Bài 1.1: Phương trình mặt cầu

1. Phương trình mặt cầu.

• Dạng 1 : \ ( \ left ( x-a \ right ) ^ 2 + \ left ( y-b \ right ) ^ 2 + \ left ( z-c \ right ) ^ 2 = R ^ 2 \ left ( R > 0 \ right ) \ ). Có tâm I ( a ; b ; c ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { R ^ 2 } \ )
• Dạng 2 : \ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2-2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ; \ left ( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 > d \ right ) \ ). Có tâm I ( a ; b ; c ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 – d } \ )

2. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu.

Cho mặt cầu ( S ) có tâm I, nửa đường kính R và mặt phẳng ( P ), ta có :
• d ( I, ( P ) ) > R : Mặt phẳng ( P ) không cắt mặt cầu ( S ) .
• d ( I, ( P ) ) = R : Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) .
• d ( I, ( P ) ) < R : Mặt phẳng ( P ) cắt mặt cầu ( S ) theo giao tuyến là đường tròn có tâm K là hình chiếu của I trên ( P ) và nửa đường kính \ ( r = \ sqrt { R ^ 2 - d ^ 2 \ left ( I, \ left ( P \ right ) \ right ) } \ )

3. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt cầu.

Cho mặt cầu ( S ) có tâm I, nửa đường kính R và đường thẳng d, ta có :
• d ( I, d ) > R : Đường thẳng d không cắt mặt cầu ( S ) .
• d ( I, d ) = R : Đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu ( S ) .
• d ( I, d ) < R : Đường thẳng d cắt mặt cầu ( S ) theo dây cung \ ( AB = \ sqrt { R ^ 2 - d ^ 2 \ left ( I, \ left ( P \ right ) \ right ) } \ )

4. Các dạng toán cơ bản

Loại 1 : Các bài toán viết phương trình mặt cầu

Ví dụ 1 : Cho 3 điểm \(A\left(2;0;1\right);B\left(1;0;0\right);C\left(1;1;1\right)\) và mặt phẳng (P) : \(x+y+z-2=0\). Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B, C và tâm thuộc (P)

Bài giải :
Phương trình tổng quát của mặt cầu qua A, B là :
\ ( \ left ( \ varphi \ right ) x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2 ax + 2 by + 2 cz + d = 0 \ ) với \ ( a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 > d \ ) ( 1 )
Khi đó \ ( \ left ( \ varphi \ right ) \ ) có tâm là \ ( I \ left ( – a ; – b ; – c \ right ) \ )
Từ đó ta đi đến hệ phương trình sau để xác lập a, b, c, d :
\ ( \ begin { cases } 4 + 1 + 4 a + 2 c + d = 0 \ left ( 2 \ right ) \ \ 1 + 2 a + d = 0 \ left ( 3 \ right ) \ \ 3 + 2 a + 2 b + 2 c + d = 0 \ left ( 4 \ right ) \ \ – a-b-c-2 = 0 \ left ( 5 \ right ) \ end { cases } \ )
( ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ) ta có được do \ ( \ left ( \ varphi \ right ) \ ) qua A, B, C ; còn ( 5 ) có được do tâm \ ( I \ left ( – a ; – b ; – c \ right ) \ in \ left ( P \ right ) \ )
Dễ thấy hệ ( 2 ), ( 3 ), ( 4 ), ( 5 ) cho nghiệm a = – 1 ; b = 0 ; c = – 1 ; d = 1
Vậy mặt cầu \ ( \ left ( \ varphi \ right ) \ ) cần tìm có phương trình : \ ( x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 1 = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left ( x-1 \ right ) ^ 2 + y ^ 2 + \ left ( x-1 \ right ) ^ 2 = 1 \ )
Đó là mặt cầu tâm tại I ( 1 ; 0 ; 1 ) và nửa đường kính R = 1

Ví dụ 2 :

Trong khoảng trống cho hình lăng trụ đứng \ ( ABCD.A _1B_1C_1D_1 \ ) với A ( 0 ; 3 ; 0 ) ; B ( 4 ; 0 ; 0 ) ; C ( 0 ; 3 ; 0 ) ; \ ( B_1 \ left ( 4 ; 0 ; 4 \ right ) \ )
a ) Tìm tọa độ những đỉnh \ ( A_1 ; C_1 \ )
b ) Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( BCC_1B_1 \ )

Bài giải :

A1 B1 C1 A B C x 4 y z
a ) Dễ thấy \ ( A_1 = \ left ( 0 ; – 3 ; 4 \ right ) ; C_1 = \ left ( 0 ; 3 ; 4 \ right ) \ )
b ) Xét mặt phẳng \ ( \ left ( BCC_1B_1 \ right ) \ ), ta có :
\ ( \ overrightarrow { BC } = \ left ( – 4 ; 3 ; 0 \ right ) ; \ overrightarrow { BB_1 } = \ left ( 0 ; 0 ; 4 \ right ) \ )
Vậy vectơ pháp tuyến \ ( \ overrightarrow { n } \ ) của mặt phẳng \ ( \ left ( BCC_1B_1 \ right ) \ ) là \ ( \ overrightarrow { n } = \ left [ \ overrightarrow { BC } ; \ overrightarrow { BB_1 } \ right ] \ )
\ ( = \ left ( \ left | \ begin { matrix } 3 và 0 \ \ 0 và 4 \ end { matrix } \ right | ; \ left | \ begin { matrix } 0 và – 4 \ \ 4 và 0 \ end { matrix } \ right | ; \ left | \ begin { matrix } – 4 và 3 \ \ 0 và 0 \ end { matrix } \ right | \ right ) \ )
\ ( = \ left ( 12 ; 16 ; 0 \ right ) \ )
Cùng phương với vectơ ( 3 ; 4 ; 0 )
Vậy mặt phẳng \ ( \ left ( BCC_1B_1 \ right ) \ ) có phương trình :
\ ( 3 \ left ( x-4 \ right ) + 4 \ left ( y-0 \ right ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow3x + 4 y – 12 = 0 \ )
Khoảng cách h từ A xuống \ ( \ left ( BCC_1B_1 \ right ) \ ) là :
\ ( h = \ frac { \ left | 3.0 + 4 \ left ( – 3 \ right ) – 12 \ right | } { 5 } = \ frac { 24 } { 5 } \ )
Đó chính là nửa đường kính R của hình cầu \ ( \ left ( \ varphi \ right ) \ ) có tâm A và tiếp xúc với \ ( \ left ( BCC_1B_1 \ right ) \ )
Vậy mặt cầu \ ( \ left ( \ varphi \ right ) \ ) cần tìm có phương trình :
\ ( x ^ 2 + \ left ( y + 3 \ right ) ^ 2 + z ^ 2 = \ frac { 576 } { 25 } \ )

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Phương trình mặt cầu
Phương trình mặt cầu và những dạng toán tương quan

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp