GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ PDF

Chỉ xem 5 trang đầu, hãy download Miễn Phí về để xem toàn bộ

2 2 2
u u u
2 2
u
u
u
(
= + = +

u
1

1

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Chương 7
GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG
BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ
Các hiện tượng vật lý trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phải
mô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Mỗi loại phương trình đạo hàm
iêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm, phù hợp
với hiện tượng vật lý quan sát.
7.1
PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC 2 TUYẾN TÍNH
Từ dạng tổng quát:
A xu + B x y +C yu + D x + E y + Fu = g(x,y)
(7.1)
Phân loại với chú ý các đạo hàm bậc cao, khi đó (1)
được viết lại:
2 2 2
A x2 + B x y +C y2 = f ux ,uy ,u,x,y
)
(7.2)
Đơn giản (7.2) bằng cách đổi biến số:
= (x, y) ,
= (x, y)
Đặt:
= x + y
,
= x + y
Hay:
u u u u u
x x x x x y
Tương tự cho các đạo hàm khác ta được:
(A 2 +C 2 + B ) u +[2A +2C + B( + )] 2u +(A 2 +C 2 + B ) u
= f
(7.3)
Một cách đơn giản để tìm lời giải của phương trình này, là chọn , sao cho số hạng
thứ nhất và thứ ba trong phương trình
(7.3) triệt tiêu:
A 2 + B +C 2 = 0
A 2 + B +C 2 = 0
Ta được dạng đơn giản:
2
[2A + 2C + B( + )]
Giả sử: 0, 0 ta có:
A( / )2 + B( / ) + C = 0,
A( / )2
+ B( / )
+ C = 0
= 2A ( B+ B2 4AC)
= 2A ( B B2 4AC)
KẾT LUẬN: B2 – 4AC > 0 : Phương trình Hypo
ol
B2 – 4AC ương trình Ellip
B2 – 4AC = 0 : Phương trình Parabol
Chú ý:
Không phân biệt biến t, x, y, z
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 38
u

Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
7.2 Các bài toán biên thường gặp
Trong lĩnh vực kỹ thuật, người ta thường hay gặp các bài toán biên sau:
a. Bài toán Dirichlet

Tìm hàm u thoả mãn phương trình:
a(u,v) = (f,v) trong miền ( )
và trên biên của ( ) cho trước giá trị của u
( )
u = f(v)
Nếu trên biên cho u = 0 thì ta có điều kiện
iên Dirichlet thuần nhất. Điều kiện biên Dirichlet
được
gọi
là
điều
kiện
iên
cốt
yếu
(essential
oundary conditions).
. Bài toán Neumann

Tìm hàm
u
thoả mãn phương trình:
a(u,v) = (f,v) trong ( )
và
điều kiện biên:
n = f(v)
Nếu f(v) = 0 ta có bài toán Neumann thuần nhất. Để cho bài toán Neumann có
nghiệm duy nhất ta phải đặt thêm điều kiện
g(1)
nào đó. Điều kiện biên Neumann
còn gọi là điều kiện biên tự nhiên (natural boundary conditions).
c. Bài toán hổn hợp
o
Với bài toán hổn hợp (mixed boundary conditions) là bài toán

mà biên của nó gồm hai phần o và 1. Ví dụ tìm hàm u thoả
mãn phương trình:
1
Với điều kiện biên:
a(u,v) = (f,v) trong ( )
u
n
1
= f1(v);
u o = fo(v)
Trong thực tế kỹ thuật, người ta thường hay gặp điều kiện biên hỗn hợp nầy.
7.3 Tư tưởng cơ bản của các phương pháp gần đúng
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 39

=
=

=
=

u
1 u
u
v
2
c
= 0
Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện
Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật
Trên thực tế việc tìm nghiệm chính xác của các bài toán biên nói trên là vô cùng
khó khăn; toán học hiện nay chỉ cho phép giải các bài toán đó trong một số trường hợp
thật đơn giản, còn phần lớn là phải giải theo các phương pháp gần đúng khác nhau.
Tư
tưởng
của
các
phương
pháp
gần
đúng
(approximation
methods)
là
xấp
xỉ
không gian vô hạn chiều của nghiệm bằng một không gian con hữu hạn chiều.
u(x) =
a0
2
+ (an cos nx
n =1
+ bn sin nx)
u(x) = an. n (x)
n = 0
Nghiệm chính xác của bài toán có thể biểu diễn bằng các dạng sau:
u(x)
=
a0 + a1x +a2x2+a3x3+.. ..+anxn+.. ..
(7.4)
Rõ ràng nghiệm chính xác u(x) có thể xem như là một hàm của vô hạn các hệ số:
a0, a1, a2, .. ..,an,.. ..
Trong khi đó giải theo các phương pháp gần đúng ta chỉ có thể tìm được nghiệm uh của
nó như là hàm của một dãy hữu hạn các hệ số
a0, a1, a2, .. ..,an.
nào đó mà thôi.
Trong chương nầy ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp số mạnh, thường xử dụng để
giải các bài toán cơ học:
+ Phương pháp đặc trưng (characteristic method)
+ Phương pháp sai phân (fimite difference method)
+ Phương pháp phần tử hữu hạn (fimite element method)
+ Phương pháp thể tích hữu hạn (fimite volume method)
+ Phương pháp phần tử biên (Boundary element method)
7.4
Phương pháp đặc trưng
Nội dung của phương pháp đặc trưng là biến đổi phương trình vi phân đạo hàm riêng
về hệ phương trình vi phân thường, và tìm lời giải bài toán ở hệ phương trình vi phân
thường nầy, từ đó ta dễ dàng thấy được bản chất vật lý của hiện tượng nghiên cứu.
Ví dụ:
Xét phương trình truyền sóng:
2u 1 2u
x2 c2 t2
(7.5)
Ta đặt hàm
v(x,t) sao cho:
v u 2v 2u
x t x t t2
(7.6)
vì
v u
t x t t
2 2
Từ (7.5) ta có: c2 t2 x2 = 0
Và đặt: 1 t x = f(t)

1 2v 2u
c2 t x x2
Đi đến hệ thống:
Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp Tính
Trang 40

2 2 2u u u2 2= + = +Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy ĐiệnBộ môn Cơ Sở Kỹ ThuậtChương 7GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNGBẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐCác hiện tượng vật lý trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phảimô tả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Mỗi loại phương trình đạo hàmiêng thường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm, phù hợpvới hiện tượng vật lý quan sát.7.1PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC 2 TUYẾN TÍNHTừ dạng tổng quát:A xu + B x y +C yu + D x + E y + Fu = g(x,y)(7.1)Phân loại với chú ý các đạo hàm bậc cao, khi đó (1)được viết lại:2 2 2A x2 + B x y +C y2 = f ux ,uy ,u,x,y(7.2)Đơn giản (7.2) bằng cách đổi biến số:= (x, y) ,= (x, y)Đặt:= x + y= x + yHay:u u u u ux x x x x yTương tự cho các đạo hàm khác ta được:(A 2 +C 2 + B ) u +[2A +2C + B( + )] 2u +(A 2 +C 2 + B ) u= f(7.3)Một cách đơn giản để tìm lời giải của phương trình này, là chọn, sao cho số hạngthứ nhất và thứ ba trong phương trình(7.3) triệt tiêu:A 2 + B +C 2 = 0A 2 + B +C 2 = 0Ta được dạng đơn giản:[2A + 2C + B( + )]Giả sử: 0, 0 ta có:A( / )2 + B( / ) + C = 0,A( / )2+ B( / )+ C = 0= 2A ( B+ B2 4AC)= 2A ( B B2 4AC)KẾT LUẬN: B2 – 4AC > 0 : Phương trình HypoolB2 – 4AC ương trình EllipB2 – 4AC = 0 : Phương trình ParabolChú ý:Không phân biệt biến t, x, y, zBài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp TínhTrang 38Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy ĐiệnBộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật7.2 Các bài toán biên thường gặpTrong lĩnh vực kỹ thuật, người ta thường hay gặp các bài toán biên sau:a. Bài toán DirichletTìm hàm u thoả mãn phương trình:a(u,v) = (f,v) trong miền ( )và trên biên của ( ) cho trước giá trị của u( )u = f(v)Nếu trên biên cho u = 0 thì ta có điều kiệniên Dirichlet thuần nhất. Điều kiện biên Dirichletđượcgọilàđiềukiệniêncốtyếu(essentialoundary conditions).. Bài toán NeumannTìm hàmthoả mãn phương trình:a(u,v) = (f,v) trong ( )vàđiều kiện biên:n = f(v)Nếu f(v) = 0 ta có bài toán Neumann thuần nhất. Để cho bài toán Neumann cónghiệm duy nhất ta phải đặt thêm điều kiệng(1)nào đó. Điều kiện biên Neumanncòn gọi là điều kiện biên tự nhiên (natural boundary conditions).c. Bài toán hổn hợpVới bài toán hổn hợp (mixed boundary conditions) là bài toánmà biên của nó gồm hai phần o và 1. Ví dụ tìm hàm u thoảmãn phương trình:Với điều kiện biên:a(u,v) = (f,v) trong ( )= f1(v);u o = fo(v)Trong thực tế kỹ thuật, người ta thường hay gặp điều kiện biên hỗn hợp nầy.7.3 Tư tưởng cơ bản của các phương pháp gần đúngBài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp TínhTrang 391 u= 0Khoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy ĐiệnBộ môn Cơ Sở Kỹ ThuậtTrên thực tế việc tìm nghiệm chính xác của các bài toán biên nói trên là vô cùngkhó khăn; toán học hiện nay chỉ cho phép giải các bài toán đó trong một số trường hợpthật đơn giản, còn phần lớn là phải giải theo các phương pháp gần đúng khác nhau.Tưtưởngcủacácphươngphápgầnđúng(approximationmethods)làxấpxỉkhông gian vô hạn chiều của nghiệm bằng một không gian con hữu hạn chiều.u(x) =a0+ (an cos nxn =1+ bn sin nx)u(x) = an. n (x)n = 0Nghiệm chính xác của bài toán có thể biểu diễn bằng các dạng sau:u(x)a0 + a1x +a2x2+a3x3+.. ..+anxn+.. ..(7.4)Rõ ràng nghiệm chính xác u(x) có thể xem như là một hàm của vô hạn các hệ số:a0, a1, a2, .. ..,an,.. ..Trong khi đó giải theo các phương pháp gần đúng ta chỉ có thể tìm được nghiệm uh củanó như là hàm của một dãy hữu hạn các hệ sốa0, a1, a2, .. ..,an.nào đó mà thôi.Trong chương nầy ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp số mạnh, thường xử dụng đểgiải các bài toán cơ học:+ Phương pháp đặc trưng (characteristic method)+ Phương pháp sai phân (fimite difference method)+ Phương pháp phần tử hữu hạn (fimite element method)+ Phương pháp thể tích hữu hạn (fimite volume method)+ Phương pháp phần tử biên (Boundary element method)7.4Phương pháp đặc trưngNội dung của phương pháp đặc trưng là biến đổi phương trình vi phân đạo hàm riêngvề hệ phương trình vi phân thường, và tìm lời giải bài toán ở hệ phương trình vi phânthường nầy, từ đó ta dễ dàng thấy được bản chất vật lý của hiện tượng nghiên cứu.Ví dụ:Xét phương trình truyền sóng:2u 1 2ux2 c2 t2(7.5)Ta đặt hàmv(x,t) sao cho:v u 2v 2ux t x t t2(7.6)vìv ut x t t2 2Từ (7.5) ta có: c2 t2 x2 = 0Và đặt: 1 t x = f(t)1 2v 2uc2 t x x2Đi đến hệ thống:Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp TínhTrang 40

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp