Cách Tính Tổng Các Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác Đặc Biệt

Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác
Các dạng toán phương trình lượng giác, chiêu thức giải và bài tập từ cơ bản đến nâng cao – toán lớp 11Sau khi làm quen với các hàm lượng giác thì các dạng bài tập về phương trình lượng giác chính là nội dung tiếp theo mà các em sẽ học trong chương trình toán lớp 11 .

Bạn đang xem: Cách tính tổng các nghiệm của phương trình lượng giác

Vậy phương trình lượng giác có các dạng toán nào, phương pháp giải ra sao? chúng ta cùng tìm hiểu qua bài viết này, đồng thời vận dụng các phương pháp giải này để làm các bài tập từ cơ bản đến nâng cao về phương trình lượng giác.

I. Lý thuyết về Phương trình lượng giác

1. Phương trình sinx = a. (1)

° | a | > 1 : Phương trình ( 1 ) vô nghiệm° | a | ≤ 1 : gọi α là một cung thỏa sinα = a, khi đó phương trình ( 1 ) có các nghiệm là 😡 = α + k2π, ( )và x = π – α + k2π, ( )- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theovà sinα = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình ( 1 ) là 😡 = arcsina + k2π, ( )và x = π – arcsina + k2π, ( )- Phương trình sinx = sinβ0 có các nghiệm là 😡 = β0 + k3600, ( )và x = 1800 – β0 + k3600, ( )

2. Phương trình cosx = a. (2)

° | a | > 1 : Phương trình ( 2 ) vô nghiệm° | a | ≤ 1 : gọi α là một cung thỏa cosα = a, khi đó phương trình ( 2 ) có các nghiệm là 😡 = ± α + k2π, ( )- Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo 0 ≤ α ≤ π và cosα = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình ( 2 ) là 😡 = ± arccosa + k2π, ( )- Phương trình cosx = cosβ0 có các nghiệm là 😡 = ± β0 + k3600, ( )

3. Phương trình tanx = a. (3)

– Tập xác lập, hay điều kiện kèm theo của phương trình ( 3 ) là :– Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo– Nếu α thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo

II. Các dạng toán về Phương trình lượng giác và phương pháp giải

° Dạng 1: Giải phương trình lượng giác cơ bản

* Phương pháp

– Dùng các công thức nghiệm tương ứng với mỗi phương trình .

* Ví dụ 1 (Bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a ) b )b )d )

* Lời giải bài 1 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a )b )c )d )

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a )b )c )d )

° Lời giải:

a )b )c )d )

° Dạng 2: Giải một số phương trình lượng giác đưa được về dạng PT lượng giác cơ bản

* Phương pháp

– Dùng các công thức đổi khác để đưa về phương trình lượng giác đã cho về phương trình cơ bản như Dạng 1 .

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a )b )c )d )

° Lời giải:

a )+ Vớihoặc+ Vớihoặcb )c )d )hoặc

* Lưu ý: Bài toán trên vận dụng công thức:

* Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

a )b )

° Lời giải:

a )hoặcvớib )hoặcvới

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức biến đổi tích thành tổng:

* Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a ) 1 + 2 cosx + cos2x = 0b ) cosx + cos2x + cos3x = 0c ) sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0d ) sin2x + sin22x = sin23x

° Lời giải:

a )b )c )hoặchoặchoặchoặchoặchoặcvớid )hoặchoặc

* Lưu ý: Bài toán trên có vận dụng công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi:

° Dạng 3: Phương trình bậc nhất có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

– Đưa về dạng phương trình cơ bản, ví dụ :

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a )b )

° Lời giải:

a )+ Với+ Vớib )

 

hoặc+ Với+ Với: vô nghiệm .

° Dạng 4: Phương trình bậc hai có một hàm số lượng giác

* Phương pháp

♦ Đặt ẩn phụ t, rồi giải phương trình bậc hai so với t, ví dụ :+ Giải phương trình : asin2x + bsinx + c = 0 ;+ Đặt t = sinx ( – 1 ≤ t ≤ 1 ), ta có phương trình at2 + bt + c = 0 .

* Lưu ý: Khi đặt t=sinx (hoặc t=cosx) thì phải có điều kiện: -1≤t≤1

* Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a )b )

° Lời giải:

a )- Đặtta có : 2 t2 – 3 t + 1 = 0⇔ t = 1 hoặc t = 1/2 .+ Với t = 1 : sinx = 1+ Với t = 1/2 :hoặcb )+ Đặtta có : – 4 t2 + 4 t + 3 = 0⇔ t = 3/2 hoặc t = – 50% .Xem thêm : Bi Rain Sinh Năm Bao Nhiêu, Thân Hình 6 Múi Hấp Dẫn Của Bi Rain Ở Tuổi 38+ t = 3/2 > 1 nên loại+

* Chú ý: Đối với phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0, (a,b,c≠0). Phương pháp giải như sau:

– Ta có : cosx = 0 không phải là nghiệm của phương trình vì a ≠ 0 ,Chia 2 vế cho cos2x, ta có : atan2x + btanx + c = 0 ( được PT bậc 2 với tanx )- Nếu phương trình dạng : asin2x + bsinx.cosx + c. cos2x = d thì ta thay d = d. sin2x + d. cos2x, và rút gọn đưa về dạng trên .

° Dạng 5: Phương trình dạng: asinx + bcosx = c (a,b≠0).

* Phương pháp

◊ Cách 1: Chia hai vế phương trình cho , ta được:

– Nếu thì phương trình vô nghiệm- Nếu thì đặt( hoặc )- Đưa PT về dạng : ( hoặc ) .

 ◊ Cách 2: Sử dụng công thức sinx và cosx theo ;

– Đưa PT về dạng phương trình bậc 2 so với t .

* Lưu ý: PT: asinx + bcosx = c, (a≠0,b≠0) có nghiệm khi c2 ≤ a2 + b2

• Dạng tổng quát của PT là : asin + bcos = c, ( a ≠ 0, b ≠ 0 ) .

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a )b )

° Lời giải:

a )+ Ta có :khi đó :+ Đặtta có : cosφ. sinx + sinφ. cosx = 1 .b )hoặchoặc

* Lưu ý: Bài toán vận dụng công thức:

° Dạng 6: Phương trình đối xứng với sinx và cosx

 a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b≠0).

* Phương pháp

– Đặt t = sinx + cosx, khi đó : thay vào phương trình ta được :bt2 + 2 at + 2 c – b = 0 ( * )

– Lưu ý: 

– Do đó sau khi tìm được nghiệm của PT ( * ) cần kiểm tra ( so sánh ) lại điều kiện kèm theo của t .- Phương trình dạng : a ( sinx – cosx ) + bsinx.cosx + c = 0 không phải là PT dạng đối xứng nhưng cũng hoàn toàn có thể giải bằng cách tương tự như :

 Đặt t = sinx – cosx;  

* Ví dụ: Giải các phương trình sau:

a ) 2 ( sinx + cosx ) – 4sinx.cosx – 1 = 0b ) sin2x – 12 ( sinx + cosx ) + 12 = 0

° Lời giải:

a ) 2 ( sinx + cosx ) – 4sinx.cosx – 1 = 0+ Đặt t = sinx + cosx, , khi đó : thay vào phương trình ta được :

 

hoặc

+ Với  

 

 

+ Tương tự, với 

b ) sin2x – 12 ( sinx + cosx ) + 12 = 0– Đặt t = sinx + cosx, , khi đó : thay vào phương trình ta được :

 

+ Với t=1 

 

 

+ Với 

III. Bài tập về các dạng toán Phương trình lượng giác

* Bài 2 (trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11): Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau?

° Lời giải bài 2 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Ta có :– Vậy vớithì

* Bài 3 (trang 28 SGK Đại số 11): Giải các phương trình sau:

a )b )c )d )

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

a )– Kết luận : PT có nghiệmb ) cos3x = cos12º⇔ 3 x = ± 12 º + k. 360 º, k ∈ Z⇔ x = ± 4 º + k. 120 º, k ∈ Z- Kết luận : PT có nghiệm x = ± 4 º + k. 120 º, k ∈ Zc )hoặchoặchoặcd )hoặchoặchoặc

* Bài 4 (trang 29 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình 

° Lời giải bài 3 trang 28 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Điều kiện : sin2x ≠ 1- Ta có :+ Đến đây ta cần so sánh với điều kiện kèm theo :- Xét k lẻ tức là : k = 2 n + 1( thỏa điều kiện kèm theo )- Xét k chẵn tức là : k = 2 n( không thỏa ĐK )- Kết luận : Vậy PT có họ nghiệm là

* Bài 1 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải phương trình: sin2x – sinx = 0 

° Lời giải bài 1 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

– Ta có : sin2x – sinx = 0hoặc- Kết luận : PT có tập nghiệm

* Bài 2 (trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11): Giải các phương trình sau:

a ) 2 cos2x – 3 cosx + 1 = 0b ) 2 sin2x +

.sin4x = 0

° Lời giải bài 2 trang 36 SGK Đại số và Giải tích 11:

a ) 2 cos2x – 3 cosx + 1 = 0 ( 1 )- Đặt t = cosx, điều kiện kèm theo : – 1 ≤ t ≤ 1, khi đó PT ( 1 ) trở thành : 2 t2 – 3 t + 1 = 0

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp