Phân tích đa thức thành nhân tử: Lý thuyết, Bài tập nâng cao và Ứng dụng

Phân tích đa thức thành nhân tử là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 8 và Toán 9. Vậy phân tích đa thức thành nhân tử là gì? Cách giải toán phân tích đa thức để thành nhân tử lớp 8 và lớp 9? Ứng dụng của phân tích đa thức để thành nhân tử ?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.COM.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề  trên, cùng tìm hiểu nhé!

Phân tích đa thức thành nhân tử là gì?

Đa thức theo định nghĩa là một biểu thức được viết dưới dạng tổng của những đơn thức. Mỗi đơn thức sẽ là tích của 1 số ít thuộc ( mathbb { R } ) với lũy thừa tự nhiên của biến số .Hiểu theo cách khác thì phân tích đa thức để thành nhân tử là viết một đa thức dưới dạng tích của những đa thức con. Mỗi đa thức con như vậy sẽ được gọi là một nhân tử

Ví dụ:

( x ^ 2-3 x – 10 = ( x-5 ) ( x + 2 ) )Ở biểu thức trên thì :

• ( x ^ 2-3 x – 10 ) là đa thức cần phân tích nhân tử
• ( ( x-5 ) ( x + 2 ) ) là hiệu quả phân tích thành nhân tử của đa thức đó
• ( ( x-5 ) ) và ( ( x + 2 ) ) là những nhân tử

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử lớp 8

Phương pháp đặt nhân tử chung

Bài toán : Phân tích đa thức ( A ( x ) + B ( x ) ) thành nhân tửCác bước làm :

• Bước 1 : Biến đổi ( A ( x ) = C ( x ). A_1 ( x ) ) ; ( B ( x ) = C ( x ). B_1 ( x ) )
• Bước 2 : Khi đó ta có : ( A ( x ) + B ( x ) = C ( x ) [ A_1 ( x ) + B_1 ( x ) ] )

Ví dụ:

Phân tích đa thức để thành nhân tử : ( x ^ 2-4 + frac { x + 2 } { 3 } )

Cách giải:

Ta có 🙁 x ^ 2-4 + frac { x + 2 } { 3 } = ( x-2 ) ( x + 2 ) + frac { x + 2 } { 3 } )( = ( x + 2 ) ( x-2+frac { 1 } { 3 } ) )( = ( x + 2 ) ( x-frac { 5 } { 3 } ) )

Phương pháp sử dụng hằng đẳng thức

Để sử dụng phương pháp này chúng ta cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ dưới đây:

Ngoài ra tất cả chúng ta nên ghi nhớ thêm một số ít đẳng thức thường gặp :

• ( a ^ 4 – b ^ 4 = ( a ^ 2 + b ^ 2 ) ( a-b ) ( a + b ) )
• ( ( a + b + c ) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2 ab + 2 bc + 2 ac )
• ( ( a + b + c ) ^ 3 = a ^ 3 + b ^ 3 + c ^ 3 + 3 ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) )
• ( ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) = ( a + b + c ) ( ab + bc + ca ) – abc )

Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x ^ 2 + 4 x + 4 – ( 2 x + 1 ) ^ 3 – ( x-1 ) ^ 2 )

Cách giải:

Ta có 🙁 x ^ 2 + 4 x + 4 – ( 2 x + 1 ) ^ 3 – ( x-1 ) ^ 2 = ( x + 2 ) ^ 2 – ( x-1 ) ^ 2 – ( 2 x + 1 ) ^ 3 )( = 3 ( 2 x + 1 ) – ( 2 x + 1 ) ^ 3 )( = ( 2 x + 1 ) ( 3-4 x ^ 2-4 x – 1 ) = – ( 4 x ^ 2 + 4 x – 2 ) ( 2 x + 1 ) )( = – ( 2 x + 1 – sqrt { 3 } ) ( 2 x + 1 + sqrt { 3 } ) ( 2 x + 1 ) )

Phương pháp nhóm hạng tử 

Đây là trường hợp đặc biệt quan trọng của tam thức bậc 2 có nghiệm .

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử nâng cao

Phương pháp tách, thêm bớt để xuất hiện nhân tử chung

Cơ sở của giải pháp này là tất cả chúng ta sử dụng định lý sau :Nếu ( x = a ) là một nghiệm của phương trình ( f ( x ) = 0 ) thì ta luôn hoàn toàn có thể viết ( f ( x ) ) dưới dạng ( f ( x ) = ( x-a ). g ( x ) )Như vậy ở những bài toán phân tích đa thức để thành nhân tử thì tất cả chúng ta cần nhẩm được nghiệm nguyên ( a ) của đa thức đã cho rồi từ đó tách, ghép để làm Open nhân tử ( ( x-a ) )

Phương pháp tách

Bài toán : ( A ( x ) + B ( x ) + C ( x ) )Cách làm như sau : Chúng ta tách ( C ( x ) = C_1 ( x ) + C_2 ( x ) ) hài hòa và hợp lý sao cho ( [ A ( x ) + C_1 ( x ) ] ) và ( [ B ( x ) + C_2 ( x ) ] ) có nhân tử chung .

Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử ( 5 x ^ 3-7 x + 2 )

Cách giải:

Xét phương trình ( 5 x ^ 3-7 x + 2 = 0 )Nhẩm nghiệm thấy ( x = 1 ) là nghiệm của phương trình nên ta cần tách để làm Open nhân tử ( ( x-1 ) )Ta có 🙁 5 x ^ 3-7 x + 2 = 5 x ^ 3-5 x – 2 x + 2 )( = 5 x ( x ^ 2-1 ) – 2 ( x-1 ) )( = 5 x ( x + 1 ) ( x-1 ) – 2 ( x-1 ) )( = ( 5 x ^ 2 + 5 x – 2 ) ( x-1 ) )( = ( sqrt { 5 } x + frac { sqrt { 5 } + sqrt { 13 } } { 2 } ) ( sqrt { 5 } x + frac { sqrt { 5 } – sqrt { 13 } } { 2 } ) ( x-1 ) )

Phương pháp thêm bớt

Bài toán : Phân tích đa thức ( A ( x ) + B ( x ) ) thành nhân tửCách làm như sau : Chúng ta thêm vào ( A ( x ) ) một đại lượng ( C ( x ) ) rồi bớt đi ở ( B ( x ) ) đại lượng ( C ( x ) ) sao cho ( A ( x ) + C ( x ) ) và ( B ( x ) – C ( x ) ) có nhân tử chung

Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x ^ 3 – x ^ 2-4 )

Cách giải:

Xét phương trình ( x ^ 3 – x ^ 2-4 = 0 )Nhẩm nghiệm thấy ( x = 2 ) là nghiệm của phương trình nên ta thêm bớt để làm Open nhân tử ( ( x-2 ) )Ta có 🙁 x ^ 3 – x ^ 2-4 = x ^ 3-2 x ^ 2 + x ^ 2-2 x + 2 x – 4 )( = x ^ 2 ( x-2 ) + x ( x-2 ) + 2 ( x-2 ) )( = ( x-2 ) ( x ^ 2 + x + 2 ) )

Phương pháp hệ số bất định

Phương pháp này thường được sử dụng để phân tích những đa thức bậc ( 4 ) thành nhân tử mà những đa thức đó ta không nhẩm được nghiệm nguyên. Nguyên lý của giải pháp này như sau :Nếu hàm số bậc ( 4 ) phân tích được thành nhân tử thì nó sẽ phân tích được dưới dạng ( ( k_1x ^ 2 + ax + b ) ( k_2x ^ 2 + cx + d ) )Thường trong những bài toán thì ( k_1 = k_2 = 1 ). Khi đó khai triển ta được

((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)c+bd)

Như vậy với đa thức bậc ( 4 ) cho trước thì ta hoàn toàn có thể giống hệt những thông số của từng hạng tử chứa ( x ) rồi giải hệ để tìm ra ( a, b, c, d ) rồi từ đó phân tích được thành nhân tử

***Chú ý: Nếu (k_1.k_2 neq 1) thì chúng ta khai triển gồm cả ( k_1;k_2 ) rồi giải hệ tìm ( k_1;k_2 )

Trong những bài toán thường thì những thông số ( a ; b ; c ; d ) là những số nguyên

Ví dụ:

Phân tích đa thức sau thành nhân tử : ( x ^ 4 – 6 x ^ 3 + 12 x ^ 2 – 14 x + 3 )

Cách giải:

Giả sử ta phân tích được đa thức dưới dạng( ( x ^ 2 + ax + b ) ( x ^ 2 + cx + d ) )Khi đó ta có 🙁 x4 – 6 x ^ 3 + 12 x ^ 2 – 14 x + 3 = x ^ 4 + ( a + c ) x ^ 3 + ( ac + b + d ) x ^ 2 + ( ad + bc ) c + bd )Đồng nhất thông số ta được 🙁 left { begin { matrix } a + c = – 6 \ ac + b + d = 12 \ ad + bc = – 14 \ bd = 3 end { matrix } right. )Vì ( bd = 3 ) nên ta chọn ( b = 1 ; d = 3 )Khi đó 🙁 left { begin { matrix } a + c = – 6 \ ac = 8 \ 3 a + c = – 14 end { matrix } right. )( left { begin { matrix } a = – 4 \ c = – 2 end { matrix } right. )Vậy ( left { begin { matrix } a = – 4 \ b = 1 \ c = – 2 \ d = 1 end { matrix } right. )Như vậy ta có 🙁 x ^ 4 – 6 x ^ 3 + 12 x ^ 2 – 14 x + 3 = ( x ^ 2-4 x + 1 ) ( x ^ 2-2 x + 3 ) )( = ( x-2-sqrt { 3 } ) ( x-2+sqrt { 3 } ) ( x ^ 2-2 x + 3 ) )

Phương pháp đặt biến phụ thường gặp 

Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp

Ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử 

Giải phương trình, bất phương trình

Để giải phương trình ( f ( x ) = 0 ) thì ta phân tích hàm số ( f ( x ) ) thành nhân tử rồi thực thi tìm nghiệm của từng nhân tử đó

Ví dụ:

Giải phương trình ( x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 4 x + 2 = 0 )

 Cách giải:

Phương trình đã cho tương tự với 🙁 x ^ 3 + x ^ 2 + 2 x ^ 2 + 2 x + 2 x + 2 = 0 )( Leftrightarrow x ^ 2 ( x + 1 ) + 2 x ( x + 1 ) + 2 ( x + 1 ) = 0 )( Leftrightarrow ( x + 1 ) ( x ^ 2 + 2 x + 2 ) = 0 )( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x + 1 = 0 \ x ^ 2 + 2 x + 2 = 0 end { array } right. )( Rightarrow x = – 1 )

Rút gọn và tính giá trị biểu thức

Để giải những bài toán rút gọn và tính giá trị biểu thức dạng phân thức, ta triển khai phân tích tử và mẫu của biểu thức thành nhân tử rồi chia cả tử và mẫu cho những nhân tử chung của chúng

Ví dụ:

Rút gọn và tính giá trị biểu thức ( P ) với ( x = 3 )( P = frac { 2 } { ( x + 1 ) sqrt { x + 1 } + ( x-1 ) sqrt { x-1 } }. frac { frac { 2 x } { sqrt { x-1 } } – sqrt { x + 1 } } { frac { 1 } { sqrt { x-1 } } – frac { 1 } { sqrt { x + 1 } } } )

Cách giải:

ĐKXĐ : ( x > 1 )Đặt ( a = sqrt { x + 1 } ; b = sqrt { x-1 } ). ĐK : ( a > b > 0 )Khi đó : ( 2 x = a ^ 2 + b ^ 2 )Thay vào ta được 🙁 P = frac { 2 } { a ^ 3 + b ^ 3 }. frac { frac { a ^ 2 + b ^ 2 } { b } – a } { frac { 1 } { b } – frac { 1 } { a } } = frac { 2 } { ( a + b ) ( a ^ 2 – ab + b ^ 2 ) }. frac { frac { a ^ 2 + b ^ 2 – ab } { b } } { frac { a-b } { ab } } )( = frac { 2 } { a + b }. frac { a } { a-b } = frac { 2 a } { a ^ 2 – b ^ 2 } )Thay vào ta được 🙁 P = frac { 2 sqrt { x + 1 } } { 2 } = sqrt { x + 1 } )Với ( x = 3 ), thay vào ta được ( P = 2 )

Sử dụng để chứng minh chia hết

Để chứng tỏ biểu thức ( A ( x ) ) chia hết cho biểu thức ( B ( x ) ) ta phân tích nhân tử ( A ( x ) = B ( x ). C ( x ) )Ngoài ra ta hoàn toàn có thể sử dụng định lý sau :Trong dãy ( k ) số tự nhiên liên tục luôn sống sót duy nhất một và chỉ 1 số ít chia hết cho ( k ) với ( k in mathbb { Z } ^ { + } )

Ví dụ:

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương ( n ) thì biểu thức( P = frac { n } { 3 } + frac { n ^ 2 } { 2 } + frac { n ^ 3 } { 6 } ) luôn là một số ít nguyên dương

Cách giải:

Ta có 🙁 P = frac { n } { 3 } + frac { n ^ 2 } { 2 } + frac { n ^ 3 } { 6 } = frac { n ^ 3 + 3 n ^ 2 + 2 n } { 6 } = frac { n ( n + 1 ) ( n + 2 ) } { 6 } )Vì ( n ; n + 1 ; n + 2 ) là ba số tự nhiên liên tục nên( Rightarrow ) Trong ba số ( n ; n + 1 ; n + 2 ) luôn sống sót một số ít chia hết cho ( 3 ) và một số ít chia hết cho ( 2 )( Rightarrow n ( n + 1 ) ( n + 2 ) vdots 3 ) và ( Rightarrow n ( n + 1 ) ( n + 2 ) vdots 2 )Vì ước chung nhỏ nhất của ( 2 ; 3 ) là ( 1 ) nên( Rightarrow n ( n + 1 ) ( n + 2 ) vdots 6 )Vậy ( Rightarrow P ) là số nguyên dương

Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Sau đây là 1 số ít bài tập phân tích đa thức để thành nhân tử để những bạn rèn luyện( x ^ 2-2 x – 8 )( x ^ 3-7 x + 6 )( x ^ 4-8 x ^ 3 + 24 x ^ 2-35 x + 20 )( 2 x ^ 2 – ( x-1 ) sqrt { x + 1 } – 2 )( xsqrt { x } – sqrt { x } sqrt { x + 1 } + sqrt { x } – xsqrt { x + 1 } + x + 2-2 sqrt { x + 1 } )

( a^3+b^3+c^3-3abc )

( ( a ^ 2 b + b ^ 2 c + c ^ 2 a ) – ( ab ^ 2 + bc ^ 2 + ca ^ 2 ) )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.COM.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết về chuyên đề phân tích đa thức để thành nhân tử. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu kiến thức về phân tích đa thức thành nhân tử. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem thêm :

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Tin Tức