Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai-Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai hai biến – TOÁN HỌC

Phương pháp giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai

Kỹ thuật đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc hai hai biến

Phương pháp

Giải phương trình : $ { { u } ^ { 2 } } + \ alpha uv + \ beta { { v } ^ { 2 } } = 0 USD ( 1 ) bằng cách

• Xét $v\ne 0$ phương trình trở thành  : ${{\left( \frac{u}{v} \right)}^{2}}+\alpha \left( \frac{u}{v} \right)+\beta =0$
• $v=0$ thử trực tiếp

Các trường hợp sau cũng đưa về được ( 1 )

• $a.A\left( x \right)+bB\left( x \right)=c\sqrt{A\left( x \right).B\left( x \right)}$
• $\alpha u+\beta v=\sqrt{m{{u}^{2}}+n{{v}^{2}}}$

*$Q\left( x \right)=\alpha \sqrt{P\left( x \right)}$ với:$\left\{ \begin{align}
& P\left( x \right)=A\left( x \right).B\left( x \right) \\
& Q\left( x \right)=aA\left( x \right)+bB\left( x \right) \\
\end{align} \right.$

Bằng cách thay các biểu thức A(x), B(x)  bởi các  biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương trình vô tỉ theo dạng này .

Phương trình dạng : $a.A\left( x \right)+bB\left( x \right)=c\sqrt{A\left( x \right).B\left( x \right)}$

Ví dụ 1.

Giải phương trình : USD 2 \ left ( { { x } ^ { 2 } } + 2 \ right ) = 5 \ sqrt { { { x } ^ { 3 } } + 1 } $

Giải:

Điều kiện : USD x \ ge – 1 USD .
Nhận xét : $ { x ^ 3 } + 1 = \ left ( { x + 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \ right ) USD
Vậy : $ A ( x ) = x + 1 USD và $ B ( x ) = { x ^ 2 } – x + 1 USD
Đặt $ u = \ sqrt { x + 1 }, v = \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } – x + 1 } $
Phương trình trở thành :
USD 2 \ left ( { { u ^ 2 } + { v ^ 2 } } \ right ) = 5 uv USD

Do:
$\begin{array}{l}
v = \sqrt {{x^2} – x + 1} \\
= \sqrt {\left( {{x^2} – 2.x.\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} \right) + \frac{3}{4}} \\
= \sqrt {{{\left( {{x^2} – \frac{1}{2}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \ge \frac{{\sqrt 3 }}{2} > 0,\forall x
\end{array}$

Nên : USD v \ ne 0, \ forall x USD. Chia hai vế cho : $ { v ^ 2 } \ ne 0 USD

$PT \Leftrightarrow 2{\left( {\frac{u}{v}} \right)^2} – 5\left( {\frac{u}{v}} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = 2v\\
u = \frac{1}{2}v
\end{array} \right.$

$\begin{align}
& *u=2v \\
& \Leftrightarrow \sqrt{x+1}=2\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \\
& \Leftrightarrow x+1=4({{x}^{2}}-x+1) \\
& \Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-5x+3=0.(VN) \\
\end{align}$

$\begin{align}
& *u=\frac{1}{2}v \\
& \Leftrightarrow 2\sqrt{x+1}=\sqrt{{{x}^{2}}-x+1} \\
& \Leftrightarrow 4(x+1)={{x}^{2}}-x+1 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-5x+-3=0 \\
& \Leftrightarrow x=\frac{5\pm \sqrt{37}}{2} \\
\end{align}$

Vậy phương trình có nghiệm : USD x = \ frac { 5 \ pm \ sqrt { 37 } } { 2 } $

Ví dụ 2. 

Giải phương trình sau : USD 2 { { x } ^ { 2 } } + 5 x – 1 = 7 \ sqrt { { { x } ^ { 3 } } – 1 } $

Giải

Điều kiện : USD x \ ge 1 USD
Nhận xét : Ta viết : $ \ alpha \ left ( x-1 \ right ) + \ beta \ left ( { { x } ^ { 2 } } + x + 1 \ right ) = 7 \ sqrt { \ left ( x-1 \ right ) \ left ( { { x } ^ { 2 } } + x + 1 \ right ) } $
Đồng nhất thức ta được : USD 3 \ left ( x-1 \ right ) + 2 \ left ( { { x } ^ { 2 } } + x + 1 \ right ) = 7 \ sqrt { \ left ( x-1 \ right ) \ left ( { { x } ^ { 2 } } + x + 1 \ right ) } USD Đặt $ u = x-1 \ ge 0, v = { { x } ^ { 2 } } + x + 1 > 0 $, ta được :

$3u+2v=7\sqrt{uv}\Leftrightarrow \left[ \begin{align}
& v=9u \\
& v=\frac{1}{4}u \\
\end{align} \right.$

$\begin{align}
& *v=9u \\
& \Leftrightarrow 9\left( x-1 \right)={{x}^{2}}+x+1 \\
& \Leftrightarrow {{x}^{2}}-8x-8=0 \\
& \Leftrightarrow x=4\pm \sqrt{6} \\
\end{align}$

$\begin{array}{l}
*u = 4v\\
\Leftrightarrow x – 1 = 4\left( {{x^2} + x + 1} \right)\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 3x + 5 = 0.(VN)
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiêm : USD x = 4 \ pm \ sqrt { 6 } $ .

Ví dụ 3.

Giải phương trình : $ { { x } ^ { 3 } } – 3 { { x } ^ { 2 } } + 2 \ sqrt { { { \ left ( x + 2 \ right ) } ^ { 3 } } } – 6 x = 0 USD

Giải

Nhận xét : Đặt USD y = \ sqrt { x + 2 } $ ta hãy biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 so với x và y :

$\begin{array}{l}
{x^3} – 3{x^2} + 2{y^3} – 6x = 0\\
\Leftrightarrow {x^3} – 3x{y^2} + 2{y^3} = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {\frac{x}{y}} \right)^3} – 3\left( {\frac{x}{y}} \right) + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
x = – 2y
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy phương trình có nghiệm : USD x = 2, x = 2-2 \ sqrt { 3 } $ .

Phương trình dạng :  $\alpha u+\beta v=\sqrt{m{{u}^{2}}+n{{v}^{2}}}$

Bình phương hai vế thì đưa phương trình về được dạng :
USD a. A \ left ( x \ right ) + bB \ left ( x \ right ) = c \ sqrt { A \ left ( x \ right ). B \ left ( x \ right ) } $ .

Ví dụ 1.  

giải phương trình : ${{x}^{2}}+3\sqrt{{{x}^{2}}-1}=\sqrt{{{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1}$

Giải:

Ta đặt :

$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
v = \sqrt {{x^2} – 1}
\end{array} \right.$

khi đó phương trình trở thành : USD u + 3 v = \ sqrt { { { u } ^ { 2 } } – { { v } ^ { 2 } } } $

Ví dụ 2.

Giải phương trình sau : $ \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } + 2 x } + \ sqrt { 2 x – 1 } = \ sqrt { 3 { { x } ^ { 2 } } + 4 x + 1 } $

Giải

Điều kiện : USD x \ ge \ frac { 1 } { 2 } $ .
Bình phương 2 vế ta có :

$\begin{array}{l}
\sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x – 1} \right)} = {x^2} + 1\\
\Leftrightarrow \sqrt {\left( {{x^2} + 2x} \right)\left( {2x – 1} \right)} = \left( {{x^2} + 2x} \right) – \left( {2x – 1} \right)
\end{array}$

Ta hoàn toàn có thể đặt :

$\left\{ \begin{align}
& u={{x}^{2}}+2x \\
& v=2x-1 \\
\end{align} \right.$

khi đó ta có hệ :

$uv = {u^2} – {v^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}v\\
u = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}v
\end{array} \right.$

Do $ u, v \ ge 0 USD. $ u = \ frac { 1 + \ sqrt { 5 } } { 2 } v \ Leftrightarrow { { x } ^ { 2 } } + 2 x = \ frac { 1 + \ sqrt { 5 } } { 2 } \ left ( 2 x – 1 \ right ) USD

Ví dụ 3. 

Giải phương trình : $ \ sqrt { 5 { { x } ^ { 2 } } – 14 x + 9 } – \ sqrt { { { x } ^ { 2 } } – x-20 } = 5 \ sqrt { x + 1 } $

Giải:

Điều kiện : USD x \ ge 5 USD .
Chuyển vế bình phương ta được : USD 2 { { x } ^ { 2 } } – 5 x + 2 = 5 \ sqrt { \ left ( { { x } ^ { 2 } } – x-20 \ right ) \ left ( x + 1 \ right ) } $

Nhận xét :   không tồn tại số $\alpha ,\beta $ để : $2{{x}^{2}}-5x+2=\alpha \left( {{x}^{2}}-x-20 \right)+\beta \left( x+1 \right)$ vậy ta không thể đặt:

$\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2} – x – 20\\
v = x + 1
\end{array} \right.$

Để xử lý yếu tố này, ta có : $ \ left ( { { x } ^ { 2 } } – x-20 \ right ) \ left ( x + 1 \ right ) = \ left ( x + 4 \ right ) \ left ( x-5 \ right ) \ left ( x + 1 \ right ) = \ left ( x + 4 \ right ) \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 4 x – 5 \ right ) USD .
Ta viết lại phương trình : USD 2 \ left ( { { x } ^ { 2 } } – 4 x – 5 \ right ) + 3 \ left ( x + 4 \ right ) = 5 \ sqrt { ( { { x } ^ { 2 } } – 4 x – 5 ) ( x + 4 ) } $ .
Đến đây bài toán được xử lý .

Sáng tạo

Xuất phát từ đẳng thức :

•  ${{x}^{3}}+1=\left( x+1 \right)\left(
  {{x}^{2}}-x+1 \right)$
• ${{x}^{4}}+{{x}^{2}}+1=\left(
  {{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1 \right)-{{x}^{2}}=\left( {{x}^{2}}+x+1
  \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$
• ${{x}^{4}}+1=\left(
  {{x}^{2}}-\sqrt{2}x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+\sqrt{2}x+1 \right)$
• $4{{x}^{4}}+1=\left(
  2{{x}^{2}}-2x+1 \right)\left( 2{{x}^{2}}+2x+1 \right)$

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như : USD 4 { { x } ^ { 2 } } – 2 \ sqrt { 2 } x + 4 = \ sqrt { { { x } ^ { 4 } } + 1 } $
Để có một phương trình đẹp, cần quan tâm chọn thông số a, b, c sao cho phương trình bậc hai USD a { { t } ^ { 2 } } + bt-c = 0 USD giải có “ nghiệm đẹp ” .

Bài tập thực hành

— — — — — — — — –
Download tài liệu :
PDF : tại đây .

Word: tại đây.

— — — — — — — — –

Xem thêm:

— — — — — — — –

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp