b + … +\)

\ ( C_n ^ { n – 1 } a { b ^ { n – 1 } } + C_n ^ n { b ^ n } ( 1 ) \ )

Ví dụ:

Viết khai triển \ ( { \ left ( { a + b } \ right ) ^ 5 } \ ) .

Hướng dẫn:

Ta có :\ ( { \ left ( { a + b } \ right ) ^ 5 } \ )\ ( = C_5 ^ 0 { a ^ 5 } + C_5 ^ 1 { a ^ 4 } b + C_5 ^ 2 { a ^ 3 } { b ^ 2 } \ ) \ ( + C_5 ^ 3 { a ^ 2 } { b ^ 3 } + C_5 ^ 4 a { b ^ 4 } + C_5 ^ 5 { b ^ 5 } \ )\ ( = { a ^ 5 } + 5 { a ^ 4 } b + 10 { a ^ 3 } { b ^ 2 } \ ) \ ( + 10 { a ^ 2 } { b ^ 3 } + 5 a { b ^ 5 } + { b ^ 5 } \ )

2. Quy ước

Với \ ( a \ ) là số thực khác \ ( 0 \ ) và \ ( n \ ) là số tự nhiên khác \ ( 0 \ ), ta quy ước :\ ( a ^ 0 = 1 \ ) ; \ ( a ^ { – n } = { 1 \ over { { a ^ n } } } \ ) .

3. Chú ý

Với những điều kiện kèm theo và quy ước ở trên, đồng thời thêm điều kiện kèm theo \ ( a \ ) và \ ( b \ ) đều khác \ ( 0 \ ), hoàn toàn có thể viết công thức ( 1 ) ở dạng sau đây :\ ( { \ left ( { a + b } \ right ) ^ n } = \ sum \ limits_ { k = 0 } ^ n { C_n ^ k { a ^ { n – k } } { b ^ k } = \ sum \ limits_ { k = 0 } ^ n { { a ^ k } { b ^ { n – k } } } } \ )

Công thức này không xuất hiện trong SGK nên khi trình bày bài toán các em lưu ý không dùng. Chỉ dùng khi làm trắc nghiệm để các bước tính toán được ngắn gọn và nhanh ra đáp án.

II. Tam giác Pa-xcan

1. Tam giác Pa-xcan là tam giác số ghi trong bảng 

2. Cấu tạo của tam giác Pa-xcan

– Các số ở đầu và cuối hàng đều bằng \ ( 1 \ ) .- Xét hai số ở cột \ ( k \ ) và cột \ ( k + 1 \ ), đồng thời cùng thuộc dòng \ ( n \ ), ( \ ( k ≥ 0 ; n ≥ 1 \ ) ), ta có : tổng của hai số này bằng số đứng ở giao của cột \ ( k + 1 \ ) và dòng \ ( n + 1 \ ) .

3. Tính chất của tam giác Pa-xcan

Từ cấu trúc của tam giác Pa-xcan, hoàn toàn có thể chứng tỏ được rằng :a ) Giao của dòng \ ( n \ ) và cột \ ( k \ ) là \ ( C_n ^ k \ )b ) Các số của tam giác Pa-xcan thỏa mãn nhu cầu công thức Pa-xcan :

\ ( C_n ^ k + C_n ^ { k + 1 } = C_ { n + 1 } ^ { k + 1 } \ )c ) Các số ở dòng \ ( n \ ) là những thông số trong khai triển của nhị thức \ ( { ( a + b ) } ^ n \ ) ( theo công thức nhị thức Niu – Tơn ), với \ ( a, b \ ) là hai số thực tùy ý .

Chẳng hạn, các số ở dòng \(4\) là các hệ số trong khai triển của \((a + b)^4\) (theo công thức nhị thức Niu – Tơn) dưới đây:

\ ( { \ left ( { a { \ rm { } } + { \ rm { } } b } \ right ) ^ 4 } \ ) \ ( = { \ rm { } } { a ^ 4 } + { \ rm { } } 4 { a ^ 3 } b { \ rm { } } + { \ rm { } } 6 { a ^ 2 } { b ^ { 2 } } + { \ rm { } } 4 a { b ^ 3 } { \ rm { } } + { \ rm { } } { b ^ 4 } \ )

Loigiaihay.com    

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật