Dạng 3: Phương trình chứa tham số P2

Bài 21:  Cho phương trình ${{x}^{4}}-({{m}^{2}}+4m){{x}^{2}}+7m-1=0$. Định $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt và tổng bình phương tất cả các nghiệm bằng 10

Hướng dẫn giải

Đặt USD X = { { x } ^ { 2 } } \ left ( X \ ge 0 \ right ) USD

Phương trình trở thành ${{X}^{4}}-({{m}^{2}}+4m){{X}^{2}}+7m-1=0$ (1)

Phương trình có 4 nghiệm phân biệt Û ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt dương

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta  > 0\\
S > 0\\
P > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{({m^2} + 4m)^2} – 4(7m – 1) > 0\\
{m^2} + 4m > 0\\
7m – 1 > 0
\end{array} \right.$(I)     

Với điều kiện kèm theo ( I ), ( 1 ) có 2 nghiệm phân biệt dương $ { { X } _ { 1 } } $, USD { { X } _ { 2 } } $ .
Þ Phương trình đã cho có 4 nghiệm
USD { { x } _ { 1,2 } } = \ pm \ sqrt { { { X } _ { 1 } } } $ ;
USD { { x } _ { 3,4 } } = \ pm \ sqrt { { { X } _ { 2 } } } $
USD \ Rightarrow x_ { 1 } ^ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } + x_ { 3 } ^ { 2 } + x_ { 4 } ^ { 2 } = 2 ( { { X } _ { 1 } } + { { X } _ { 2 } } ) = 2 ( { { m } ^ { 2 } } + 4 m ) USD

Vậy ta có $2({m^2} + 4m) = 10 \Rightarrow {m^2} + 4m – 5 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  – 5
\end{array} \right.$

Với USD m = 1 USD, ( I ) thỏa mãn nhu cầu
Với USD m = – 5 USD, ( I ) không thỏa mãn nhu cầu .
Vậy USD m = 1 $ là giá trị cần tìm .

Bài 22:Cho phương trình:${{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)+{{m}^{2}}+m-6=0\quad \left( * \right)$

a ) Tìm USD m USD để phương trình $ \ left ( * \ right ) USD có hai nghiệm .
b ) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm .
c ) Tìm USD m USD để phương trình $ \ left ( * \ right ) USD có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } $, $ { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu $ \ left | x_ { 1 } ^ { 3 } – x_ { 2 } ^ { 3 } \ right | = 50 USD .

Hướng dẫn giải

a ) USD \ Delta = { { \ left ( 2 m + 1 \ right ) } ^ { 2 } } – 4 \ left ( { { m } ^ { 2 } } + m-6 \ right ) = 25 > 0 $ $ \ Leftrightarrow 25 > 0 $ với mọi giá trị của m .
Vậy phương trình $ \ left ( * \ right ) USD luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi USD m USD .

b) Theo Vi-et ta có:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1}{x_2} = {m^2} + m – 6}\\
{{x_1} + {x_2} = 2m + 1}
\end{array}} \right.$

Để phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm âm thì:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_1}.{x_2} > 0}\\
{{x_1} + {x_2} < 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m^2} + m – 6 > 0}\\
{2m + 1 < 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m <  - 3{\rm{ }}ho{\rm{a}}c{\rm{ }}m > 2}\\
{m <  - \frac{1}{2}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow m <  - 3$

Vậy với USD m < - 3 $ thì phương trình $ \ left ( * \ right ) USD luôn có hai nghiệm âm . c ) Với USD \ Delta = 25 USD suy ra $ { { x } _ { 1 } } = m-2 ; { { x } _ { 2 } } = m + 3 USD Theo giả thiết, ta có : $ \ left | x_ { 1 } ^ { 3 } - x_ { 2 } ^ { 3 } \ right | = 50 USD $ \ Leftrightarrow \ left | { { \ left ( m-2 \ right ) } ^ { 3 } } - { { \ left ( m + 3 \ right ) } ^ { 3 } } \ right | = 50 USD $ \ Leftrightarrow \ left | 5 \ left ( 3 { { m } ^ { 2 } } + 3 m + 7 \ right ) \ right | = 50 USD

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}+m-1=0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{m_1} = \frac{{ – 1 + \sqrt 5 }}{2}}\\
{{m_2} = \frac{{ – 1 – \sqrt 5 }}{2}}
\end{array}} \right.$

Bài 23: Cho phương trình: $2{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m-1=0$

a ) Giải phương trình khi USD m = 2 USD .
b ) Tìm USD m USD để phương trình có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu USD 3 { { x } _ { 1 } } – 4 { { x } _ { 2 } } = 11 USD
c ) Tìm đẳng thức liên hệ giữa $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ không phụ thuộc vào vào USD m USD .
d ) Với giá trị nào của USD m USD thì $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ cùng dương .

Hướng dẫn giải

a ) Với USD m = 2 $ phương trình trở thành
USD 2 { { x } ^ { 2 } } + 3 x + 1 = 0 USD. Ta có USD a-b+c = 2-3 + 1 = 0 USD. Vậy phương trình có 2 nghiệm
USD { { x } _ { 1 } } = – 1 ; $ $ { { x } _ { 2 } } = \ frac { – c } { a } = \ frac { – 1 } { 2 } $
Vậy phương trình có tập nghiệm $ S = \ left \ { – 1 ; – \ frac { 1 } { 2 } \ right \ } $
b ) Ta có USD \ Delta = { { b } ^ { 2 } } – 4 ac = { { \ left ( 2 m – 1 \ right ) } ^ { 2 } } – 4.2. \ left ( m-1 \ right ) USD
USD = 4 { { m } ^ { 2 } } – 12 m + 9 = { { \ left ( 2 m – 3 \ right ) } ^ { 2 } } $
Vì USD { { \ left ( 2 m – 3 \ right ) } ^ { 2 } } \ ge 0 $ với mọi USD m USD nên $ \ Delta \ ge 0 $ với mọi USD m USD
Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ với mọi USD m USD
Theo hệ thức Vi-et ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{1 – 2m}}{2}\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{x_1}{x_2} = \frac{{m – 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)
\end{array} \right.$

Kết hợp USD 3 { { x } _ { 1 } } – 4 { { x } _ { 2 } } = 11 $ và ( 1 ) ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{1 – 2m}}{2}\\
3{x_1} – 4{x_2} = 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x_1} + 4{x_2} = 2\left( {1 – 2m} \right)\\
3{x_1} – 4{x_2} = 11
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{13 – 4m}}{7}\\
{x_1} + {x_2} = \frac{{1 – 2m}}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{13 – 4m}}{7}\\
{x_2} = \frac{{ – 19 – 6m}}{{14}}
\end{array} \right.$

Thay $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ vào pt ( 2 ) ta có
USD { { x } _ { 1 } }. { { x } _ { 2 } } = \ frac { m-1 } { 2 } $
USD \ Rightarrow \ frac { 13-4 m } { 7 }. \ frac { – 19-6 m } { 14 } = \ frac { m-1 } { 2 } $
USD \ Leftrightarrow 24 { { m } ^ { 2 } } – 51 m – 198 = 0 USD
USD \ Leftrightarrow 8 { { m } ^ { 2 } } – 17 m – 66 = 0 USD

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m =  – 2\\
m = \frac{{33}}{8}
\end{array} \right.\left( {TM} \right)$. Vậy $m \in \left\{ { – 2;\frac{{33}}{8}} \right\}$

c ) Theo Vi-et ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{1 – 2m}}{2}\,\\
{x_1}{x_2} = \frac{{m – 1}}{2}\,\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 – 2m\\
2{x_1}{x_2} = m – 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 1 – 2m\\
4{x_1}{x_2} = 2m – 2
\end{array} \right.$

USD \ Rightarrow 2 \ left ( { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } \ right ) + 4 { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = – 1 USD
Vậy hệ thức liên hệ USD 2 \ left ( { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } \ right ) + 4 { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = – 1 $ có giá trị không nhờ vào vào USD m USD .
d ) Theo câu b phương trình luôn có nghiệm với mọi USD m USD
Để phương trình có hai nghiệm cùng dương thì

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} > 0\\
{x_1}{x_2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{1 – 2m}}{2} > 0\\
\frac{{m – 1}}{2} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 – 2m > 0\\
m – 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{2}\\
m > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \in \emptyset $

Vậy không có giá trị nào của USD m USD để phương trình có hai nghiệm dương .

Bài 24: Cho phương trình bậc hai:  ${{x}^{2}}+\text{ }2(m-1)x-\text{ }(m+\text{ }1)=\text{ }0\text{ }\left( 1 \right)$

a ) Tìm giá trị USD m USD để phương trình $ \ left ( 1 \ right ) USD có một nghiệm lớn hơn USD 1 $ và một nghiệm nhỏ hơn USD 1 USD .
b ) Tìm giá trị USD m USD để phương trình $ \ left ( 1 \ right ) USD có hai nghiệm đều nhỏ hơn USD 2 USD .

Hướng dẫn giải

a ) Ta có : USD \ Delta ‘ = { { ( m-1 ) } ^ { 2 } } + m + 1 = { { ( m – \ frac { 1 } { 2 } ) } ^ { 2 } } + \ frac { 7 } { 4 } > 0, \ forall m. $ Nên phương trình ( 1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m .
Theo hệ thức Vi – ét ta có

 $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  – 2\left( {m – 1} \right)\\
{x_1}.{x_2} =  – \left( {m + 1} \right)
\end{array} \right.$

Để phương trình ( 1 ) có một nghiệm lớn hơn USD 1 USD, một nghiệm nhỏ hơn USD 1 $ thì $ \ left ( { { x } _ { 1 } } – 1 \ right ) \ left ( { { x } _ { 2 } } – 1 \ right ) < 0 USD USD \ Leftrightarrow { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } - \ left ( { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } \ right ) + 1 < 0 USD USD \ Leftrightarrow - \ left ( m + 1 \ right ) + 2 \ left ( m-1 \ right ) + 1 < 0 USD USD \ Leftrightarrow m < 2 USD

Cách 2: Đặt $\text{y }=\text{ x }-1\Rightarrow x=y+1$ thì phương trình (1) trở thành:

USD { { \ left ( y \ text { + } 1 \ right ) } ^ { 2 } } + \ text { } 2 ( m-1 ) \ left ( y \ text { + } 1 \ right ) \ text { } – \ text { } ( m + \ text { } 1 ) = \ text { } 0 USD
USD \ Leftrightarrow \ text { } { { y } ^ { 2 } } + \ text { } 2 m. y \ text { + } m – \ text { } 2 = \ text { } 0 \ text { } ( 2 ) USD
Để phương trình ( 1 ) có một nghiệm $ { { x } _ { 1 } } $ lớn hơn USD 1 USD, một nghiệm $ { { x } _ { 2 } } $ nhỏ hơn USD 1 $ thì phương trình ( 2 ) có hai nghiệm $ { { y } _ { 1 } } ; { { y } _ { 2 } } $ trái dấu $ \ Leftrightarrow m-2 < 0 $ $ \ Leftrightarrow $ $ m < 2 USD

b) Để phương trình có hai nghiệm đều nhỏ hơn 2 thì $\left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} – 2} \right)\left( {{x_2} – 2} \right) > 0\\
{x_1} – 2 + {x_2} – 2 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1}{x_2} – 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 > 0\\
{x_1} + {x_2} < 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{1}{3}\\
m >  – 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{1}{3}$

Bài 25: Cho phương trình ${{x}^{2}}-(2m+3)x+{{m}^{2}}+3m+2=0$ $$

a ) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt .
b ) Xác định USD m USD để phương trình có một nghiệm bằng USD 2 USD. Tìm nghiệm còn lại .
c ) Xác định USD m USD để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn nhu cầu USD – 3 < { { x } _ { 1 } } < { { x } _ { 2 } } < 6 USD d ) Xác định USD m USD để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia .

Hướng dẫn giải

a ) Ta có : USD \ Delta = { { ( 2 m + 3 ) } ^ { 2 } } – 4.1. ( { { m } ^ { 2 } } + 3 m + 2 ) USD
USD = 4 { { m } ^ { 2 } } + 12 m + 9-4 { { m } ^ { 2 } } – 12 m – 8 USD
USD = 1 > 0 USD
Phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi USD m USD .
b ) Vì phương trình có một nghiệm bằng USD 2 USD nên ta thay USD x = 2 USD vào phương trình có :
USD { { 2 } ^ { 2 } } – ( 2 m + 3 ) 2 + { { m } ^ { 2 } } + 3 m + 2 = 0 USD
USD \ Leftrightarrow 4-4 m – 6 + { { m } ^ { 2 } } + 3 m + 2 = 0 USD
USD \ Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } – m = 0 USD
USD \ Leftrightarrow m ( m-1 ) = 0 USD

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 1
\end{array} \right.$

Theo hệ thức Vi-et ta có:$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 3\\
{x_1}.{x_2} = {m^2} + 3m + 2
\end{array} \right.$ thay ${x_1} = 2$ :$\left\{ \begin{array}{l}
2 + {x_2} = 2m + 3\\
2.{x_2} = {m^2} + 3m + 2
\end{array} \right.$

·Với $m=0$ thay vào ta có: $$\left\{ \begin{array}{l}
2 + {x_2} = 3\\
2.{x_2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 1$

·Với $m\text{ }=1$ thay vào ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
2 + {x_2} = 5\\
2.{x_2} = 6
\end{array} \right. \Rightarrow {x_2} = 3$

c) Theo trên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa:$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 3\\
{x_1}.{x_2} = {m^2} + 3m + 2
\end{array} \right.$

Vì $ – 3 < {x_1} < {x_2} < 6$ nên$\left\{ \begin{array}{l}
 – 3 < {x_1} < {x_2}\\
{x_1} < {x_2} < 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < {x_1} + 3 < {x_2} + 3\\
{x_1} – 6 < {x_2} - 6 < 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
({x_1} + 3) + ({x_2} + 3) > 0\\
({x_1} + 3)({x_2} + 3) > 0\\
({x_1} – 6) + ({x_2} – 6) < 0\\
({x_1} – 6)({x_2} – 6) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} + 6 > 0\\
{x_1}.{x_2} + 3.({x_1} + {x_2}) + 9 > 0\\
{x_1} + {x_2} – 12 < 0\\
{x_1}.{x_2} – 6({x_1} + {x_2}) + 36 > 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + 3 + 6 > 0\\
{m^2} + 3m + 2 + 3(2m + 3) + 9 > 0\\
2m + 3 – 12 < 0\\
{m^2} + 3m + 2 – 6(2m + 3) + 36 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + 9 > 0\\
{m^2} + 9m + 20 > 0\\
2m – 9 < 0\\
{m^2} – 9m + 20 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ – 9}}{2}\\
(m + 4)(m + 5) > 0\\
m < \frac{9}{2}\\
(m – 4)(m – 5) > 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > \frac{{ – 9}}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m <  - 5\\
m >  – 4
\end{array} \right.\\
m < \frac{9}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 4\\
m > 5
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow  – 4 < m < 4$

Vậy $-4

Cách 2: Ta tính $\Delta =1>0$ $\Rightarrow $  Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt :

    $\begin{array}{l}
{x_2} = \frac{{2m + 3 + 1}}{2} = m + 2\\
{x_1} = \frac{{2m + 3 – 1}}{2} = m + 1
\end{array}$

Vì $-3<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<6$ nên $-3

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 1 >  – 3\\
m + 2 < 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m >  – 4\\
m < 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow  – 4 < m < 4$

d ) Phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia :
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt : $ { { x } _ { 1 } } = \ frac { 2 m + 3-1 } { 2 } = m + 1 USD ; $ { { x } _ { 2 } } = \ frac { 2 m + 3 + 1 } { 2 } = m + 2 USD
Theo nhu yếu đề toán : nghiệm này bằng bình phương nghiệm kia :
Trường hợp 1 : $ { { x } _ { 2 } } = x_ { 1 } ^ { 2 } \ text { } $
USD \ Leftrightarrow m + 2 = { { ( m + 1 ) } ^ { 2 } } $
USD \ Leftrightarrow m + 2 = { { m } ^ { 2 } } + 2 m + 1 USD
USD \ Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } + m-1 = 0 USD
USD \ Leftrightarrow m = \ frac { – 1 \ pm \ sqrt { 5 } } { 2 } $
Trường hợp 2 : $ { { x } _ { 1 } } = x_ { 2 } ^ { 2 } \ text { } $
$ \ left ( m + 1 \ right ) = { { \ left ( m + 2 \ right ) } ^ { 2 } } $ ( * )
USD \ Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } + 4 m + 4 – m-1 = 0 USD
USD \ Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } + 3 m + 3 = 0 USD
USD \ Delta < 0 $ $ \ Rightarrow $ Phương trình ( * ) vô nghiệm . Kết luận : USD m = \ frac { - 1 \ pm \ sqrt { 5 } } { 2 } $ là giá trị cần tìm

Bài 26:Cho phương trình $m{{x}^{2}}+2(m-2)x+m-3=0$

a ) Xác định USD m USD để phương trình có hai nghiệm trái dấu .
b ) Xác định USD m USD để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn .
c ) Tìm một hệ thức liên hệ giữa những nghiệm không phụ thuộc vào vào USD m USD .
d ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức USD x_ { 1 } ^ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } $

Hướng dẫn giải

a ) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì USD m \ ne 0 $ và USD a. c < 0 USD

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m – 3 > 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m – 3 < 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
m < 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 3$

b ) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì

   $\left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
\Delta  > 0\\
S < 0\\
P < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
4{(m – 2)^2} – 4m(m – 3) > 0\\
\frac{{ – 2(m – 2)}}{m} < 0\\
\frac{{m – 3}}{m} < 0
\end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} – 4m + 4 – {m^2} + 3m > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 2
\end{array} \right.\\
0 < m < 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
m < 4\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 2
\end{array} \right.\\
0 < m < 3
\end{array} \right.$

USD \ Leftrightarrow 2 < m < 3 USD c ) Để phương trình đã cho có nghiệm $ { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } } $ thì USD m \ ne 0 $ và $ \ Delta \ ge 0 \ Leftrightarrow m \ ne 0 \ text { } v \ grave { a } \ text { } m \ le 4 USD

Khi đó theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – 2(m – 2)}}{m} =  – 2 + \frac{4}{m}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 3}}{m} = 1 – \frac{3}{m}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3({x_1} + {x_2}) =  – 6 + \frac{{12}}{m}\\
4{x_1}.{x_2} = 4 – \frac{{12}}{m}
\end{array} \right.$

USD \ Rightarrow 3 ( { x_1 } + { x_2 } ) + 4 { x_1 } { x_2 } = – 2 USD
Đây là hệ thức liên hệ giữa những nghiệm không phụ thuộc vào vào USD m USD .
d ) Với USD m \ ne 0 $ và USD m \ le 4 $ thì phương trình luôn có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu

          $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – 2(m – 2)}}{m}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 3}}{m}
\end{array} \right.$

Ta có : $ A = x_ { 1 } ^ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } = { { ( { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } ) } ^ { 2 } } – 2 { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } $
USD = { { \ left [ \ frac { – 2 ( m-2 ) } { m } \ right ] } ^ { 2 } } – 2. \ frac { m-3 } { m } USD
USD = \ frac { 4 ( { { m } ^ { 2 } } – 4 m + 4 ) } { { { m } ^ { 2 } } } – \ frac { 2 m – 6 } { m } USD
USD = \ frac { 4 { { m } ^ { 2 } } – 16 m + 16-2 { { m } ^ { 2 } } + 6 m } { { { m } ^ { 2 } } } $
USD = \ frac { 2 { { m } ^ { 2 } } – 10 m + 16 } { { { m } ^ { 2 } } } $
USD = 2 – \ frac { 10 } { m } + \ frac { 16 } { { { m } ^ { 2 } } } = { { \ left ( \ frac { 4 } { m } \ right ) } ^ { 2 } } – 2. \ frac { 4 } { m }. \ frac { 5 } { 4 } + \ frac { 25 } { 16 } + \ frac { 7 } { 16 } $
USD = { { \ left ( \ frac { 4 } { m } – \ frac { 5 } { 4 } \ right ) } ^ { 2 } } + \ frac { 7 } { 16 } \ ge \ frac { 7 } { 16 } $
USD { { A } _ { \ min } } = \ frac { 7 } { 16 } USD. Dấu “ = ” xảy ra khi $ \ frac { 4 } { m } = \ frac { 5 } { 4 } \ Leftrightarrow m = \ frac { 16 } { 5 } $ ( tm )
Vậy GTNN của USD x_ { 1 } ^ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } $ là $ \ frac { 7 } { 16 } $ xảy ra khi USD m = \ frac { 16 } { 5 } $

Bài 27:Cho phương trình bậc hai $m{{x}^{2}}-(5m-2)x+6m-5=0$

a ) Tìm USD m USD để phương trình có hai nghiệm đối nhau .
b ) Tìm USD m USD để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau .

Hướng dẫn giải

a ) Xét phương trình USD m { { x } ^ { 2 } } – \ left ( 5 m – 2 \ right ) x + 6 m – 5 = 0 USD
Để để phương trình có hai nghiệm đối nhau thì :

$\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta  > 0\\
{x_1} + {x_2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\left( {5m – 2} \right)^2} – 4.m.\left( {6m – 5} \right) > 0\\
\frac{{5m – 2}}{m} = 0
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} + 4 > 0\\
5m – 2 = 0
\end{array} \right.$ (luôn đúng với mọi $m$)  $ \Leftrightarrow m = \frac{2}{5}\,$ (thỏa mãn)

Vậy USD m = \ frac { 2 } { 5 } $ thì phương trình có hai nghiệm đối nhau .
b ) Xét phương trình USD m { { x } ^ { 2 } } – \ left ( 5 m – 2 \ right ) x + 6 m – 5 = 0 USD
Để để phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau thì :

$\left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
\Delta  > 0\\
{x_1}.{x_2} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{\left( {5m – 2} \right)^2} – 4.m.\left( {6m – 5} \right) > 0\\
\frac{{6m – 5}}{m} = 1
\end{array} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 0\\
{m^2} + 4 > 0\\
6m – 5 = m
\end{array} \right.$ (luôn đúng với$\forall m$)  $ \Leftrightarrow m = 1\,\,$(thỏa mãn)

Vậy USD m = 1 $ thì phương trình có hai nghiệm nghịch đảo nhau .

Bài 28:Tỉm  giá trị m để phương trình:

a ) USD 2 { { x } ^ { 2 } } + mx + m-3 = 0 $ có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương .
b ) $ { { x } ^ { 2 } } – 2 ( m-1 ) x + m-3 = 0 $ có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối .

Hướng dẫn giải

a ) Xét phương trình USD 2 { { x } ^ { 2 } } + mx + m-3 = 0 $ để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì : USD a. c < 0 \ Leftrightarrow 2. ( m-3 ) < 0 \ Leftrightarrow m <3 USD. $ \ left ( 1 \ right ) USD Với USD m <3 $, vận dụng hệ thức Vi – ét ta có :

$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – b}}{a}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{ – m}}{2}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m – 3}}{2}
\end{array} \right.$

Có nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương suy ra :
USD \ left | { { x } _ { 1 } } \ right | > \ left | { { x } _ { 2 } } \ right | $ trong đó $ { { x } _ { 1 } } < 0 \, \, ; \, \, { { x } _ { 2 } } > 0 USD nên USD – { { x } _ { 1 } } > { { x } _ { 2 } } \ Leftrightarrow { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } < 0 \ Leftrightarrow \ frac { - m } { 2 } < 0 \ Leftrightarrow m > 0 USD. $ \ left ( 2 \ right ) USD

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$ suy ra $0

Vậy $0

Chú ý: Đề bài có nghĩa tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm âm.

b) ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối.

Xét phương trình: ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$  (2) có:

( USD a = 1 ; b = – 2 ( m-1 ) ; c = m + 3 USD )

PT (2) có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
P < 0\\
S = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ne 0\\
a.c < 0\\
\frac{{ – b}}{a} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
1 \ne 0\\
1.(m – 3) < 0\\
\frac{{2(m – 1)}}{1} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m – 3 < 0\\
m – 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 3\\
m = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1$

Vậy với m = 1 thì pt đã cho có hai nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối .

Bài 29:Cho phương trình: ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+{{m}^{2}}-3m=0$ (1)

a ) Giải phương trình khi USD m = – 1. $
b ) Tìm USD m USD để pt ( 1 ) có nghiệm .
c ) Tìm USD m USD để ( 1 ) có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu $ \ frac { 1 } { { { x } _ { 1 } } } + \ frac { 1 } { { { x } _ { 2 } } } = – 1 USD

Hướng dẫn giải

a ) Thay $ m = – 1 $ vào ( 1 ) ta có : $ { { x } ^ { 2 } } + 4 x + 4 = 0 \ Leftrightarrow { { \ left ( x + 2 \ right ) } ^ { 2 } } = 0 \ Leftrightarrow x = – 2 USD
Vậy với USD m = – 1 $ thì phương trình có nghiệm USD x = – 2. $
b ) Ta có : USD { { \ Delta } ^ { ‘ } } = m + 1 USD
Để pt ( 1 ) có nghiệm thì $ { { \ Delta } ^ { ‘ } } \ ge 0 \ Leftrightarrow m + 1 \ ge 0 \ Leftrightarrow m \ ge – 1. $
Vậy với USD m \ ge – 1 $ thì pt ( 1 ) có nghiệm .
c ) Áp dụng hệ thức Viet ta có : $ { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } = 2 \ left ( m-1 \ right ) ; { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = { { m } ^ { 2 } } – 3 m USD
USD \ frac { 1 } { { { x } _ { 1 } } } + \ frac { 1 } { { { x } _ { 2 } } } = – 1 USD
USD \ Leftrightarrow \, \, \, \, \, { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } + { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } \, \, \, \, \, \, = 0 USD
USD \ Leftrightarrow 2 m – 2 + { { m } ^ { 2 } } – 3 m = 0 USD
USD \ Leftrightarrow \, \, \, \, \, \, \, \, { { m } ^ { 2 } } – m-2 \, \, \, \, \, \, \, \, \, = 0 \, \, \, \, \ left ( 2 \ right ) USD
Ta có : USD a-b+c = 1 – \ left ( – 1 \ right ) – 2 = 0 USD
Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm $ { { m } _ { 1 } } = – 1 ; { { m } _ { 2 } } = 2 USD
Vậy với USD m \ in \ text { } \ ! \ ! \ { \ ! \ ! \ text { } – 1 ; 2 \ } $ thì pt ( 1 ) có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } }, { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu $ \ frac { 1 } { { { x } _ { 1 } } } + \ frac { 1 } { { { x } _ { 2 } } } = – 1 USD .

Bài 30:Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+4m=0$

a ) Xác đinh USD m USD để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó
b ) Xác định USD m USD để phương trình có một nghiệm bằng USD 4 USD. Tính nghiệm còn lại .
c ) Với điều kiện kèm theo nào của USD m USD thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu ( trái dấu )
d ) Với điều kiện kèm theo nào cửa USD m USD thì phương trình có hai nghiệm cùng dương ( cùng âm )
e ) Định $ m USD để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
f ) Định $ m USD để phương trình có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu USD 2 { { x } _ { 1 } } – { { x } _ { 2 } } = – 2 USD
g ) Định $ m USD để PT có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ sao cho $ A = 2 { { x } _ { 1 } } ^ { 2 } + 2 { { x } _ { 2 } } ^ { 2 } – { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } $ nhận giá trị nhỏ nhất .

Hướng dẫn giải

a ) USD \ Delta ‘ = { { \ left ( m + 1 \ right ) } ^ { 2 } } – 1.4 m = { { m } ^ { 2 } } – 2 m + 1 = { { \ left ( m-1 \ right ) } ^ { 2 } } $
Để PT có nghiệm kép USD \ Leftrightarrow \ Delta ‘ = 0 \ Leftrightarrow m-1 = 0 \ Leftrightarrow m = 1 USD
b ) USD x = 4 $ là một nghiệm của phương trình nên ta có
USD \ Rightarrow { { 4 } ^ { 2 } } – 2 \ left ( m + 1 \ right ). 4 + 4 m = 0 USD
USD \ Leftrightarrow – 4 m + 8 = 0 \ Leftrightarrow m = 2 USD
Với USD m = 2 $ phương trình trở thành
USD { { x } ^ { 2 } } – 6 x + 8 = 0 USD
USD \ Leftrightarrow \ left ( x-2 \ right ) \ left ( x-4 \ right ) = 0 USD

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x – 2 = 0\\
x – 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = 4
\end{array} \right.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình là USD x = 4 USD
c ) USD \ Delta ‘ = { { \ left ( m-1 \ right ) } ^ { 2 } } \ ge 0 \, \, \ forall m USD
Phương trình có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } USD. Áp dụng đinh lý Vi-et :

$\begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\
{x_1}.{x_2} = 4m
\end{array}$

– Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu USD \ Leftrightarrow 4 m > 0 \ Leftrightarrow m > 0 USD
– Để phương trình có hai nghiệm trái dấu USD \ Leftrightarrow 4 m < 0 \ Leftrightarrow m < 0 USD d ) với USD m > 0 $ PT có hai nghiệm cùng dấu .
TH1 : $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ cùng dấu dương
USD \ Leftrightarrow 2 m + 2 > 0 \ Leftrightarrow m > – 1 USD
Kết hợp USD m > – 1 $ với điều kiện kèm theo USD m > 0 $ $ \ Rightarrow m > 0 USD
TH2 : $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ cùng dấu âm
USD \ Leftrightarrow 2 m + 2 < 0 \ Leftrightarrow m < - 1 \, USD USD m < - 1 $ với điều kiện kèm theo USD m > 0 USD
Vậy không có giá trị USD m USD để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm
e ) Áp dụng đinh lý Vi-et :
USD { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } = 2 m + 2 USD ( * )
USD { { x } _ { 1 } }. { { x } _ { 2 } } = 4 m USD ( * * )
Không mất tính tổng quát ta giả sử : $ { { x } _ { 1 } } = 2 { { x } _ { 2 } } \ Leftrightarrow { { x } _ { 1 } } – 2 { { x } _ { 2 } } = 0 USD

Kết hợp với (*) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\
{x_1} – 2{x_2} = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = \frac{{2m + 2}}{3}\\
{x_1} = 2{x_2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_2} = \frac{{2m + 2}}{3}\\
{x_1} = \frac{{4m + 4}}{3}
\end{array} \right.$

Thay vào phương trình ( * * ) ta có
USD { { x } _ { 1 } }. { { x } _ { 2 } } = 4 m \ Leftrightarrow \ frac { 2 ( m + 1 ). 4 ( m + 1 ) } { 9 } = 4 m USD
USD \ Leftrightarrow 2 { { ( m + 1 ) } ^ { 2 } } = 9 m USD
USD \ Leftrightarrow 2 { { m } ^ { 2 } } – 5 m + 2 = 0 USD
USD { { m } _ { 1 } } = 2 ; { { m } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 2 } USD. Thỏa mãn .
Vậy với $ { { m } _ { 1 } } = 2 ; { { m } _ { 2 } } = \ frac { 1 } { 2 } $ thì phương trình đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn nhu cầu nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia .
f ) Định $ m USD để phương trình có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu USD 2 { { x } _ { 1 } } – { { x } _ { 2 } } = – 2 USD

$\left\{ \begin{array}{l}
2{x_1} – {x_2} =  – 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
{x_1} + {x_2} = 2m + 2\,\,\,\,\,(2)\\
{x_1}{x_2} = 4m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)
\end{array} \right.$

Từ phương trình ( 1 ) và ( 2 ) ta có hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}
3{x_1} = 2m\\
{x_2} = 2{x_1} + 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = \frac{{2m}}{3}\\
{x_2} = \frac{{4m + 6}}{3}
\end{array} \right.$

Thay vào phương trình ( 3 ) ta có : $ \ frac { { 2 m } } { 3 }. \ frac { { 4 m + 6 } } { 3 } = 4 m USD
USD \ Leftrightarrow { { m } ^ { 2 } } – 3 m = 0 USD

$\Leftrightarrow m\left( m-3 \right)=0$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = 3
\end{array} \right.\,$(thỏa mãn).

Vậy với m = 0 hoặc USD m = \ text { } 3 $ thì phương trình có hai nghiệm $ { { x } _ { 1 } } ; { { x } _ { 2 } } $ thỏa mãn nhu cầu USD 2 { { x } _ { 1 } } – { { x } _ { 2 } } = – 2 USD
g ) $ A = 2 { { x } _ { 1 } } ^ { 2 } + 2 { { x } _ { 2 } } ^ { 2 } – { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } $
USD = 2 \ left ( x_ { 1 } ^ { 2 } + x_ { 2 } ^ { 2 } \ right ) – { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } $
USD = 2 { { \ left ( { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } \ right ) } ^ { 2 } } – 5 { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } $
USD = 2 { { \ left ( 2 m + 2 \ right ) } ^ { 2 } } – 5.4 m USD

$=8{{m}^{2}}-4m+8$

USD = 8 { { \ left ( m – \ frac { 1 } { 4 } \ right ) } ^ { 2 } } + \ frac { 15 } { 2 } \ ge \ frac { 15 } { 2 } \, \ forall m USD
USD \ Rightarrow { { A } _ { \ min } } = \ frac { 15 } { 2 } USD. Dấu $ ‘ ‘ = ‘ ‘ $ xảy ra $ \ Leftrightarrow m = \ frac { 1 } { 4 } \, \, ( tm ) USD
Vậy USD m = \ frac { 1 } { 4 } $ để $ A $ đạt giá trị nhỏ nhất .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp