Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cách 1:

– Viết PT mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2
– Viết PT mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P)
– Tìm giao điểm M = d1 ∩ (Q), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P)
– Viết PT mặt phẳng ( P ) chứa dvà song song với d – Viết PT mặt phẳng ( Q. ) chứa dvà vuông góc với ( P ) – Tìm giao điểm M = d ∩ ( Q. ), pt đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng đi qua M và vuông góc với ( P )

Cách 2:

Gọi M = d ∩ d1; N = d ∩ d2
Vì d là đường vuông góc chung nên

Gọi M = d ∩ d ; N = d ∩ dVì d là đường vuông góc chung nên

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

– Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 có

Chọn 1 vectơ pháp tuyến của ( P ) là ( 6 ; 5 ; – 4 )

– Mặt phẳng (Q) chứa d1 và vuông góc với (P) có

=>

1 điểm thuộc d1 cũng thuộc ( Q. ) là : ( 2 ; – 1 ; 0 )
Phương trình mặt phẳng ( Q. ) là :
– 2. ( x – 2 ) + 24. ( y + 1 ) + 27. ( z – 0 ) = 0 hay – 2 x + 24 y + 27 z + 28 = 0
– Giao điểm M = d2 ∩ ( Q. ) có tọa độ là ( t ; 2 t + 1 ; 4 t – 1 ) thỏa mãn nhu cầu :
– 2. t + 24 ( 2 t + 1 ) + 27 ( 4 t – 1 ) + 28 = 0 ⇔ t = – 25/154

=>

Đường thẳng vuông góc chung là đường thẳng d đi qua M và vuông góc với ( P ) nên có vectơ chỉ phương là vectơ pháp tuyến của ( P ) : ( 6 ; 5 ; – 4 )

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ: 2

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
M = d ∩ d1 => M ( t ; 5-2 t ; 14-3 t )
N = d ∩ d2 => N ( 9-4 t ’ ; 3 + t ’ ; – 1 + 5 t ’ )

=>

Ta có :

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là ( 1 ; – 1 ; 1 )

Vậy phương trình của d là:

Chọn A.

Ví dụ: 3

Trong không gian với hệ tọa độ cho hai đường thẳng

. Phương trình đường vuông góc chung của hai

đường thẳng d1; d2 là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng cần tìm
Gọi A = d ∩ d1 ; B = d ∩ d2
+ Do A thuộc d1 nên A ( 2 + a ; 1 – a ; 2 – a )
+ Do B thuộc d2 nên B ( b ; 3 ; – 2 + b )

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương

+ Ta có :

=> A ( 2 ; 1 ; 2 ) và B ( 3 ; 3 ; 1 )

+ Đường thẳng d đi qua điểm A ( 2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình của d là :

Chọn C .

Quảng cáo

Ví dụ: 4

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho A ( – 1 ; 1 ; 0 ) ; B ( 1 ; 3 ; 3 ) ; C ( 1 ; 2 ; 1 ) và D ( 1 ; 1 ; 1 ). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M ?
A. ( – 3 ; 0 ; – 1 )
B. ( 1 ; 0 ; 1 )
C. ( – 1 ; 0 ; 2 )
D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -1 ; 1 ; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ
phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1 ; 3 ; 3) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M ( – 1 + 2 m ; 1 + m ; m )
+ N thuộc BD nên N ( 1 ; 3 – 2 n ; 3 – 2 n )

+ Ta có đường thẳng MN vuông góc với AC và BD nên :

=> đường thẳng d cắt AC tại M ( – 3 ; 0 ; – 1 )
Chọn A.

Ví dụ: 5

Trong khoảng trống với hệ trục tọa độ Oxyz ; cho ba điểm A ( 1 ; 2 ; 3 ) ; B ( 0 ; 1 4 ) và C ( – 1 ; – 2 ; 1 ). Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Tính độ dài đường vuông góc chung ?
A. 2
B. 4

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 1;2; 3) và nhận vecto
làm vecto chỉ

phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ

phương nên phương trình OC:

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N
+ Điểm M thuộc AB nên M ( 1 – m ; 2 – m ; 3 + m )
+ Điểm N thuộc OC nên N ( n ; 2 n ; – n )

.

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn C .

Ví dụ: 6

Trong khoảng trống với hệ trục Oxyz ; cho những điểm A ( 1 ; 1 ; 1 ) và B ( – 2 ; 1 ; 0 ). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Ox. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d ?
A. ( 0 ; 1 ; 1 )
B. ( – 2 ; 0 ; 1 )
C. ( 0 ; 0 ; 1 )
D. ( 0 ; 1 ; 0 )

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương

+ Trục Ox có vecto chỉ phương là

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Ox nên một vecto chỉ phương của đường

thẳng d là:

+ Lại có vecto
cùng phương với vecto u→ nên u’→ cũng là một vecto chỉ

phương của d.

Chọn D .

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
. Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oz tại A và B. Tìm tọa độ trung điểm của AB?

A. ( 0 ; 1 ; – 1 )
B. ( 2 ; – 1 ; 2 )
C. ( – 2 ; 1 ; 0 )
D. ( 0 ; 2 ; 2 )

Hướng dẫn giải

+ Trục Oz: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ
phương

=> Phương trình Oz:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Điểm A thuộc d nên A ( 1 + a ; 2 ; a ) .
+ Điểm B thuộc Oz nên B ( 0 ; 0 ; b )

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oz nên :

=> Tọa độ hai điểm A ( 0 ; 2 ; – 1 ) và B ( 0 ; 0 ; – 1 )
=> Tọa độ trung điểm của AB là M ( 0 ; 1 ; – 1 )

Chọn A.

Ví dụ: 8

Cho hai đường thẳng
. Đường thẳng d cắt và vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là:
.

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A ( 1 ; a ; 1 – a ) .
+ Điểm B thuộc d2 nên B ( 2 + b ; 1 – b ; 2 )

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :

=> Phương trình d:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm .

+ Hai đường thẳng d1; d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :

+ Gọi giao điểm của d với 2 đường thẳng đã cho lần lượt là A và B .
+ Điểm A thuộc d1 nên A ( a ; – 2 a ; a )
+ Điểm B thuộc d2 nên B ( – 1 + 2 b ; 1 + 2 b ; – 1 + b )

+ ta có đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng đã cho nên vì thế :

=> Phương trình d:

Chọn C .

Câu 2:

Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau sau :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Gọi d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau đã cho
Gọi M = d ∩ d1 => M ( m ; – 2 ; 1 – m ) và N = d ∩ d2 => N ( 2 ; – 1 + n ; – 1 + n )

+ Hai đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là :

Ta có

Chọn 1 vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung d là ( 1 ; – 1 ; 1 )

Vậy phương trình của d là:

Chọn B.

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng

. Đường vuông góc chung của hai đường thẳng d1;

d2 cắt hai đường thẳng d1; d2 lần lượt tại A và B. Biết B( m; n; p). Tính m+ n- p?

A. – 2
B. 4
C. 0
D. – 3
Hiển thị lời giải
Gọi d là đường thẳng cần tìm .
Gọi A = d ∩ d1 ; B = d ∩ d2
+ Do A thuộc d1 nên A ( 2 a ; 1 + a ; – a )
+ Do B thuộc d2 nên B ( 1 – b ; – 2 ; 2 – b )

+ Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

+ Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương

+ Ta có :

Chọn D .

Câu 4:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho A ( – 2 ; 1 ; 3 ) ; B ( 1 ; 2 ; 1 ) ; C ( 0 ; 0 ; 2 ) và D ( 2 ; 3 ; 1 ). Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AC và BD cắt AC và BD lần lượt tại M và N. Tìm M ?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AC : Đi qua A( -2; 1; 3) và nhận vecto
làm vecto chỉ

phương nên có phương trình :

+ Đường thẳng BD : đi qua B( 1; 2; 1) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

nên có phương trình :

+ M thuộc AC nên M ( – 2 + 2 m ; 1 – m ; 3 – m )
+ N thuộc BD nên N ( 1 + n ; 2 + n ; 1 )

+ Ta có đường thẳng d vuông góc với AC và BD nên :

Chọn A.

Câu 5:

Trong khoảng trống với hệ trục tọa độ Oxyz ; cho ba điểm A ( 0 ; – 1 ; 2 ) ; B ( – 1 ; 0 ; 1 ) và C ( 1 ; 2 ; – 1 ). Gọi d là đường vuông góc chung của AB và OC. Độ dài đường vuông góc chung gần với số nào nhất ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AB: Đi qua A( 0; -1; 2) và nhận vecto
làm vecto chỉ

phương nên phương trình AB:

+ Đường thẳng OC: đi qua O( 0; 0 ; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ

phương nên phương trình OC:

+ Đường thẳng d là đường vuông góc chung của AB và OC. Gọi giao điểm của d với AB và OC lần lượt là M và N
+ Điểm M thuộc AB nên M ( – m ; – 1 + m ; 2 – m )
+ Điểm N thuộc OC nên N ( n ; 2 n ; – n )

.

=> Đường thẳng MN vuông góc với hai đường thẳng AB và OC.

Chọn A.

Câu 6:

Trong khoảng trống với hệ trục Oxyz ; cho những điểm A ( – 1 ; 0 ; 1 ) và B ( 0 ; 1 ; 2 ). Đường thẳng d là đường thẳng vuông góc và cắt cả hai đường thẳng AB và trục Oy. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng d ?
A. ( 0 ; 1 ; 1 )
B. ( – 1 ; 0 ; 1 )
C. ( 0 ; 0 ; 1 )
D. ( 0 ; 1 ; 0 )
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng AB có vectoc chỉ phương

+ Trục Oy có vecto chỉ phương là

+ Do đường thẳng d vuông góc với AB và Oy nên một vecto chỉ phương của đường

thẳng d là:

Chọn B .

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
. Đường thẳng Δ cắt và vuông góc với hai đường thẳng d và trục Oy tại A và B. Tìm tọa độ
trung điểm của AB?

A. ( – 1 ; 1 ; 0 )
B. ( 2 ; – 1 ; 2 )
C. ( – 2 ; 1 ; 0 )
D. ( 0 ; 2 ; 2 )
Hiển thị lời giải

+ Trục Oy: đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> Phương trình Oy:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

+ Điểm A thuộc d nên A ( – 2 ; 1 + a ; – a ) .
+ Điểm B thuộc Oy nên B ( 0 ; b ; 0 )

+ Đường thẳng Δ đi qua hai điểm A và B nên đường thẳng này nhận vecto

làm vecto chỉ phương

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với cả hai đường thẳng d và Oy nên :

=> Tọa độ hai điểm A ( – 2 ; 1 ; 0 ) và B ( 0 ; 1 ; 0 )
=> Tọa độ trung điểm của AB là M ( – 1 ; 1 ; 0 )
Chọn A .

Câu 8:

Cho hai đường thẳng
Đường thẳng d cắt và

vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d. Viết phương trình đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải

+ Đường thẳng d1 và d2 có vecto chỉ phương lần lượt là:
.

+ Gọi giao điểm của d với hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt là A và B.
+ Điểm A thuộc d1 nên A ( a ; – 1 – a ; 2 ) .
+ Điểm B thuộc d2 nên B ( 2 ; 1 + b ; 0 )

+ Ta có đường thẳng AB vuông góc với cả hai đường thẳng d1 và d2 nên :

=> Phương trình d:

Chọn C.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp