Cách Viết phương trình đường thẳng cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M). – Tự Học 365

Cách Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 và d2 đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M). 

Phương pháp viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d và cắt hai đường thẳng d1 và d2

Giả sử ∆ cắt d1 và d2 lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm $ A \ in { { d } _ { 1 } } ; B \ in { { d } _ { 2 } } $ theo ẩn t và u .
Do $ \ Delta / / d \ Rightarrow \ overrightarrow { { { u } _ { \ Delta } } } = k. \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ Leftrightarrow \ overrightarrow { AB } = k. \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } \ Rightarrow t ; u \ Rightarrow $ tọa độ những điểm A, B .
Phương trình đường thẳng cần tìm là AB .

Chú ý:

R Trường hợp: $\Delta \bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k.\overrightarrow{{{n}_{(P)}}}\Rightarrow $t và u.

R Trường hợp: ∆ đi qua điểm M $\Rightarrow M,A,B$thẳng hàng ta giải $\overrightarrow{MA}=k.\overrightarrow{MB}\Rightarrow t;u$và k.

Bài tập viết phương trình đường thẳng oxyz có đáp án chi tiết

Bài tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): $(P):x+y+z-1=0$đồng thời cắt cả hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{1}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}  {} x=-1+t \\  {} y=-1 \\  {} z=-t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Lấy USD M \ in { { d } _ { 1 } } \ Rightarrow M ( 1 + 2 t ; – 1 – t ; t ) ; N \ in { { d } _ { 2 } } \ Rightarrow N ( – 1 + u ; – 1 ; – u ) USD
Suy ra $ \ overrightarrow { MN } = \ left ( u-2t-2 ; t ; – u-t \ right ) USD
Do USD d \ bot ( P ) \ Rightarrow \ overrightarrow { MN } = k. \ overrightarrow { { { n } _ { ( P ) } } } \ Rightarrow \ frac { u-2t-2 } { 1 } = \ frac { t } { 1 } = \ frac { – u-t } { 1 } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } u = \ frac { 4 } { 5 } \ \ { } t = – \ frac { 2 } { 5 } \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow M \ left ( \ frac { 1 } { 5 } ; \ frac { – 3 } { 5 } ; \ frac { – 2 } { 5 } \ right ) USD
Phương trình đường thẳng d là : $ { { d } _ { 1 } } : \ frac { x – \ frac { 1 } { 5 } } { 1 } = \ frac { y + \ frac { 3 } { 5 } } { 1 } = \ frac { z + \ frac { 2 } { 5 } } { 1 } $

Bài tập 2: phương trình đường thẳng d đi qua $A(1;-1;1)$biết d cắt cả hai đường ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{1}=\frac{z+1}{-2}$và ${{d}_{2}}:\left\{ \begin{array}  {} x=2-t \\  {} y=t \\  {} z=3t \\ \end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

Gọi USD B ( 1 + 2 u ; – 3 – u ; – 1 + 2 u ) \ in { { d } _ { 1 } } $ và $ C ( 2 – t ; t ; 3 t ) \ in { { d } _ { 2 } } $
Ta có : $ \ overrightarrow { AB } = \ left ( 2 u ; u-2 ; 2 u – 2 \ right ) ; \ overrightarrow { AC } = ( 1 – t ; t + 1 ; 3 t – 1 ) USD
Do A, B, C thẳng hàng nên $ \ overrightarrow { AB } = k. \ overrightarrow { AC } \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { } 2 u = k ( 1 – t ) \ \ { } u-2 = k ( t + 1 ) \ \ { } 2 u – 2 = k ( 3 t – 1 ) \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } 2 u – k + kt = 0 \ \ { } u-k-kt = 2 \ \ { } 2 u + k-3kt = 2 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } u = 0 \ \ { } k = – 1 \ \ { } kt = – 1 \ \ \ end { array } \ right. $
Suy ra USD u = 0 ; t = 1 \ Rightarrow \ overrightarrow { { { u } _ { d } } } = ( 0 ; 1 ; 1 ) \ Rightarrow d : \ left \ { \ begin { array } { } x = 1 \ \ { } y = – 1 + t \ \ { } z = 1 + t \ \ \ end { array } \ right. $

Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-3}{-1}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+2}{1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-5}{-3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-2}{1}$ và mặt phẳng $(P):x+2y+3z-5=0$. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 và d2 có phương trình là A. $\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$  B. $\frac{x-2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z-1}{3}$ C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+2}{3}$  D. $\frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1}$

Lời giải chi tiết

Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 lần lượt tại
USD M, N \ Rightarrow M ( 1 – { { t } _ { 1 } } ; 3-2 { { t } _ { 1 } } ; – 2 + { { t } _ { 1 } } ), N ( 5-3 { { t } _ { 2 } } ; – 1 + 2 { { t } _ { 2 } } ; 2 + { { t } _ { 2 } } ) USD
Ta có $ \ overrightarrow { MN } = \ left ( { { t } _ { 1 } } – 3 { { t } _ { 2 } } + 2 ; 2 { { t } _ { 1 } } + 2 { { t } _ { 2 } } – 4 ; – { { t } _ { 1 } } + { { t } _ { 2 } } + 4 \ right ) USD và $ \ overrightarrow { { { n } _ { P } } } = \ left ( 1 ; 2 ; 3 \ right ) USD
Mà d vuông góc với ( P ) nên $ \ overrightarrow { MN } = k. \ overrightarrow { { { n } _ { P } } } \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { } { { t } _ { 1 } } – 3 { { t } _ { 2 } } + 2 = k \ \ { } 2 { { t } _ { 1 } } + 2 { { t } _ { 2 } } – 4 = 2 k \ \ { } – { { t } _ { 1 } } + { { t } _ { 2 } } + 4 = 3 k \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } { { t } _ { 1 } } = 2 \ \ { } { { t } _ { 2 } } = 1 \ \ { } k = 1 \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { } M ( 1 ; – 1 ; 0 ) \ \ { } N ( 2 ; 1 ; 3 ) \ \ \ end { array } \ right. $

$\overrightarrow{MN}=(1;2;3)\Rightarrow d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{3}$. Chọn A.

Bài tập 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z}{-1}$và cắt hai đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-2}{-1}$và ${{d}_{2}}:\frac{x-1}{-1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$ A. $\frac{x+1}{-1}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-2}{1}$  B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{-1}$ C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{-1}$  D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z-1}{1}$

Lời giải chi tiết

Gọi $ A ( – 1 + 2 t ; – 1 + t ; 2 – t ) \ in { { d } _ { 1 } } ; B ( 1 – u ; 2 + u ; 3 + 3 u ) \ in { { d } _ { 2 } } $

Khi đó : $ \ overrightarrow { AB } = \ left ( 2 – u-2t ; 3 + u-t ; 1 + 3 u + t \ right ) USD
Do USD AB / / d \ Rightarrow d : \ frac { 2 – u-2t } { 1 } = \ frac { 3 + u-t } { 1 } = \ frac { 1 + 3 u + t } { – 1 } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } t = 1 \ \ { } u = – 1 \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow A ( 1 ; 0 ; 1 ) \ Rightarrow ( \ Delta ) : \ frac { x-1 } { 1 } = \ frac { y } { 1 } = \ frac { z-1 } { – 1 } $

Chọn B.

Bài tập 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình lần lượt là $\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+2}{1}$và $\left\{ \begin{array}  {} x=-1+2t \\  {} y=1+t \\  {} z=3 \\ \end{array} \right.(t\in \mathbb{R})$. Phương trình đường thẳng vuông góc với $(P):7x+y-4z=0$và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 là A. $\frac{x}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{-4}$  B. $\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$ C. $\frac{x+1}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-3}{-4}$  D. $\frac{x+\frac{1}{2}}{7}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-\frac{1}{2}}{-4}$

Lời giải chi tiết

Giả sử USD d \ cap { { d } _ { 1 } } = A \ Rightarrow A \ in { { d } _ { 1 } } $ nên $ A ( 2 u ; 1 – u ; u-2 ) USD
USD d \ cap { { d } _ { 2 } } = B \ Rightarrow B \ in { { d } _ { 2 } } $ nên $ B ( 2 t – 1 ; t + 1 ; 3 ) USD
Vì thế $ \ overrightarrow { AB } = \ left ( 2 t – 2 u – 1 ; t + u ; 5 – u \ right ) USD là vecto chỉ phương của d .
Do USD d \ bot ( P ) USD nên $ \ overrightarrow { AB } / / \ overrightarrow { n } = ( 7 ; 1 ; – 4 ) USD ở đây $ \ overrightarrow { n } $ là vecto pháp tuyến của mp ( P )
Từ đó có hệ phương trình $ \ frac { 2 t – 2 u – 1 } { 7 } = \ frac { t + u } { 1 } = \ frac { 5 – u } { – 4 } \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } 2 t – 2 u – 1 = 7 t + 7 u \ \ { } 4 ( t + u ) = u-5 \ \ \ end { array } \ right. $
USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } t = – 2 \ \ { } u = 1 \ \ \ end { array } \ right. \ Rightarrow \ overrightarrow { AB } = ( – 7 ; – 1 ; 4 ) USD và đường thẳng d đi qua điểm $ A ( 2 ; 0 ; – 1 ) USD nên

$(d):\frac{x-2}{7}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-4}$. Chọn B.

Bài tập 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z}{-2}$;${{d}_{2}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z}{-4}$;${{d}_{3}}:\frac{x}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$;${{d}_{4}}:\frac{x-2}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆ ? A. $\overrightarrow{n}=(2;1;1)$ B. $\overrightarrow{n}=(2;1;-1)$ C. $\overrightarrow{n}=(2;0;-1)$              D. $\overrightarrow{n}=(1;2;-2)$

Lời giải chi tiết

Ta có $ \ overrightarrow { { { u } _ { ( { { d } _ { 1 } } ) } } } = \ left ( 1 ; 2 ; – 2 \ right ) USD và $ \ overrightarrow { { { u } _ { ( { { d } _ { 2 } } ) } } } = \ left ( 2 ; 4 ; – 4 \ right ) USD suy ra $ \ overrightarrow { { { u } _ { ( { { d } _ { 2 } } ) } } } = 2 \ overrightarrow { { { u } _ { ( { { d } _ { 1 } } ) } } } \ Rightarrow ( { { d } _ { 1 } } ) / / ( { { d } _ { 2 } } ) USD
Phương trình mặt phẳng ( P ) chứa ( d1 ), d ( 2 ) là USD y + z-2 = 0 USD
Gọi $ A = ( { { d } _ { 3 } } ) \ cap ( P ) \ Rightarrow A \ left ( 1 ; \ frac { 1 } { 2 } ; \ frac { 3 } { 2 } \ right ) USD và $ B = ( { { d } _ { 4 } } ) \ cap ( P ) \ Rightarrow B \ left ( 4 ; 2 ; 0 \ right ) \ to \ overrightarrow { AB } = \ left ( 3 ; \ frac { 3 } { 2 } ; – \ frac { 3 } { 2 } \ right ) USD
Khi đó $ \ overrightarrow { AB } $ và $ { { u } _ { ( { { d } _ { 1 } } ) } } $ không cùng phương $ \ Rightarrow AB $ cắt đường thẳng ( d1 ), ( d2 )
Vậy $ \ overrightarrow { { { u } _ { ( \ Delta ) } } } = \ frac { 2 } { 3 } \ overrightarrow { AB } = \ left ( 2 ; 1 ; – 1 \ right ) USD là vecto chỉ phương của đường thẳng cắt ( d1 ), ( d2 ), ( d3 ), ( d4 ) .

Chọn B.

Bài tập 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm $M(3;3;-2)$và hai đường thẳng  ${{d}_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z}{1}$;${{d}_{2}}:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{4}$. Đường thẳng d qua M và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng A.3 B. 2 C. $\sqrt{6}$  D. $\sqrt{5}$

Lời giải chi tiết

Gọi $ A ( 1 + t ; 2 + 3 t ; t ) \ in { { d } _ { 1 } } ; B ( – 1 – u ; 1 + 2 u ; 2 + 4 u ) \ in { { d } _ { 2 } } $
Ta có : $ \ overrightarrow { MA } = k. \ overrightarrow { MB } \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { } t-2 = k ( – u-4 ) \ \ { } 3 t – 1 = k ( 2 u – 2 ) \ \ { } t + 2 = k ( 4 u + 4 ) \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } t + 4 k + ku = 2 \ \ { } 3 t + 2 k – 2 ku = 1 \ \ { } t-4k-4ku = – 2 \ \ \ end { array } \ right. $

Giải hệ với ẩn t; k và ku $\Rightarrow \left\{ \begin{array}  {} t=0 \\  {} k=\frac{1}{2} \\  {} ku=0 \\ \end{array} \right.\Rightarrow t=0;u=0\Rightarrow A(1;2;0);B(-1;1;2)\Rightarrow AB=3$. Chọn A.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp