Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm – Cách giải và bài tập có đáp án chi tiết – Tự Học 365

Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua một điểm – Cách giải {} bài tập

Phương pháp giải bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua $ B \ left ( \ alpha ; \ beta \ right ) USD
Gọi $ A \ left ( { { x } _ { 0 } } ; f \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) \ right ) \ in \ left ( C \ right ) USD .
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm A của $ \ left ( C \ right ) USD là USD y = { f } ‘ \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + f \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) \ left ( d \ right ) USD .

Mặt khác d đi qua $B\left( \alpha ;\beta  \right)$ nên $\beta ={f}’\left( {{x}_{0}} \right)\left( \alpha -{{x}_{0}} \right)+f\left( {{x}_{0}} \right)$ từ đó giải phương trình tìm ${{x}_{0}}$.

Bài tập trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm có đáp án chi tiết

Ví dụ 1: Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{x-1}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến qua $A\left( 1;7 \right)$.

Lời giải

Ta có : USD y = \ frac { – 3 } { { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + \ frac { { { x } _ { 0 } } + 2 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } USD. Tiếp tuyến qua $ A \ left ( 1 ; 7 \ right ) USD .
Do vậy USD 7 = \ frac { – 3 } { { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ left ( 1 – { { x } _ { 0 } } \ right ) + \ frac { { { x } _ { 0 } } + 2 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } = \ frac { { { x } _ { 0 } } + 5 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } \ Leftrightarrow 7 \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) = { { x } _ { 0 } } + 5 \ Leftrightarrow { { x } _ { 0 } } = 2 USD .
Phương trình tiếp tuyến là : USD y = – 3 \ left ( x-2 \ right ) + 4 USD hay USD y = – 3 \ text { x } + 10 USD .

Ví dụ 2: Cho hàm số $y={{x}^{4}}+2{{\text{x}}^{2}}+5\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua gốc tọa độ. A. $y=4\text{x}$ hoặc $y=-4\text{x}$  B. $y=-2\text{x}$ hoặc $y=2\text{x}$ C. $y=8\text{x}$ hoặc $y=-8\text{x}$  D. $y=4\text{x}-4$ hoặc $y=4\text{x}+4$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; x_ { 0 } ^ { 4 } + 2 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } \ right ) USD là USD y = \ left ( 4 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } + 4 { { \ text { x } } _ { 0 } } \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 4 } + 2 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } + 5 \ left ( d \ right ) USD

Do $O\left( 0;0 \right)\in d$ nên $0=-3\text{x}_{0}^{4}-2\text{x}_{0}^{2}+5\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {{x}_{0}}=1 \\  {} {{x}_{0}}=-1 \\ \end{array} \right.\Rightarrow $ phương trình tiếp tuyến: $\left[ \begin{array}  {} y=8\text{x} \\  {} y=-8\text{x} \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Ví dụ 3: Cho hàm số $y=\frac{2\text{x}+1}{x-2}\left( C \right)$. Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm $A\left( 2;-8 \right)$ đến đồ thị $\left( C \right)$. A. $y=-5\text{x}+2$  B. $y=-5\text{x}+8$  C. $y=-3\text{x}+2$  D. $y=-3\text{x}+8$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; \ frac { 2 { { \ text { x } } _ { 0 } } + 1 } { { { x } _ { 0 } } – 2 } \ right ) USD là USD y = \ frac { – 5 } { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 2 \ right ) } \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + \ frac { 2 { { x } _ { 0 } } + 1 } { { { x } _ { 0 } } – 2 } \ left ( d \ right ) USD
Do $ A \ left ( 2 ; – 8 \ right ) \ in d USD nên ta có : USD – 8 = \ frac { – 5 \ left ( 2 – { { x } _ { 0 } } \ right ) } { { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 2 \ right ) } ^ { 2 } } } + \ frac { 2 { { \ text { x } } _ { 0 } } + 1 } { { { x } _ { 0 } } – 2 } = \ frac { 2 { { x } _ { 0 } } + 6 } { { { x } _ { 0 } } – 2 } \ Leftrightarrow { { x } _ { 0 } } = 1 USD

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $y=-5\left( x-1 \right)-3=-5\text{x}+2$. Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-3\text{x}\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( 2;2 \right)$. A. $y=9\text{x}-16$  B. $y=2$  C. $y=2$ hoặc $y=9\text{x}-16$  D. $y=9\text{x}-18$

Lời giải

Gọi USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; x_ { 0 } ^ { 3 } – 3 { { \ text { x } } _ { 0 } } \ right ) USD là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến là USD y = \ left ( 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 3 \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 3 } – 3 { { \ text { x } } _ { 0 } } $
Do tiếp tuyến đi qua $ A \ left ( 2 ; 2 \ right ) USD nên USD 2 = \ left ( 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 3 \ right ) \ left ( 2 – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 3 } – 3 { { \ text { x } } _ { 0 } } \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } { { x } _ { 0 } } = – 1 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = 2 \ \ { } { { x } _ { 0 } } = 2 \ Rightarrow { { y } _ { 0 } } = 2 \ \ \ end { array } \ right. $

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: $\left[ \begin{array}  {} y=2 \\  {} y=9\left( x-2 \right)+2=9\text{x}-16 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Ví dụ 5: Cho hàm số $y=4{{\text{x}}^{3}}-6{{\text{x}}^{2}}+1\left( C \right)$. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đi qua điểm $M\left( -1;-9 \right)$. A. $y=24\text{x}+15$  B. $y=\frac{15}{4}x+\frac{21}{4}$ C. $y=24\text{x}+15$ hoặc $y=\frac{15}{4}x+\frac{21}{4}$  D. $y=\frac{15}{4}x+\frac{21}{4}$ hoặc $y=24\text{x}+11$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $ A \ left ( { { x } _ { 0 } } ; 4 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } – 6 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } + 1 \ right ) USD là :
USD y = \ left ( 12 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 12 { { x } _ { 0 } } \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + 4 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } – 6 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } + 1 \ left ( d \ right ) USD
Cho USD M \ left ( – 1 ; – 9 \ right ) \ in d $ ta có : USD – 9 = \ left ( 12 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 12 { { \ text { x } } _ { 0 } } \ right ) \ left ( – 1 – { { x } _ { 0 } } \ right ) + 4 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } – 6 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } + 1 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } { { x } _ { 0 } } = \ frac { 5 } { 4 } \ \ { } { { x } _ { 0 } } = – 1 \ \ \ end { array } \ right. $ .
Với $ { { x } _ { 0 } } = – 1 \ Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là : USD y = 24 \ text { x } + 15 USD

Với ${{x}_{0}}=\frac{-5}{4}\Rightarrow $ Phương trình tiếp tuyến là: $y=\frac{15}{4}x-\frac{21}{4}$. Chọn C.

Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}-4\text{x}+1\left( C \right)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( -2;1 \right)$ là: A. $y=-x-1$ hoặc $y=8\text{x}-17$  B. $y=-x+1$ hoặc $y=8\text{x}-17$ C. $y=-x+1$ hoặc $y=-8\text{x}-17$  D. $y=-x-1$ hoặc $y=8\text{x}+17$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến tại điểm USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; x_ { 0 } ^ { 3 } – 4 { { \ text { x } } _ { 0 } } + 1 \ right ) USD là : USD y = \ left ( 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 4 \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 3 } – 4 { { \ text { x } } _ { 0 } } + 1 USD
Cho tiếp tuyến qua $ A \ left ( – 2 ; 1 \ right ) USD ta có :
USD 1 = \ left ( 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 4 \ right ) \ left ( – 2 – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 3 } – 4 { { \ text { x } } _ { 0 } } + 1 \ Leftrightarrow – 2 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } – 6 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } + 8 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } { { x } _ { 0 } } = 1 \ \ { } { { x } _ { 0 } } = – 2 \ \ \ end { array } \ right. $ .

Do vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: $y=-x-1$, $y=8\text{x}+17$. Chọn D.

Ví dụ 7: Cho hàm số $y={{x}^{2}}-2\text{x}+3\left( C \right)$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $x=2$ của $\left( C \right)$ đi qua điểm $A\left( a;a+2 \right)$. Giá trị của a là: A. $a=1$  B. $a=-1$  C. $a=3$  D. $a=-3$

Lời giải

Ta có : USD x = 2 ; y = 3 ; { f } ‘ \ left ( 2 \ right ) = 2 USD. Tiếp tuyến tại điểm USD M \ left ( 2 ; 3 \ right ) USD là : USD y = 2 \ left ( x-2 \ right ) + 3 = 2 \ text { x } – 1 \ left ( d \ right ) USD .

Do $A\in d$ nên $a+2=2\text{a}-1\Leftrightarrow a=3$. Chọn C.

Ví dụ 8: Cho đồ thị $\left( C \right):y={{x}^{3}}-3{{\text{x}}^{2}}$. Có bao nhiêu số nguyên $b\in \left( -10;10 \right)$ để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ đi qua điểm $B\left( 0;b \right)$? A. 15 B. 9 C. 16 D. 17

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến của $ \ left ( C \ right ) USD tại USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; x_ { 0 } ^ { 3 } – 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } \ right ) USD có dạng : USD y = \ left ( 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 6 { { \ text { x } } _ { 0 } } \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 3 } – 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } $
Do tiếp tuyến đi qua điểm $ \ left ( 0 ; b \ right ) \ Rightarrow b = \ left ( 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 6 { { \ text { x } } _ { 0 } } \ right ) \ left ( – { { x } _ { 0 } } \ right ) + x_ { 0 } ^ { 3 } – 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } = – 2 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } + 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } $
Để có đúng một tiếp tuyến của $ \ left ( C \ right ) USD đi qua $ B \ left ( 0 ; b \ right ) USD thì phương trình USD b = – 2 \ text { x } _ { 0 } ^ { 3 } + 3 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } $ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số USD y = – 2 { { \ text { x } } ^ { 3 } } + 3 { { \ text { x } } ^ { 2 } } \ Rightarrow { y } ‘ = – 6 { { \ text { x } } ^ { 2 } } + 6 \ text { x } = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } x = 0 \ Rightarrow y = 0 \ \ { } x = 1 \ Rightarrow y = 1 \ \ \ end { array } \ right. $

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[ \begin{array}  {} b>1 \\  {} b<0 \\ \end{array} \right.$

Vậy $b\in \left( -10;10 \right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.

Ví dụ 9: Cho hàm số $y=\frac{-x+2}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( a;1 \right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của a để có đúng một tiếp tuyến của $\left( C \right)$ kẻ qua A. Tổng giá trị các phần tử của S là: A. 1 B. $\frac{3}{2}$  C. $\frac{5}{2}$  D. $\frac{1}{2}$

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến của $ \ left ( C \ right ) USD tại điểm USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; \ frac { – { { x } _ { 0 } } + 2 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } \ right ) USD là :
USD y = { f } ‘ \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + \ frac { { { x } _ { 0 } } + 2 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } = \ frac { 1 } { { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + \ frac { – { { x } _ { 0 } } + 2 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } $
Do tiếp tuyến đi qua điểm $ A \ left ( a ; 1 \ right ) USD nên USD 1 = \ frac { { { x } _ { 0 } } – a + \ left ( 2 – { { x } _ { 0 } } \ right ) \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } { { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } $
USD \ Leftrightarrow { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } = – x_ { 0 } ^ { 2 } + 4 { { \ text { x } } _ { 0 } } – 2 – a \ Leftrightarrow 2 \ text { x } _ { 0 } ^ { 2 } – 6 { { \ text { x } } _ { 0 } } + 3 + a = 0 \ left ( * \ right ) USD

Để có đúng một tiếp tuyến đi qua A thì (*) có nghiệm kép hoặc (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm ${{x}_{0}}=1\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} {\Delta }’=3-2\text{a}=0 \\  {} \left\{ \begin{array}  {} {\Delta }’=3-2\text{a}>0 \\  {} 2.1-6+3+a=0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} a=\frac{3}{2} \\  {} a=1 \\ \end{array} \right.$. Chọn C.

Ví dụ 10: Cho hàm số $y=f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{\text{x}}^{2}}+2$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $M\left( m;2 \right)$. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$. Tổng các phần tử của S là A. $\frac{20}{3}$  B. $\frac{13}{2}$  C. $\frac{12}{3}$  D. $\frac{16}{3}$

Lời giải

Gọi $ A \ left ( a ; – { { a } ^ { 3 } } + 6 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 2 \ right ) \ in \ left ( C \ right ) USD
Phương trình tiếp tuyến của $ \ left ( C \ right ) USD tại A là : USD y = \ left ( – 3 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 12 \ text { a } \ right ) \ left ( x-a \ right ) – { { a } ^ { 3 } } + 6 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 2 USD
Do tiếp tuyến đi qua USD M \ left ( m ; 2 \ right ) USD nên USD 2 = \ left ( – 3 { { a } ^ { 2 } } + 12 \ text { a } \ right ) \ left ( x-a \ right ) – { { a } ^ { 3 } } + 6 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 2 USD
USD \ Leftrightarrow \ left ( – 3 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 12 \ right ) \ left ( m-a \ right ) = { { a } ^ { 3 } } – 6 { { \ text { a } } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } a = 0 \ \ { } \ left ( – 3 \ text { a } + 12 \ right ) \ left ( m-a \ right ) = { { a } ^ { 2 } } – 6 \ text { a } \ left ( * \ right ) \ \ \ end { array } \ right. $
$ \ left ( * \ right ) \ Leftrightarrow – 3 ma – 12 \ text { a } + 12 m + 3 { { \ text { a } } ^ { 2 } } = { { a } ^ { 2 } } – 6 \ text { a } \ Leftrightarrow g \ left ( a \ right ) = – 2 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 3 \ left ( m + 2 \ right ) a-12m = 0 USD
Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị $ \ left ( C \ right ) $ ta có 2 trường hợp .

TH1: $g\left( a \right)=0$ có nghiệm kép khác 0 $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} g\left( 0 \right)=-12m\ne 0 \\  {} \Delta =9{{\left( m+2 \right)}^{2}}-96m=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}  {} m=\frac{2}{3} \\  {} m=6 \\ \end{array} \right.$

TH2: $g\left( a \right)=0$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó 1 nghiệm bằng 0 (vô nghiệm)

Vậy $m=\frac{2}{3};m=6\Rightarrow \sum{m}=\frac{20}{3}$. Chọn A.

 

Ví dụ 11: Cho hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( 0;m \right)$. Gọi S là tập hơp tất cả các giá trị thực của m để có đúng một tiếp tuyến từ $\left( C \right)$ đi qua A. Tổng tất cả giá trị của phần từ S bằng A. 1 B. $-1$  C. 0 D. $-\frac{1}{2}$

Lời giải

Gọi USD M \ left ( a ; \ frac { a + 1 } { a-1 } \ right ) \ in \ left ( C \ right ) USD, phương trình tiếp tuyến tại M là : USD y = \ frac { – 2 } { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ left ( x-a \ right ) + \ frac { a + 1 } { a-1 } $
Tiếp tuyến đi qua điểm $ A \ left ( 0 ; m \ right ) \ Rightarrow m = \ frac { 2 \ text { a } } { { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } } + \ frac { a + 1 } { a-1 } $
USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } a \ ne 1 \ \ { } m { { \ left ( a-1 \ right ) } ^ { 2 } } = 2 \ text { a } + { { a } ^ { 2 } } – 1 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } a \ ne 1 \ \ { } g \ left ( a \ right ) = \ left ( m-1 \ right ) { { a } ^ { 2 } } – 2 \ left ( m + 1 \ right ) a + m + 1 = 0 \ \ \ end { array } \ right. \ left ( * \ right ) USD

Để có đúng một tiếp tuyến từ   đi qua A ta xét các trường hợp sau:

TH1: Với $m=1\Rightarrow -4\text{a}+2=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$

TH2: Do $g\left( 1 \right)=-2$ nên để có đúng một tiếp tuyến từ $\left( C \right)$ đi qua A thì $g\left( a \right)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} m\ne 1 \\  {} {\Delta }’={{\left( m+1 \right)}^{2}}-\left( m+1 \right)\left( m-1 \right)=0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow m=-1$. Vậy $\sum{m}=0$. Chọn C.

Ví dụ 12: Cho hàm số $y={{x}^{3}}-12\text{x}+12$ có đồ thị $\left( C \right)$ và điểm $A\left( m;-4 \right)$. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của m nguyên thuộc khoảng $\left( 2;5 \right)$ để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right)$. Tổng tất cả các phần tử nguyên của tập S bằng A. 7 B. 9 C. 3 D. 4

Lời giải

Gọi USD M \ left ( a ; { { a } ^ { 3 } } – 12 \ text { a } + 12 \ right ) \ in \ left ( C \ right ) USD, phương trình tiếp tuyến tại M là :
USD y = \ left ( 3 { { \ text { a } } ^ { 2 } } – 12 \ right ) \ left ( x-a \ right ) + { { a } ^ { 3 } } – 12 \ text { a } + 12 USD
Tiếp tuyến đi qua điểm $ A \ left ( m ; – 4 \ right ) USD khi USD – 4 = \ left ( 3 { { \ text { a } } ^ { 2 } } – 12 \ right ) \ left ( m-a \ right ) + { { a } ^ { 3 } } – 12 \ text { a } + 12 USD
USD \ Leftrightarrow { { a } ^ { 3 } } – 12 \ text { a } + 16 + 3 \ left ( a-2 \ right ) \ left ( a + 2 \ right ) \ left ( m-a \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left ( a-2 \ right ) \ left [ \ left ( a + 4 \ right ) \ left ( a-2 \ right ) + \ left ( 3 \ text { a } + 6 \ right ) \ left ( m-a \ right ) \ right ] = 0 USD
USD \ Leftrightarrow \ left ( a-2 \ right ) \ left ( – 2 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + 2 \ text { a } + 3 ma – 6 \ text { a } – 8 + 6 m \ right ) = 0 USD
USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { } a = 2 \ \ { } g \ left ( a \ right ) = – 2 { { \ text { a } } ^ { 2 } } + \ left ( 3 m – 4 \ right ) a + 6 m – 8 = 0 \ \ \ end { array } \ right. $
Để từ A kẻ được ba tiếp tuyến với đồ thị $ \ left ( C \ right ) USD khi USD g \ left ( a \ right ) = 0 $ có 2 nghiệm phân biệt khác 2

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} g\left( 2 \right)=-8+6m-8+6m-8\ne 0 \\  {} \Delta ={{\left( 3m-4 \right)}^{2}}+8\left( 6m-8 \right)>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} \left[ \begin{array}  {} m>\frac{4}{3} \\  {} m<-4 \\ \end{array} \right. \\  {} m\ne 2 \\ \end{array} \right.\xrightarrow{m\in \mathbb{Z};m\in \left( 2;5 \right)}m=3;4\Rightarrow \sum{m}=7$. Chọn A.

Ví dụ 13: Cho $y=\frac{x+3}{x-1}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Gọi A là điểm trên $d:y=2\text{x}+1$ có hoành độ a mà từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới $\left( C \right)$. Khẳng định nào sau đây đúng? A. $a\in \left( -1;2 \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$ B. $a\in \left( -1;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$               C. $a\in \left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 1 \right\}$               D. $a\in \left( -2;2 \right)\backslash \left\{ 0 \right\}$

Lời giải

Gọi $ A \ left ( a ; 2 \ text { a } + 1 \ right ) USD, gọi USD M \ left ( { { x } _ { 0 } } ; \ frac { { { x } _ { 0 } } + 3 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } \ right ) \ in \ left ( C \ right ) USD
Phương trình tiếp tuyến tại M là : USD y = \ frac { – 4 } { { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } } \ left ( x – { { x } _ { 0 } } \ right ) + \ frac { { { x } _ { 0 } } + 3 } { { { x } _ { 0 } } – 1 } $

Do tiếp tuyến đi qua điểm $A\left( a;2\text{a}+1 \right)$ nên $2\text{a}+1=\frac{-4}{{{\left( {{x}_{0}}-1 \right)}^{2}}}\left( a-{{x}_{0}} \right)+\frac{{{x}_{0}}+3}{{{x}_{0}}-1}$

USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } { { x } _ { 0 } } \ ne 1 \ \ { } \ left ( 2 \ text { a } + 1 \ right ) { { \ left ( { { x } _ { 0 } } – 1 \ right ) } ^ { 2 } } = – 4 \ text { a } + 4 { { \ text { x } } _ { 0 } } + x_ { 0 } ^ { 2 } + 2 { { \ text { x } } _ { 0 } } – 3 \ \ \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { } { { x } _ { 0 } } \ ne 1 \ \ { } g \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) = ax_ { 0 } ^ { 2 } – 2 \ left ( a + 2 \ right ) { { x } _ { 0 } } + 3 \ text { a } + 2 = 0 \ \ \ end { array } \ right. $
Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến tới $ \ left ( C \ right ) USD thì phương trình USD g \ left ( { { x } _ { 0 } } \ right ) = 0 $ có 2 nghiệm phân biệt khác 1 .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a\ne 0 \\  {} g\left( 1 \right)=-4\text{a}+4\ne 0 \\  {} {\Delta }’={{\left( a+2 \right)}^{2}}-3{{\text{a}}^{2}}-2\text{a}>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}  {} a\ne 0;a\ne 1 \\  {} -2{{\text{a}}^{2}}+2\text{a}+4>0 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow a\in \left( -1;2 \right)\backslash \left\{ 0;1 \right\}$. Chọn A.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp