Lý thuyết Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp>

1. Hoán vị

Cho \ ( n \ ) thành phần khác nhau ( \ ( n ≥ 1 \ ) ). Mỗi cách sắp thứ tự của \ ( n \ ) thành phần đã cho, mà trong đó mỗi thành phần xuất hiện đúng một lần, được gọi là một hoán vị của \ ( n \ ) thành phần đó .

Định lí

Số các hoán vị của \(n\) phần tử khác nhau đã cho (\(n  ≥ 1\)) được kí hiệu là \(P_n\) và bằng:

\ ( P_n = n ( n – 1 ) ( n – 2 ) … 2. 1 = n ! \ )

Ví dụ:

Tính số cách xếp \(6\) bạn học sinh thành một hàng dọc.

Hướng dẫn:

Mỗi cách xếp \ ( 6 \ ) bạn học viên thành một hàng dọc là một hoán vị của \ ( 6 \ ) thành phần .Vậy số cách xếp \ ( 6 \ ) bạn học viên thành một hàng dọc là \ ( { P_6 } = 6 ! = 720 \ ) .

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Cho tập hợp \ ( A \ ) gồm \ ( n \ ) thành phần \ ( \ left ( { n \ ge 1 } \ right ) \ ) .

Kết quả của việc lấy \(k\) phần tử khác nhau từ \(n\) phần tử của tập hợp \(A\) và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử đã cho.

Chú ý

Mỗi hoán vị của n thành phần khác nhau đã cho chính là một chỉnh hợp chập \ ( n \ ) của \ ( n \ ) thành phần đó .

Định lí

Số chỉnh hợp chập \ ( k \ ) của \ ( n \ ) thành phần khác nhau đã cho được kí hiệu là \ ( A_n ^ k \ ) và bằng\ ( A_n ^ k = n ( n – 1 ) … ( n – k + 1 ) = \ frac { n ! } { ( n – k ) ! } \ ) \ ( ( 1 ≤ k ≤ n ) \ )Với quy ước \ ( 0 ! = 1 \ ) .

Ví dụ:

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm \ ( 4 \ ) chữ số khác nhau được lập thành từ những chữ số \ ( 1,2,3,4,5,6,7 \ ) ?

Hướng dẫn:

Mỗi số tự nhiên gồm \ ( 4 \ ) chữ số khác nhau được lập bằng cách lấy \ ( 4 \ ) chữ số từ tập \ ( A = \ left \ { { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 } \ right \ } \ ) và xếp chúng theo một thứ tự nhất định .Mỗi số như vậy được coi là một chỉnh hợp chập \ ( 4 \ ) của \ ( 7 \ ) thành phần .Vậy số những số cần tìm là \ ( A_7 ^ 4 = 840 \ ) số .

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Cho \ ( n \ ) thành phần khác nhau ( \ ( n ≥ 1 \ ) ). Mỗi tập con gồm \ ( k \ ) thành phần khác nhau ( không phân biệt thứ tự ) của tập hợp \ ( n \ ) thành phần đã cho ( \ ( 0 ≤ k ≤ n \ ) ) được gọi là một tổ hợp chập \ ( k \ ) của \ ( n \ ) thành phần đã cho ( với quy ước tổ hợp chập \ ( 0 \ ) của n thành phần bất kể là tập rỗng ) .

Định lí

Số những tổ hợp chập \ ( k \ ) của \ ( n \ ) thành phần khác nhau đã cho được kí hiệu là \ ( C_n ^ k \ ) và bằng\ ( C_n ^ k = \ frac { n ! } { k ! ( n – k ) ! } \ ) = \ ( \ frac { A ^ k_ { n } } { k ! } \ ), ( \ ( 0 ≤ k ≤ n \ ) )

Ví dụ:

Một bàn học viên có \ ( 3 \ ) nam và \ ( 2 \ ) nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra \ ( 2 \ ) bạn để làm trực nhật ?

Hướng dẫn:

Mỗi cách chọn ra \ ( 2 \ ) bạn để làm trực nhật là một tổ hợp chập \ ( 2 \ ) của \ ( 5 \ ) thành phần .Vậy số cách chọn là : \ ( C_5 ^ 2 = 10 \ ) ( cách )

Định lí

Với mọi \ ( n ≥ 1 ; 0 ≤ k ≤ n \ ), ta có :

a) \(C_n^k  =  C_n^{n-k}\)

b ) \ ( C_n ^ k + C_n ^ { k + 1 } \ ) = \ ( C_ { n + 1 } ^ { k + 1 } \ ) .

 Loigiaihay.com

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật