[SGK Scan] ✅ Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Xem thêm các sách tham khảo liên quan:

Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm –
Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm. Một đoàn tàu hoạt động thẳng khởi hành từ một nhà ga. Quãng đường s ( mét ) đi được của đoàn tàu là một hàm số của thời hạn I ( phút ). Ở những phút tiên phong, hàm số đó là s = t ^ 2. Hãy tính tốc độ trung bình của hoạt động trong khoảng chừng [ t ; t0 ]. Với t0 = 3 và t = 2 ; t = 2,5 ; t = 2.9 ; t = 2.99 Quãng đường s của hoạt động là một hàm số của thời hạn 1 s = S ( t ). Hãy tìm một đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của hoạt động tại thời gian to, Giải. Trong khoảng chừng thời hạn từ 10 đến t, chất điểm đi được quãng đường làS – S0 = S ( t ) – s ( to ). Nếu chất điểm hoạt động đều thì tỉ sốS — 80 — S ( T ) — S ( 10 ) t – to 1 – կ0 là một hằng số với mọi t. Đó chính là tốc độ của hoạt động tại mọi thời gian. Nếu chất điểm hoạt động không đều thì tỉ số trên là tốc độ trung bình của hoạt động trong khoảng chừng thời hạn | t – to | – Khi 1 càng gần 10, tức là t tol càng nhỏ thì tốc độ trung bình càng bộc lộ được đúng chuẩn hơn mức độ nhanh chậm của hoạt động tại thời gian 10. Từ nhận xét trên, người ta đưa ra định nghĩa sau đây. Giới hạn hữu hạn ( nếu có ) lim s ( t ) – s ( to ) 1 – » ባ0 [ ̈ I0 được gọi là tốc độ tức thời của hoạt động tại thời gian ( 0, Đó là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của hoạt động tại thời gian to, b ). Bài toán tìm cường độ tức thời Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời hạn I : O = O ( t ). 147C ường độ trung bình của dòng điện trong khoảng chừng thời hạn | | – 10 | làI., F. Q ( t ) – Q. ( to ) = -. t – lo Nếu | ! – to càng nhỏ thì tỉ số này càng biểu lộ đúng chuẩn hơn cường độ dòng điện tại thời gian to. Người ta đưa ra định nghĩa sau đây. Giới hạn hữu hạn ( nếu có ) i Q0 ) — Q. ( fo ) 1 – » to t – կ0 được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời gian to, NHÂN XÉT Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, … đưa đến việc tìm số lượng giới hạn dạng lim f ( x ) – f ‘ ( x0 ), trong đó y = f ( x ) là một hàm số x → xo – * 0 đã cho. Giới hạn trên dẫn tới một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm. 2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm ĐINH NGHIA Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a ; b ) và x0 = ( a ; b ). Nếu sống sót số lượng giới hạn ( hữu hạn ) lim f ( x ) – f ( x0 ) * → x0 A X0thì số lượng giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm X0 và kí hiệu là f ‘ ( x0 ) ( hoặc y ‘ ( x0 ) ), tức làf ‘ ( xo ) = lim f ( x ) – f ‘ ( x0 ). x -> x0 x – 0148CH Ú Ý Đại lượng AY = x – \ 0 được gọi là số gia của đối số tại \ 0, Đại lượng Ay = f ( x ) = f ( x0 ) = f ( x0 + AY ) – f ( x0 ) được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậyAy ‘ ( x ) = lim -. y ( AO Δr-sΟ ΔΥ3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa2 汽 。 hàm số y = x ”. Hãy tính y ‘ ( xn ) bằng định nghĩa. Để tính đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm xo bằng định nghĩa, ta có quy tắc sau đây. QUY TÁCBước 1. Giả sử Ax là số gia của đối số tại x0, tính Ay = f ( x0 ) + Ax ) – f ( x0 ). Bước 2. Lập tỉ số o. ΔαBước 3. Tìm lim Δy. ΔΥ – » 0 ΔνVí dụ I. Tính đạo hàm của hàm số f ( x ) = l tại điểm x0 = 2. Giải. Giả sử AY là số gia của đối số tại x0 = 2. Ta có 1 1. Δ. Α. Δν = f ( 2 + Δα ) – 7 ( 2 ) = – – – = — Τ – : y = f ( 2 + A ) – f ( 2 ) – A — six — – Δν 2 ( 2 + Δα ) lim A = lim — Δν – » 0 ΔΧ Λα – 02 ( 2 + Δ. Α. ) l4. 1V āv f ( 2 ) = — ay f ‘ ( 2 ) 4.1494. Quan hệ giữa sự sống sót của đạo hàm và tính liên tục của hàm số5. 150T a thừa nhận định lí sau đây. ĐINH LÍ1 Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại \ 0 thì nó liên tục tạiđiểm đó. CHÚ Ý a ) Định lí trên tương tự với chứng minh và khẳng định : Nếu hàm số y = f ( x ) gián đoạn tại \ 0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b ) Mệnh đề hòn đảo của Định lí 1 không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm hoàn toàn có thể không có đạo hàm tại điểm đó. Chẳng hạn, hàm số f ( x ) = nếu A > 0 \ nếu \ < 0 liên tục tại x = 0, nhưng không có đạo hàm tại đó. Ta nhận xét rằng đồ thị của hàm số này là một đường liền, nhưng bị " gãy " tại điểm O ( 0 : 0 ) ( h. 62 ). Ý nghĩa hình học của đạo hàm 32. a ) Vẽ đồ thị của hàm số f ( x ) =. b ) Tính f ' ( 1 ). } / ình 62 c ) Vẽ đường thẳng đi qua điểm M ( 1 ; ) và có thông số góc bằng f ' ( 1 ). Nêu nhận y Xét về vị trí tương đối của đường thẳng này và đồ thị hàm số đã cho. . זי-זז a ) Tiếp tuyến của đường cong phẳng Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường ' ' ' Fruit cong ( C ). Giả sử ( C ) là đồ thị của hàm っ số y = f ( x ) và M0 ( \ 0 ; f ( \ 0 ) ) = ( C ), Kí hiệu M ( x ; f ( x ) ) là một điểm vận động và di chuyển Ο * 0 trên ( C ). Đường thẳng M0M là một cát tuyến của ( C ) ( h. 63 ). Hình 63 Nhận xét rằng khi x → \ 0 thì M ( x ; f ( x ) ) chuyển dời trên ( C ) tới điểm M0 ( \ 0 ; f ( x0 ) ) và ngược lại. Giả sử cát tuyến M0M có vị trí số lượng giới hạn, kí hiệu là MộT thì MọT được gọi là tiếp tuyến của ( C ) tại M0. Điểm Mo được gọi là tiếp điểm. Sau đây, ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song hoặc trùng với Oy. b ) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a ; b ) và có đạo hàm tại \ 0 = ( a ; b ). Gọi ( C ) là đồ thị của hàm số đó. ĐINH LÍ2Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm xo là thông số góc của tiếp tuyến MoT của ( C ) tại điểm Mo ( \ 0 ; f ( x0 ) ). Chứng minh. Giả sử M ( \ o + Ax ; f ( x0 + AY ) ) là điểm chuyển dời trên ( C ). Ta có ( h. 64 ) MoH = Ax, HM = Ay. Hệ số góc của cát tuyến M0M là tanọ, trong đó ( ) là góc tạo bởi trục OY và vectơ M0M như trên Hình 64 a hoặc 64 b. Ta cóHM Ay tan ( p = = = = ---. MoH Ax ( C ) ( C ). / ( x0 + Ax ) M / ίχο + ΔΧ ) ܓw T つ / ίχαν Mo T / / m : -. ] ܘܓܠ 1 ா ற ு 玄エ Y O o x + Ax Ο χο + Δν * 0. ג α ) bり Hình 64151K hi M dần tới Mo ( M → Mo ) thì Ax → 0 và ngược lại. Theo giả thiết, f ( x ) có đạo hàm tại x0 nên sống sót số lượng giới hạn · Ay - ' ( x ) = lim - = lim tanqp. f ' ( x0 Ax-0 Ax M-Mo φVậy khi M → Mo thì cát tuyến MoM dần tới vị trí số lượng giới hạn là đường thẳng MộT, có thông số góc bằng lim tanọ = f ' ( x0 ). M-Mo Đường thẳng MộT là tiếp tuyến tại Mo của ( C ). Vậy f ' ( x0 ) là thông số góc của tiếp tuyến tại Mo của đồ thị ( C ). = c ) Phương trình tiếp tuyến 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua M0 ( \ 0 ; yo ) và có thông số góc k. Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm ta có định lí sau đây. ĐINH LÍ3Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) tại điểm Mo ( \ 0 ; f ( x0 ) ) là y - y0 = f ' ( x0 ) ( x - yo ), trong đó y0 = f ( x0 ). 5 汽 。 hàm số y = - \ ” + 3 x - 2. Tính y ' ( 2 ) bằng định nghĩa. Ví dụ 2. Cho paraboly = - + 3 x - 2. Viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ \ 0 = 2. Giải. Bằng định nghĩa ta tính được y ' ( 2 ) = - 1. Do đó, thông số góc của tiếp tuyến là - 1. Ngoài ra ta cóy ( 2 ) = 0. Vậy phương trình tiếp tuyến của parabol tại điểm Mo ( 2 ; 0 ) là y - 0 = ( - 1 ). ( x-2 ) hay y = - x + 2. En1526. Ý nghĩa vật lí của đạo hàma ) Vận tốc tức thờiXét hoạt động thẳng xác lập bởi phương trình và = x ( t ), với và = và ( ( ) làmột hàm số có đạo hàm. Như đã thấy trong bài toán mở màn, tốc độ tức thờicủa hoạt động tại thời gian to là đạo hàm của hàm số s = x ( t ) tại to : v ( to ) = s ' ( to ). b ) Cường độ tức thờiNếu điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời hạn : Q = Q ( t ) ( Q = Q ( t ) là một hàm số có đạo hàm ) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời gian to là đạo hàm của hàm số Q = Q ( t ) tại to : / ( to ) = Q. ( to ). II - ĐAO HẢM TRÊN MÔT KHOẢNG6 *. định nghĩa, hãy tính đạo hàm của những hàm số : a ) f ( x ) = x ” tại điểm x bất kỳ ; b ) g ( x ) = } tại điểm bất kể x z 0. ĐINH NGHIAHàm số y = f ( x ) được gọi là có đạo hàm trên khoảng chừng ( a ; b ) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng chừng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f ' : ( a ; b ) → R x - f ' ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) trên khoảng chừng ( a ; b ), kí hiệu là y hay f ' ( x ). Ví dụ 3. Hàm số y = x ” có đạo hàm y ' = 2Y trên khoảng chừng ( – CO ; + ơO ). Hàm số y = 1. có đạo hàm y ' = -- trên những khoảng chừng ( – OO : 0 ) và ( 0 ; + 2O ). LV153B Ả I Đọ C TH Ê MĐAO HAM MÔT BÊN Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a ; b ) và xạ = ( a ; b ). Có thể không sống sót số lượng giới hạn ( hữu hạn ) lim f ( x ) — f ( x0 ) x-ex A so nhưng sống sót những số lượng giới hạn một bên him ( * ) foto ), linn " G * ) - ' ' C'o ). x → 。 A so ༣-༡. ༣ ཀ ྱ ི ་ ཀ ྱ ི ་ 0 Khi đó, ta nói hàm số có đạo hàm một bên. Đ [ NH NGHIA 1N ếu sống sót số lượng giới hạn ( hữu hạn ) bên phảilim f ( x ) — f ( vo ), ༣ - ) ༣ ཀ ྱ ི ་ ཀ ྱ ི ་ 0 ta sẽ gọi số lượng giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f ( x ) tại x = \ o và kí hiệu là f ' ( x0 ). Tương tự, số lượng giới hạn ( hữu hạn ) bên trái ( nếu sống sót ) im " 二s " ༣ ), ༣ A W0 được gọi là đạo hàm bên trái của hàm số y = f ( x ) tại x = \ o và kí hiệu là f ' ( x0 ). Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên. Từ những đặc thù của số lượng giới hạn một bên suy ra ngay định lí sau đây. ĐINH LíHàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại xa khi và chỉ khi f ' ( x0 ), f ' ( x ) sống sót và bằng nhau. Khi đó, ta có f " ( x ) = f " ( xo ) = f " ( vo ). 154V í dụ 1. Chứng minh rằng hàm số2 t " nếu A > 0 ro – neu y – \ nếu x < 0 có những đạo hàm một bên, nhưng không có đạo hàm tại \ n = 0, Giải. Ta có : 2 f ' ( 0 ) = im Jo Jo – im = 0 : x - » 0 " x — 0 x-0 f ' ( 0 ) = im J “ ) = " = im = = = 1. x → 0 丁 x - 0 v - < 0 ا ۔ " Vậy tại \ 0 = 0, hàm số này có đạo hàm bên phải bằng 0, đạo hàm bên trái bằng - 1. Vì những đạo hàm bên phải và bên trái khác nhau nên hàm số không có đạo hàm tai A = 0 ,. a - 0V í dụ 2. Xét sự sống sót đạo hàm và những đạo hàm một bên của hàm sốnếu x > 02 x nếu Y < 0 tại điểm x = 0. Giải. Vì 4 lim f ( v ) - f ( 0 ) lim - Vix " - 0. lim マー = 一 。 0 ' x-0 - 0 ' X-0 v-O " Vx nên hàm số không có đạo hàm bên phải tại x = 0. Vi - - 1 im Jo Jo = 1 im * = 2 A-0 A-0 r – 0 nên hàm số có đạo hàm bên trái tại x = 0 và f ' ( 0 ) = 2. Từ định lí suy ra rằng hàm số đã cho không có đạo hàm tại x = 0 = ĐINH NGHIA 2 Hàm số y = f ( x ) được gọi là có đạo hàm trên đoạn [ a ; b ] nếu thoả mãn Các điều kiện kèm theo sau : Có đạo hàm tại mọi x = ( a ; b ) : Có đạo hàm bên phải tại x = a. Có đạo hàm bên trái tại x = b. 155B ài tập1. Tìm số gia của hàm số f ( \ ) = x, biết rằng : a ) Αo = 1 : Αν = 1 : b ) Χρ = 1 ; ΔΑ = - 0, 1. 2. Tính ^ y và của những hàm số sau theo x và A \, : a ) y = 2 x - 5 : b ) y = x - 1 : c ) y = 2 a : d ) y = 3. Tính ( bằng định nghĩa ) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại những điểm đã chỉ ra : a ) y = x + x tại V0 = 1 : b ) y = tại \ 0 = 2 ; A. с ) --- tại \ 0 = 0. x - 1 4. Chứng minh rằng hàm số 2 ( \ - 1 ) * nếu x > 0 f ( x ) =, 一X nếu \ < 0 không có đạo hàm tại điểm x = 0, nhưng có đạo hàm tại điểm x = 2. 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong y = aa ) Tại điểm ( - 1, - 1 ) ; b ) Tại điểm có hoành độ bằng 2 ; c ). Biết thông số góc của tiếp tuyến bằng 3. 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol_y = 1. a ) Tại điểm b ) Tại điểm có hoành độ bằng - 1 ; c ). Biết rằng thông số góc của tiếp tuyến bằng - 156M ột vật rơi tự do theo phương trình s = ( 50% ) gt ^ 2, trong đó g sắp sỉ 9,8 m / s là tần suất trọng trường. a ) Tìm tốc độ trung bình của hoạt động trong khoảng chừng thời hạn b ) Tìm tốc độ tức thời của hoạt động tại thời gian t = 5 s .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật