Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian – Chương III

Chương III: Phương Pháp Tọa Độ Trong Không Gian – Hình Học Lớp 12

Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian

Tổng hợp những giải thuật bài tập bài 3 phương trình đường thẳng trong khoảng trống trong chương III giải pháp tọa độ trong khoảng trống hình học lớp 12. Các bài giải từ bài 1 trang 89 sgk hình học 12 cho đến bài 10 trang 91 sgk hình học lớp 12 dành cho những bạn muốn tim giải thuật để tìm hiểu thêm .
Dưới đây là những bài tập kèm theo đó là giải thuật của bài tập trong sách giáo khoa hình học 12 bài 3 phương trình đường thẳng trong khoảng trống .
Ta đã biết trong mặt phẳng ( Oxy ) phương trình tham số của đường thẳng có dạng \ ( \ begin { cases } x = x_0 + ta_1 \ \ y = y_0 + at_2 \ end { cases } \ ) với \ ( a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 ≠ 0 \ ) ( Hình 3.14 a )

Như vậy trong không gian Oxyz phương trình của đường thẳng có dạng như thế nào? (hình 3.14b)

Hình 3.14 a. Đường thẳng trong mặt phẳng

Hình 3.14 b. Đường thẳng trong không gian

I. Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng

Câu hỏi 1 bài 3 trang 82 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz cho điểm \(M_0(1; 2; 3)\) và hai điểm \(M_1(1 + t; 2 + t; 3 + t), M_2(1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t)\) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm \(M_0, M_1,M_2\) luôn thẳng hàng.

Giải:

Ba điểm \ ( M_0, M_1, M_2 \ ) thẳng hàng nếu hai trong ba vectơ \ ( \ vec { M_0M_1 }, \ vec { M_0M_2 }, \ vec { M_1M_2 } \ ) cùng phương .
Do đó chỉ cần kiểm tra hai véc tơ bất kể cùng phương, sử dụng triết lý \ ( \ vec { M_0M_1 }, \ vec { M_0M_2 } \ ) cùng phương nếu sống sót một số ít thực k sao cho \ ( \ vec { M_0M_1 } = k \ vec { M_0M_2 } \ ) .
\ ( \ vec { M_0M_1 } = ( t, t, t ) ; \ vec { M_0M_2 } = ( 2 t, 2 t, 2 t ) \ )
\ ( ⇒ \ vec { M_0M_2 } = 2 \ vec { M_0M_1 } \ )
\ ( ⇒ \ vec { M_0M_2 } ↑ ↑ \ vec { M_0M_1 } \ )
⇒ Ba điểm \ ( M_0, M_1, M_2 \ ) luôn thẳng hàng .

Định lí: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên Δ là có một số thực t sao cho.

\ ( \ begin { cases } x = x_0 + ta_1 \ \ y = y_0 + ta_2 \ \ z = z_0 + ta_3 \ end { cases } \ )

Chứng minh

Ta có : \ ( \ vec { M_0M } = ( x – x_0 ; y – y_0 ; z – z_0 ) \ )
Điểm M nằm trên Δ khi và chỉ khi \ ( \ vec { M_0M } \ ) cùng phương với \ ( \ vec { a } \ ), nghĩa là \ ( \ vec { M_0M } = t \ vec { a } \ ) với t là một số thực. Điều này tương tự với
\ ( \ begin { cases } x – x_0 = ta_1 \ \ y – y_0 = ta_2 \ \ z – z_0 = ta_3 \ end { cases } \ ) hay \ ( \ begin { cases } x = x_0 + ta_1 \ \ y = y_0 + ta_2 \ \ z = z_0 + ta_3 \ end { cases } \ )

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) là phương trình có dạng:

\ ( \ begin { cases } x = x_0 + ta_1 \ \ y = y_0 + ta_2 \, \, ( 1 ) \ \ z = z_0 + ta_3 \ end { cases } \ )
Trong đó t là tham số .

Chú ý: Nếu \(a_1, a_2, a_3\) đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau: \(\frac{x – x_0}{a_1} = \frac{y – y_0}{a_2} = \frac{z – z_0}{a_3}\)

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm \(M_0(1; 2; 3)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec{a} = (1; -4; -5)\)

Giải: Phương trình tham số của Δ là: \(\begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 – 4t\\z = 3 – 5t\end{cases}\)

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)

Giải: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\vec{AB} = (2; 3; -3)\)

Phương trình tham số của AB là : \ ( \ begin { cases } x = 1 + 2 t \ \ y = – 2 + 2 t \ \ z = 3 – 3 t \ end { cases } \ )

Ví dụ 3. Chứng minh đường thẳng d: \(\begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{cases}\) vuông góc với mặt phẳng (α): 2x + 4y + 6z + 9 = 0

Giải: d có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 2; 3)\)

( α ) có vectơ pháp tuyến \ ( \ vec { n } = ( 2 ; 4 ; 6 ) \ )
Ta có \ ( \ vec { n } = 2 \ vec { a } \ ), suy ra d ⊥ ( α )

Câu hỏi 2 bài 3 trang 84 sgk hình học lớp 12: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số \(\begin{cases}x = -1 + 2t\\y = 3 – 3t\\z = 5 + 4t\end{cases}\)

Hãy tìm tọa độ của một điểm M trên Δ và tọa độ một vecto chỉ phương của Δ .

Giải:

Đường thẳng \ ( \ begin { cases } x = x_0 + at \ \ y = y_0 + bt \ \ z = z_0 + ct \ end { cases } \ ) đi qua điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) \ ) và nhận \ ( \ vec { u } = ( a ; b ; c ) \ ) làm vectơ chỉ phương .
Một điểm M thuộc Δ là : M ( – 1 ; 3 ; 5 ) và một vectơ chỉ phương của Δ là \ ( \ vec { a } = ( 2 ; – 3 ; 4 ) \ )

II. Điều Kiện Để Hai Đường Thẳng Song Song, Cắt Nhau, Chéo Nhau

Câu hỏi 3 bài 3 trang 84 sgk hình học lớp 12: Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số lần lượt là:

\ ( \ begin { cases } x = 3 + 2 t \ \ y = 6 + 4 t \ \ z = 4 + t \ end { cases } \ ) và \ ( \ begin { cases } x = 2 + t ’ \ \ y = 1 – t ’ \ \ z = 5 + 2 t ’ \ end { cases } \ )

a) Hãy chứng tỏ điểm M(1; 2; 3) là điểm chung của d và d′

b) Hãy chứng tỏ d và d′ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Giải:

Câu a: Hãy chứng tỏ điểm M(1; 2; 3) là điểm chung của d và d′

– Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d, nếu tìm được t thì M thuộc d .
– Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d ′, nếu tìm được t ′ thì M thuộc d ′ .
Thay tọa độ của M vào phương trình của d ta được :
\ ( \ begin { cases } 1 = 3 + 2 t \ \ 2 = 6 + 4 t \ \ 3 = 4 + t \ end { cases } ⇔ \ begin { cases } t = – 1 \ \ t = – 1 \ \ t = – 1 \ end { cases } ⇔ t = – 1 \ )
Do đó M ∈ d .
Thay tọa độ của M vào phương trình của d ’ ta được :
\ ( \ begin { cases } 1 = 2 + t ’ \ \ 2 = 1 – t ’ \ \ 3 = 5 + 2 t ’ \ end { cases } ⇔ \ begin { cases } t ’ = – 1 \ \ t ’ = – 1 \ \ t ’ = – 1 \ end { cases } ⇔ t ’ = – 1 \ )
Do đó M ∈ d ’ .

Câu b: Hãy chứng tỏ d và d′ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Tìm hai vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng và nhận xét .
Ta thấy \ ( \ vec { u_d } = ( 2 ; 4 ; 1 ) ; \ vec { u_ { d ’ } } = ( 1, – 1, 2 ) \ ) là hai vecto không tỉ lệ nên hai veco đó không cùng phương .
Trong khoảng trống Oxyz cho hai đường thẳng d, d ’ lần lượt đi qua hai điểm M, M ’ và có vectơ chỉ phương lần lượt là \ ( \ vec { a } \ ) và \ ( \ vec { a ’ } \ ). Sau đây ta xét những điều kiện kèm theo để hai đường thẳng d và d ’ song song, cắt nhau hoặc chéo nhau .

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

Trong khoảng trống Oxyz cho 2 đường thẳng d và d ’ có phương trình tham số :
\ ( d : \ begin { cases } x = x_0 + ta_1 \ \ y = y_0 + ta_2 \ \ z = z_0 + ta_3 \ end { cases } \ )
\ ( d ’ : \ begin { cases } x = x ’ _0 + t’a ’ _1 \ \ y = y ’ _0 + t’a ’ _2 \ \ z = z ’ _0 + t’a ’ _3 \ end { cases } \ )
Ta có đường thẳng d có vec tơ chỉ phương : \ ( a = ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) và \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) ∈ d \ )
Ta có đường thẳng d ’ có vec tơ chỉ phương : \ ( a ’ = ( a ’ _1 ; a ’ _2 ; a ’ _3 ) \ )

• d song song với d’ khi và chỉ khi: \(\begin{cases}\vec{a} = k\vec{a’}\\M ∈ d\\M ∉ d’\end{cases}\)
• d trùng với d’ khi và chỉ khi: \(\begin{cases}\vec{a} = k\vec{a’}\\M ∈ d\\M ∈ d’\end{cases}\)

Hình 3.15

Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song:

\ ( d : \ begin { cases } x = 1 + t \ \ y = 2 t \ \ z = 3 – t \ end { cases } \ ) và \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 2 + 2 t ’ \ \ y = 3 + 4 t ’ \ \ z = 5 – 2 t ’ \ end { cases } \ )

Giải:

d có vectơ chỉ phương \ ( \ vec { a } = ( 1 ; 2 ; – 1 ) \ ), lấy M ( 1 ; 0 ; 3 ) ∈ d ; d ’ có vectơ chỉ phương \ ( \ vec { a ’ } = ( 2 ; 4 ; – 2 ) \ )
Vì \ ( \ vec { a } = \ frac { 1 } { 2 } \ vec { a ’ } \ ) và M không thuộc d ’ nên d song song với d ’

Câu hỏi 4 bài 3 trang 86 sgk hình học lớp 12: Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau:

\ ( d : \ begin { cases } x = 3 – t \ \ y = 4 + t \ \ z = 5 – 2 t \ end { cases } \ ) và \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 2 – 3 t ’ \ \ y = 5 + 3 t ’ \ \ z = 3 – 6 t ’ \ end { cases } \ )

Giải:

– Kiểm tra hai véc tơ chỉ phương cùng phương .
– Tìm một điểm thuộc cả hai đường thẳng .
Ta thấy : \ ( \ vec { u_d } = ( – 1, 1, – 2 ) ; \ vec { u_ { d ’ } } = ( – 3, 3, – 6 ) \ )
Có M ( 3 ; 4 ; 5 ) ∈ d. THay tọa độ của M vào d ’ ta được :
\ ( \ begin { cases } 3 = 2 – 3 t ’ \ \ 4 = 5 + 3 t ’ \ \ 5 = 3 – 6 t ’ \ end { cases } ⇔ \ begin { cases } t ’ = – \ frac { 1 } { 3 } \ \ t ’ = – \ frac { 1 } { 3 } \ \ t ’ = – \ frac { 1 } { 3 } \ end { cases } ⇔ t ’ = – \ frac { 1 } { 3 } \ )
Do đó M ( 3 ; 4 ; 5 ) ∈ d ’ nên d trùng với d ’ .

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Gọi phương trình tham số của hai đường thẳng d và d ’ lần lượt là :

\(d: \begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = x’_0 + t’a’_1\\y = y’_0 + t’a’_2\\z = z’_0 + t’a’_3\end{cases}\)

Hai đường thẳng d và d ’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t ’ sau
\ ( \ begin { cases } x_0 + ta_1 = x ’ _0 + t’a ’ _1 \ \ y_0 + ta_2 = y ’ _0 + t’a ’ _2 ( 1 ) \ \ z_0 + ta_3 = z ’ _0 + t’a ’ _3 \ end { cases } \ ) có đúng một nghiệm .

Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm \((t_0; t’_0)\), để tìm giao điểm \(M_0\) của d và d’ ta có thể thay thế \(t_0\) vào phương trình tham số của d hoặc thay \(t’_0\) vào phương trình tham số của d.

Ví dụ 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

\ ( d : \ begin { cases } x = 1 + t \ \ y = 2 + 3 t \ \ z = 3 – t \ end { cases } \ ) và \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 2 – 2 t ’ \ \ y = – 2 + t ’ \ \ z = 1 + 2 t ’ \ end { cases } \ )

Giải:

Xét hệ phương trình \ ( \ begin { cases } 1 + t = 2 – 2 t ’ ( 1 ) \ \ 2 + 3 t = – 2 + t ‘ ( 2 ) \ \ 3 – t = 1 + 3 t ‘ ( 3 ) \ end { cases } \ )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra t = – 1 và t ’ = 1. Thay vào phương trình ( 3 ) ta thấy nó thỏa mãn nhu cầu. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm t = – 1, t ’ = 1 .
Suy ra d cắt d ’ tại điểm M ( 0 ; – 1 ; 4 )

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy …
Hai đường thẳng d và d ’ chéo nhau khi và chỉ khi \ ( \ vec { a } \ ) và \ ( \ vec { a ’ } \ ) không cùng phương và hệ phương trình
\ ( \ begin { cases } x_0 + ta_1 = x ’ _0 + t’a ’ _1 \ \ y_0 + ta_2 = y ’ _0 + t’a ’ _2 ( 1 ) \ \ z_0 + ta_3 = z ’ _0 + t’a ’ _3 \ end { cases } \ ) vô nghiệm ( với d và d ’ có phương trình như ở mục II. 2 )

Tóm lại: Khi cho đường thẳng d có vec tơ chỉ phương \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) đi qua điểm \(M( x_o; y_o; z_o)\) và đường thẳng d’ có vec tơ chỉ phương \(a’ = (a’_1; a’_2; a’_3)\).

Ta có :

Quan hệ giữa 2 VTCP	Hệ phương trình (1)	Vị trí giữa d và d’
Cùng phương	Có nghiệm	d trùng với d’
Cùng phương	Vô nghiệm	d song song d’
Không cùng phương	Có nghiệm	d cắt d’
Không cùng phương	Vô nghiệm	d và d’chéo nhau

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

\ ( d : \ begin { cases } x = 1 + 2 t \ \ y = – 1 + 2 t \ \ z = 5 + t \ end { cases } \ ) và \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 1 + 3 t ’ \ \ y = – 2 + 2 t ’ \ \ z = – 1 + 2 t ’ \ end { cases } \ )

Giải:

Hình 3.16

Ta có : \ ( \ vec { a } = ( 2 ; 3 ; 1 ) \ ) và \ ( \ vec { a ’ } = ( 3 ; 2 ; 2 ) \ )
Vì \ ( \ vec { a } ≠ k \ vec { a ’ } \ ) suy ra d và d ’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau ( Hình 3.16 )
Xét hệ phương trình : \ ( \ begin { cases } 1 + 2 t = 1 + 3 t ’ \ \ – 1 + 3 t = – 2 + 2 t ’ \ \ 5 + t = – 1 + 2 t ’ \ end { cases } \ )
Từ hai phương trình đầu ta được \ ( t = – \ frac { 3 } { 5 } \ ) và \ ( t ’ = – \ frac { 2 } { 5 } \ ), thay vào phương trình cuối không thỏa mãn nhu cầu .
Ta suy ra hệ trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng d và d ’ chéo nhau .

Ví dụ 4. Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc

\ ( d : \ begin { cases } x = 5 – 5 \ \ y = – 3 + 2 t \ \ z = 4 t \ end { cases } \ ) và \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 9 + 2 t ’ \ \ y = 13 + 3 t ’ \ \ z = 1 – t ’ \ end { cases } \ )

Giải:

d và d ’ lần lượt có vectơ chỉ phương là \ ( \ vec { a } = ( – 1 ; 2 ; 4 ) \ ) và \ ( \ vec { a ’ } = ( 2 ; 3 ; – 1 ) \ )
Ta có \ ( \ vec { a }. \ vec { a ’ } = – 2 + 6 – 4 = 0 \ )
Suy ra d ⊥ d ; .

Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: \(\begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\)

Xét phương trình \ ( A ( x_0 + ta_1 ) + B ( y_0 + ta_2 ) + C ( z_0 + ta_3 ) + D = 0 \ ) ( t là ẩn ) ( 1 )

– Nếu phương trình ( 1 ) vô nghiệm thì d và ( α ) không có điểm chung, vậy d / / ( α ) ( Hình 3.17 a )
– Nếu phương trình ( 1 ) có đúng một nghiệm \ ( t = t_0 \ ) thì d cắt ( α ) tại điểm \ ( M_0 ( x_0 + t_0a_1 ; y_0 + t_0a_2 ; z_0 + t_0a_3 ) \ ) ( Hình 3.17 b )
– Nếu phương trình ( 1 ) có vô số nghiệm thì d thuộc ( α ) ( Hình 3.17 c )

Giải Bài Tập SGK Bài 3: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian

Hướng dẫn làm bài tập sgk bài 3 phương trình đường thẳng trong khoảng trống chương 3 hình học lớp 12. Bài học giúp những bạn tìm hiểu và khám phá điều kiện kèm theo để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau .

Bài Tập 1 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng \ ( \ ) \ ( d \ ) trong những trường hợp sau :

a. d đi qua điểm M(5; 4; 1) có vec tơ chỉ phương \(\vec{a}(2; -3; 1)\) ;

b. d đi qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: x + y – z + 5 = 0

c. d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình:

\ ( \ begin { cases } x = 1 + 2 t \ \ y = – 3 + 3 t \ \ z = 4 t \ end { cases } \ )

d. d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

Bài Tập 2 Trang 89 SGK Hình Học Lớp 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \ ( d : \ begin { cases } x = 2 + t \ \ y = – 3 + 2 t \ \ z = 1 + 3 t \ end { cases } \ ) lần lượt trên những mặt phẳng sau :

a. (Oxy).

b. (Oyz).

Bài Tập 3 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d ’ trong những trường hợp sau :

a. \(\)\(d: \begin{cases}x = -3 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 6 + 4t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 5 + t’ \\ y = -1 – 4t’ \\ z = 20 + t’\end{cases}\)

b. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 – t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 1 + 2t’ \\ y = -1 + 2t’ \\ z = 2 – 2t’\end{cases}\)

Bài Tập 4 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Tìm \ ( \ ) \ ( a \ ) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau :
\ ( d : \ begin { cases } x = 1 + at \ \ y = t \ \ z = – 1 + 2 t \ end { cases } \ ) \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 1 – t ’ \ \ y = 2 + 2 t ’ \ \ z = 3 – t ’ \ end { cases } \ )

Bài Tập 5 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Tìm số giao điểm của đường thẳng \ ( d \ ) và mặt phẳng ( α ) trong những trường hợp sau :

a. \(\)\(d: \begin{cases}x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t\end{cases}\) và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0

b. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 2t\end{cases}\) và (α) : x + 3y + z = 0

c. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 – 3t\end{cases}\) và (α) : x + y + z – 4 = 0

Bài Tập 6 Trang 90 SGK Hình Học Lớp 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng \ ( \ ) \ ( ∆ : \ begin { cases } x = – 3 + 2 t \ \ y = – 1 + 3 t \ \ z = – 1 + 2 t \ end { cases } \ ) và mặt phẳng ( α ) : 2 x – 2 y + z + 3 = 0 .

Bài Tập 7 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12

Cho điểm A ( 1 ; 0 ; 0 ) và đường thẳng \ ( ∆ : \ begin { cases } x = 2 + t \ \ y = 1 + 2 t \ \ z = t \ end { cases } \ ) .

a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Bài Tập 8 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12

Cho điểm M ( 1 ; 4 ; 2 ) và mặt phẳng ( α ) : x + y + z – 1 = 0

a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

Bài Tập 9 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12

Cho hai đường thẳng : \ ( \ ) \ ( d : \ begin { cases } x = 1 – t \ \ y = 2 + 2 t \ \ z = 3 t \ end { cases } \ ) và \ ( d ’ : \ begin { cases } x = 1 + t ’ \ \ y = 3 – 2 t ’ \ \ z = 1 \ end { cases } \ ). Chứng minh d và d ’ chéo nhau .

Bài Tập 10 Trang 91 SGK Hình Học Lớp 12

Giải bài toán sau đây bằng giải pháp tọa độ :
Cho hình lập phương ABCD.A ’ B’C ’ D ’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến những mặt phẳng ( A’BD ) và B’D ’ C ) .
Các bạn vừa tổng kết nội dung triết lý bài 3 phương trình đường thẳng trong khoảng trống chương 3 hình học lớp 12. Qua nội dung bài học kinh nghiệm những bạn sẽ được tìm hiểu và khám phá về điều kiện kèm theo để đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau .

5/5 (1 bình chọn)

Related

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp