Phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng – lý thuyết & ví dụ

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 1 đường thẳng

Dạng 1 : Đường tròn ( C ) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng \ ( \ Delta \ )

Khi đó nửa đường kính \ ( R = d ( I, \ Delta ) \ )

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn (C) có tâm I(-1,2) tiếp xúc với đường thẳng  \(\Delta\) x – 2y + 7 = 0

Giải: Ta có \(d(I,\Delta)=\frac{|-1-4-7|}{\sqrt{5}}\)

Phương trình đường tròn ( C ) có dạng \ ( ( x + 1 ) ^ 2 + ( y-2 ) ^ 2 = \ frac { 4 } { 5 } \ )

Dạng 2 : Đường tròn ( C ) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng \ ( \ Delta \ )

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Tâm I của ( C ) thỏa mãn nhu cầu \ ( \ left \ { \ begin { matrix } I \ epsilon d và \ \ d ( I, \ Delta ) = IA và \ end { matrix } \ right. \ )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 2: Cho điểm A(-1;0), B(1;2) và đường thẳng (d): x – y – 1 = 0. Lập phương trình đường tròn đi qua 2 điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng d.

Giải: Gọi I(x,y) là tâm của đường tròn cần tìm. Từ điều kiện đề bài ta có:

IA = IB = r \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( ( x + 1 ) ^ 2 + y ^ 2 = ( x-1 ) ^ 2 + ( y-2 ) ^ 2 \ ) ( 1 )
IA = d ( I, d ) \ ( \ Leftrightarrow \ ) \ ( \ sqrt { ( x + 1 ) ^ 2 + y ^ 2 } = \ frac { | x-1-y | } { \ sqrt { 2 } } \ ) ( 2 )
Giải hệ gồm 2 phương trình ( 1 ) và ( 2 ) ta được x = 0, y = 1
Vậy I ( 0,1 ) IA = r = \ ( \ sqrt { 2 } \ )
Phương trình đường tròn ( C ) có dạng \ ( x ^ 2 + ( y-1 ) ^ 2 = 2 \ )

Dạng 3 : Đường tròn ( C ) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng \ ( \ Delta \ ) tại điểm B .

• Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB
• Viết phương trình đường thẳng \ ( \ Delta ‘ \ ) đi qua B và \ ( \ perp \ Delta \ )
• Xác định tâm I là giao điểm của d và \ ( \ Delta ‘ \ )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với trục hoành tại A(6,0) và đi qua điểm B(9,9)

Giải: Gọi I(a,b) là tâm đường tròn (C)

Vì ( C ) tiếp xúc với trục hoành tại A ( 6 ; 0 ) nên \ ( I \ epsilon d : x = 6 \ )
Mặt khác B nằm trên đường tròn ( C ) nên I sẽ nằm trên trung trực của AB
Ta có phương trình trung trực AB : x + 3 y – 21 = 0

Thay x = 6 => y = 5
Suy ra ta tìm được tọa độ điểm I(6;5), R = 5

Vậy phương trình đường tròn ( C ) : \ ( ( x-6 ) ^ { 2 } + ( y – 5 ) ^ { 2 } = 25 \ )
>> Xem thêm : Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và những dạng bài tập – Toán học 12

Phương trình đường tròn tiếp xúc với 2 đường thẳng

Dạng 1 : Đường tròn ( C ) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng \ ( \ Delta _ { 1 }, \ Delta _ { 2 } \ )

• Tâm I của ( C ) thỏa mãn nhu cầu : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } d ( I, \ Delta _ { 1 } ) = d ( I, \ Delta _ { 2 } ) và \ \ d ( I, \ Delta _ { 1 } ) = IA và \ end { matrix } \ right. \ )
• Bán kính R = IA

Ví dụ 4: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng 7x – 7y – 5 = 0 và x + y + 13 = 0. Biết đường tròn tiếp xúc với một trong hai đường thẳng tại M (1,2).

Giải: Gọi I(x,y) là tâm đường tròn cần tìm. Ta có khoảng cách từ I đến 2 tiếp điểm bằng nhau nên \(\frac{|7x-7y-5|}{\sqrt{5}} = \frac{\left | x + y + 13 \right |}{\sqrt{1}}\) (1)

và \ ( \ frac { | x + y + 13 | } { \ sqrt { 2 } } = \ sqrt { ( 1 – x ) ^ 2 + ( 2 – y ) ^ 2 } \ ) ( 2 )
Giải hệ gồm 2 phương trình ( 1 ) và ( 2 ) ta được

• TH1 : x = 29, y = – 2 => R = IM = \ ( 20 \ sqrt { 2 } \ )

Phương trình đường tròn có dạng \((x-29)^2+(y+2)^2=800\)

• TH2 : x = – 6, y = 3 => R = \ ( 5 \ sqrt { 2 } \ )

Phương trình đường tròn có dạng \ ( ( x + 6 ) ^ 2 + ( y-2 ) ^ 2 = 50 \ )

Dạng 2 :Đường tròn ( C ) tiếp xúc với hai đường thẳng \ ( \ Delta _ { 1 }, \ Delta _ { 2 } \ ) và có tâm nằm trên đường thẳng d .

• Tâm I của ( C ) thỏa mãn nhu cầu \ ( \ left \ { \ begin { matrix } d ( I, \ Delta _ { 1 } ) = d ( I, \ Delta _ { 2 } ) và \ \ I \ epsilon d và \ end { matrix } \ right. \ )
• Bán kính \ ( R = d ( I, \ Delta _ { 1 } ) \ )

Ví dụ 5: Viết phương trình đường tròn đi qua A(2,-1) và tiếp xúc với hai trục tọa độ

Giải: Gọi I(a,b) là tâm của đường tròn (C)

Do ( C ) tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên I cách đều 2 trục tọa độ. Suy ra : | a | = | b |
Nhận xét : Do đường tròn tiếp xúc với 2 trục tọa độ nên cả hình tròn trụ nằm trong 1 trong 4 góc của hệ trục, lại có A ( 2, – 1 ) thuộc phần tư thứ IV
=> Tâm I thuộc phần tư thứ IV => a > 0, b < 0 Như vậy tọa độ tâm là I ( a, - a ), nửa đường kính R = a, với a > 0
Ta có phương trình đường tròn ( C ) có dạng \ ( ( x-a ) ^ 2 + ( y + a ) ^ 2 = a ^ 2 \ )
Do A ( – 2 ; 1 ) thuộc đường tròn ( C ) nên thay tọa độ của A vào phương trình ( C ) ta được : \ ( ( 2 – a ) ^ 2 + ( 1 + a ) ^ 2 = a ^ 2 \ )
Giải phương trình ta được a = 1 hoặc a = 5

• Với a = 1 ta có phương trình ( C ) \ ( ( x-1 ) ^ 2 + ( y + 1 ) ^ 2 = 1 \ )
• Với a = 5 ta có phương trình ( C ) \ ( ( x-5 ) ^ 2 + ( y + 5 ) ^ 2 = 5 ^ 2 \ )

Trên đây là bài viết tổng hợp kỹ năng và kiến thức viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng. Nếu có do dự, vướng mắc hay góp ý kiến thiết xây dựng bài viết những bạn để lại phản hồi bên dưới nha. Cảm ơn bạn, thấy hay thì đừng quên san sẻ nhé <3

2.8
/
5
(
18
bầu chọn

)

Please follow and like us :

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp