Chương VIII. PHƯƠNG Trình SAI PHÂN – Toán cao cấp – MATH12 – StuDocu

# # # # # # # Chƣơng VIII. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN

A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT

8. KHÁI NIỆM SAI PHÂN VÀ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN.
8.1. Khái niệm sai phân.
a/ Cho hàm số y = f ( n ) với n  N hay n  N*. Kí hiệu : yn = f ( n ).
Hiệu số yn+1  yn = f ( n+1 )  f ( n ) được gọi là sai phân cấp 1 (gọi tắt là sai phân)

####### của hàm số yn. Kí hiệu:  yn = yn+1  yn.

# # # # # # # b / Nếu  yn là sai phân của hàm số yn thì sai phân của sai phân  yn được gọi là sai# # # # # # # phân cấp 2 của hàm số yn. Kí hiệu :  2 yn =  (  yn ) =  yn + 1   yn .Tương tự : Sai phân cấp k của hàm số yn là sai phân của sai phân cấp k  1 của yn ( k  3, k  N ). Kí hiệu sai phân cấp k của hàm số yn là :# # # # # # #  kyn =  (  k  1 yn ) =  k  1 yn + 1   k  1 yn .# # # # # # # c / Định lí : Cho hàm số yn ( n  N hay n  N * ) có sai phân cấp k là  kyn. Khi đó tacó : 0# # # # # # # ( 1 )k k i n i k n k i i# # # # # # # y Cy  

 (1)

8.1. Phƣơng trình sai phân.

a/ Phương trình sai phân là phương trình có chứa biến số n, n  N ( hay n  N *), hàm số
yn chưa biết và các sai phân các cấp của yn. Tức là phương trình có dạng:

# # # # # # # F ( n, yn,  yn,  2 yn, …,  kyn ) = 0 .Cấp cao nhất của sai phân của hàm yn ( chưa biết phải tìm ) xuất hiện trong phương trình gọi là cấp của phương trình sai phân .

Theo công thức (1) ta có thể viết các phương trình sai phân cấp k dưới dạng
F ( n, yn, yn+ 1, …, yn+k ) = 0 (2)
b/ Nghiệm của phương trình sai phân: Cho phương trình sai phân cấp k

# # # # # # # F ( n, yn,  yn,  2 yn, …,  kyn ) = 0hay F ( n, yn, yn + 1, yn + 2, …, yn + k ) = 0 ( 2 )

• Nghiệm của phương trình sai phân (2) là hàm số yn thỏa mãn phương trình (2)
  (Tức là khi ta thay yn, yn+ 1, yn+2, …, yn+k vào phương trình (2) ta được đồng nhất
  thức).
• Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân (2) là hàm số có dạng
  yn = f ( n, C 1, C 2, …., Ck )
  với C 1, C 2, …, Ck là các hằng số tùy ý thỏa mãn phương trình sai phân (2).

c/ Nghiệm riêng của phương trình sai phân (2) là hàm số suy ra từ nghiệm tổng quát
bằng cách cho các mỗi kí tự C 1, C 2, …, Ck một số xác định cụ thể nào đó.
Do sự hạn chế của chương trình nên trong phần còn lại của chương này ta chỉ
xét các loại phương trình sai phân cấp 1 và cấp 2.
8. PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP 1.
8.2. Phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng.
a/ Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng là phương trình sai
phân cấp 1 có dạng: yn+1 + pyn = q (3)
với p, q là các hằng số không đổi, n  N ( N *).

• Nếu q = 0 thì (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.
• Nếu q ≠ 0 thì (3) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần
  nhất.
• b/* Định lí: Nếu yn là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất
  yn+1 + pyn = 0

và y * n là nghiệm riêng của phương trình sai phân không thuần nhất yn+1 + pyn = q.

# # # # # # # thì yn = yn + y * n là nghiệm tổng quát của phương trình sai phân yn + 1 + pyn = q .

c/ Cách giải phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 với hệ số hằng.
+ Đối với phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất.

# # # # # # # yn + 1 + pyn = 0 hay yn + 1 =  pyn

Đặt y o = C, C là hằng số tùy ý.
Khi đó ta có : y 1 =  pC, y 2 =  py 1 = (– p ) 2 C, y 3 =  py 2 = (– p ) 3 C,
………………………..
yn =  pyn  1 = ( p ) n
Từ đó suy ra nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 thuần
nhất yn+1 + pyn = 0 là yn = C (  p )n với C là hằng số tùy ý.
+ Đối với phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất.
yn+1 + pyn = q.
Theo trên ta có nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất có dạng yn = C ( p ) n, C : hằng số tuỳ ý, nên nghiệm tổng quát của phương
trình sai phân tuyến tính không thuần nhất có dạng:

yn = C ( p ) n + y * n, với y * n là nghiệm riêng của phương trình sai phân tuyến tính

không thuần nhất yn + 1 + pyn = q .# # # # # # # + Phương pháp tìm nghiệm riêng y * n của phương trình sai phân tuyến tính cấp 1

không thuần nhất với hệ số hằng.
 ) Phƣơng pháp hệ số bất định :

# # # # # # # i / Nếu q ( n ) là đa thức bậc k của n và  p = 1 thì nghiệm riêng y * n có dạng :# # # # # # # yn * = n ( aknk + ak  1 nk  1 + … + a 1 n + a o )với ak, ak  1, …, a 1, a o là những thông số thực chưa biết .# # # # # # # ii / Nếu q ( n ) là đa thức bậc k của n và  p  1 thì nghiệm riêng y * n có dạng# # # # # # # y * n = aknk + ak  1 nk  1 + … + a 1 n + a ovới ak, ak  1, …, a 1, a o là những thông số thực chưa biết .# # # # # # # iii / Nếu q ( n ) = Pk ( n ).  n và  =  p thì nghiệm riêng y * n có dạng :# # # # # # # y * n = n ( aknk + ak  1 nk  1 + … + a 1 k + a o )  nvới ak, ak  1, …, a 1, a o là những thông số thực chưa biết .# # # # # # # iv / Nếu q ( n ) = Pk ( n ).  n và    p ( với Pk ( n ) là đa thức bậc k đã biết ) thì nghiệm# # # # # # # riêng yn * có dạng : y * n = ( aknk + ak  1 n k-1 + … + a 1 n + a o ).  nvới ak, ak  1, …, a 1, a o là những thông số thực chưa biết .# # # # # # # Để tìm ak, ak  1, …, a 1, a o trong những trường trên, ta tìm y * n  1 rồi thay yn *  1, y * nvào phương trình không thuần nhất, giống hệt hai vế ta được hệ phương trình# # # # # # # so với ak, ak  1, …, a 1, a o, giải hệ suy ra ak, ak  1, …, a 1, a o suy ra y * n .# # # # # # # v / Nếu q ( n ) = a sinn  + b cosn , với a, b  R, a 2 + b 2  0 và   k , k  Z# # # # # # # thì nghiệm riêng y * n có dạng y * n = A sin n  + B cos n  với A, B chưa biết, để# # # # # # # tìm A, B ta tìm yn *  1 rồi thay y * n  1, y * n vào phương trình không thuần nhất ,

đồng nhất hai vế tìm hệ phương trình đối với A, B.
 ) Phƣơng pháp biến thiên hằng số.
Cho phương trình sai phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất:
yn+1 + pyn = q(n) (4) với p là hằng số,
Theo trên ta có nghiệm tổng quát của phương trình sai phân thuần nhất tương

# # # # # # # ứng là yn = C (  p ) n với C là hằng số tùy ý .# # # # # # # Để tìm nghiệm riêng y * n của phương trình ( 4 ) ta xét y * n dưới dạng : y * n = un (  p ) nvới un là 1 hàm của n chưa biết ( xem hằng số C ở nghiệm tổng quát của phương# # # # # # # trình thuần nhất là 1 hàm số của n ). Tìm y * n  1, thay yn *  1, yn * vào ( 4 ) rồi giải tìm# # # # # # # được un suy ra nghiệm riêng y * n của ( 4 )

 nghiệm tổng quát của (4) là yn = yn + yn * = C ( p ) n + y * n với C là hằng số tùy ý.

# # # # # # # Định lí : Nếu y * nk là nghiệm riêng của phương trình :yn + 1 + p = qk ( n ), k = 1, m ( m  2 )# # # # # # # thì yn * = yn * 1 + y * n 2 + … + y * nm là nghiệm riêng của phương trình :yn + 1 + p = q 1 ( n ) + q 2 ( n ) + … + q k ( n ) .

• Dựa vào định lí trên để tìm nghiệm riêng của phương trình : yn + 1 + pyn = q 1 ( n ) + q 2 ( n ) + … + q k ( n ). ta tìm nghiệm riêng của từng phương trình yn + 1 + pyn = qk ( n ), k = 1, m. rồi lấy tổng những nghiệm riêng của những phương trình đó .

• Trƣờng hợp p(n) là hàm của n.
  + Giải phương trình thuần nhất tương ứng yn + 1 + p ( n ) yn = 0 (a)

# # # # # # # Ta có ( a )  yn + 1 =  p ( n ) ynCho n l ần lượt từ 0 đến n ( hay từ 1 đến n ) ta có y 1 =  p ( 0 ) y o, y 2 =  p ( 1 ) y 1, y 3 =  p ( 2 ) y 2 …………………………………., yn =  p ( n – 1 ) y n  1 Nhân những đẳng thức trên vế theo vế ta được : y 1. y 2 … y n = (  1 ) n p ( 1 ). p ( 2 ) …. p ( n – 1 ). y o. y 1 … y n  1  yn = (  1 ) n p ( 1 ). p ( 2 ) …. p ( n – 1 ). y o. Đặt y o = C là hằng số tùy ý ta có nghiệm tổng quát của phương ( a ) là :

yn = (1) n C. p ( 1 ). p ( 2 )…. p ( n – 1) hay yn

# # # # # # # + Tìm nghiệm riêng y * n của phương trình không thuần nhất .Sử dụng chiêu thức biến thiên hằng số như cách giải phương trình sai phân tuyến tính với p là hằng số .

8.2. Ứng dụng phƣơng trình sai phân cấp 1 trong kinh tế.
a/ Mô hình thị trƣờng có hàng hóa tồn đọng.
Sau đây là mô hình thị trường với giả thiết những người bán còn hàng tồn đọng.
Các giả thiết của mô hình:
Cả lượng cung Qs và lượng cầu Qd đều không bị trễ và đều là hàm tuyến tính của
giá cả ở mỗi thời kỳ và giá là hàm theo theo thời kì t, t  N :
Qdt = a – bPt, a > 0, b > 0 và Qst = –c + dPt, c > 0, d > 0.
Giá cả được điều chỉnh không theo nguyên tắc cân bằng thị trường ở mỗi thời kì.
Việc đặt giá của người bán ở đầu mỗi thời kì căn cứ vào giá của thời kỳ trước và
lượng hàng tồn kho của thời kỳ trước. Nếu theo mức giá của thời kì trước mà hàng

b/ Định lí :
Nếu yn là nghiệm tổng quát của phương trình: yn+ 2 + pyn+ 1 + qyn = 0 (6)

# # # # # # # và y * n là nghiệm riêng của phương trình yn + 2 + pyn + 1 + qyn = r ( n ) ( 7 )# # # # # # # thì nghiệm tổng quát của phương trình sai phân ( 7 ) là : yn = yn + yn *

c/ Cách giải phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng.
i) Đối với phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất:
yn+ 2 + pyn+ 1 + qyn = 0 (6) với p, q là các hằng thực không đổi.
Ta xét nghiệm của phương trình (6) dưới dạng yn = xn, x  R \ {0}.
 yn + 1 = xn + 1, yn + 2 = xn + 2.
Thay yn + 2, yn + 1, yn vào (7) ta được
xn +2 + pxn +1 + qxn = 0  xn ( x 2 + px + q ) = 0 vì x  0  xn  0.
 x 2 + px + q = 0 ()
Phương trình () gọi là phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất (6).

Ta có các trƣờng hợp xảy ra sau:
+ Trường hợp phương trình đặc trưng () có 2 nghiệm phân biệt x 1, x 2, khi đó ta
có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (7) là;
yn = C 1 ( x 1 ) n + C 2 ( x 2 ) n với C 1, C 2 là hai hằng số tùy ý.
+ Trường hợp phương trình đặc trưng () có nghiệm kép x 1 = x 2 = 
2

p, khi đó tacó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( 6 ) là : yn = ( C 1 + C 2 n ) (  2p ) n với C 1, C 2 là hai hằng số tùy ý .

+ Trường hợp phương trình đặc trưng (*) có 2 nghiệm phức
1
2

( cos sin ) ( cos sin )x i r i x i r i# # # # # # #    # # # # # # #              , với  > 0, i là đơn vị chức năng phức, i 2 =  1 ,r     22, cos   2 2, sin 2 2         # # # # # # #, 0 <  <  ,khi đó ta có nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất ( 6 ) là :# # # # # # # yn = rn ( C 1 cos n  + C 2 sin n  ) với C 1, C 2 là hai hằng số thực tùy ý .

ii) Đối với phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất.
Theo trên ta đã tìm được nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến
tính cấp 2 thuần nhất (6), đặt nghiệm đó là yn, nên theo định lí về nghiệm của

# # # # # # # phương sai phân tuyến tính cấp 2 ta chỉ cần tìm thêm một nghiệm riêng y * n nào đócủa phương trình không thuần nhất ( 7 ), ta có nghiệm tổng của phương trình ( 7 ) là# # # # # # # yn = yn + y * n .

Cách tìm nghiệm riêng yn * của phƣơng trình sai phân (7):

* Phƣơng pháp hệ số bất định:
Xét các trường hợp đặc biệt sau :

# # # # # # # i ) Trường hợp r ( n ) = Pk ( n ).  n,   0,  hoàn toàn có thể = 1 .# # # # # # # + Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm   thì nghiệm riêng y * n có dạng*# # # # # # # yn = ( akn# # # # # # # k + ak  1 nk  1 + … + a 1 n + a o )  n .# # # # # # # + Nếu phương trình đặc trưng có một nghiệm đơn =  thì nghiệm riêng yn * có# # # # # # # dạng : yn * = n ( aknk + ak  1 nk  1 + … + a 1 n + a o )  n .# # # # # # # Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm kép =  thì nghiệm y * n có dạng :# # # # # # # y * n = n 2 ( aknk + ak  1 nk  1 + … + a 1 n + a o )  n .với ak, ak  1, …, a 1, a o là những hằng số thực chưa biết. Để tìm ak, ak  1, … ,

a 1, a ta tìm yn * 1, y * n  2 rồi thay vào (7), đồng nhất hai vế tìm được một hệ

phương trình đối với ak, ak  1, …, a 1, a o.
ii) Trường hợp r(n ) = r 1 ( n ) + r 2 ( n ) + … + rm ( n ).

# # # # # # # Để tìm nghiệm riêng yn *, ta tìm nghiệm riêng y * nk của từng phương trìnhyn + 2 + pyn + 1 + qyn = rk ( n ), k =# # # # # # # rồi sử dụng công thức yn *     y * n 12 y * n … ynm * .

• Phƣơng pháp biến thiên hằng số :
  Giả sử ta tìm được nghiệm tổng quát của phương trình yn + 2 + pyn + 1 + qyn = 0

là yn = C 1 f 1 ( n ) + C 2 f 2 ( n ) với C 1, C 2 là hai hằng số tùy ý.

m ,

Ví dụ 3: Giải phương trình sai phân:

yn +2 – yn +1 + yn = 0, n  N (3)

Giải

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất ( 3 ) có phương trình đặc trưng làx 2 – x + 1 = 0  1213 cos sin 2 3 3 13 cos sin 2 3 3xiixii# # # # # # #  # # # # # # #               # # # # # # # ( với r = 1,  = π / 3 ) . Phương trình sai phân thuần nhất ( 3 ) đã cho có nghiệm tổng quát là# # # # # # # 12 cos sin

####### n 33

y  C nn  C với n  N và C

1, C 2 là những hằng số thực tùy ý .

Ví dụ 4: Giải phương trình sai phân:
yn +2 + 8 yn +1 – 9 yn = (11 n + 35)2 n, n  N (4)

Giải

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng của ( 4 ) là :yn + 2 + 8 yn + 1 – 9 yn = 0

Phương trình này có phương trình đặc trưng là x 2 + 8 x – 9 = 0  xx 11   9, 1

 Phương trình thuần nhất tương ứng của ( 4 ) có nghiệm tổng quát :

yn = C 1 ( – 9) n + C 2 với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

Ta có VP ( 4 ) = ( 11 n + 35 ) 2 n có dạng r ( n ) = Pk ( n ). αn với Pk ( n ) = 11 n + 35 là đa thức bậc k = 1 và αn = 2 n với α = 2 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên phương trình ( 4 ) có nghiệm riêng có dạng :

y * n = ( an + b )2 n

 y * n  1 = [ a ( n + 1) + b ].2 n + 1 = (2 an + 2 a + 2 b )2 n ;

yn * 2 = [ a ( n +2) + b ].2 n + 2 = (4 an + 8 a + 4 b )2 n.

Thay yn * 2, y * n  1, yn * vào phương trình (4) ta được :

( 4 an + 8 a + 4 b

• 16 an + 16 a + 16 _b
• _ 9 an – 9 b )2 n = (11 n + 35)2 n  11 an + 24 a +11 b = 11 n + 35

nhất hai vế của phương trình này theo n, ta được :# # # # # # # 11 11# # # # # # # 24 11 35# # # # # # # a# # # # # # # ab# # # # # # #  # # # # # # #   # # # # # # #  1 1a b     *

yn = ( n + 1)

n .Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 4 ) đã cho :

yn = yn + y * n = C 1 (– 9) n + C 2 + ( n + 1)2 n

với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

Ví dụ 5: Giải phương trình sai phân:
yn +2  9 yn +1 + 14 yn = (4 n + 5)3 n, n  N (5)

Giải

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng của ( 5 ) là :yn + 2  9 yn + 1 + 14 yn = 0 Phương trình này có phương trình đặc trưng là x 2  9 x + 14 = 0  xx 12   2, 7 Phương trình thuần nhất tương ứng của ( 5 ) có nghiệm tổng quát là

yn = C 12 n + C 27 n với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

Ta có VP ( 5 ) = ( 4 n + 5 ) 3 n có dạng r ( n ) = Pk ( n ). αn với Pk ( n ) = 4 n + 5 là đa thức bậc k = 1 và αn = 3 n với α = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên

phương trình (5) có nghiệm riêng có dạng: yn * = ( an + b )3 n

# # # # # # #  y * n  1 = [ a ( n + 1 ) + b ]. 3 n + 1 = ( 3 an + 3 a + 3 b ) 3 n ;yn *  2 = [ a ( n + 2 ) + b ]. 3 n + 2 = ( 9 an + 18 a + 9 b ) 3 n .

Thay yn * 2, yn * 1, yn * vào phương trình (5) ta được :

( 9 an + 18 a + 9 b

• 27 an – 27 a – 27 _b
• _ 14 an + 14 b ) 3 n = (4 n + 5)3 n  – 4 an – 9 a – 4 b = 4 n + 5.
  Đồng nhất hai vế của phương trình này theo n, ta được :
  44
  9 4 5

a ab        1 1a b     

 yn * = (– n + 1)3 n.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 5 ) đã cho :

yn = yn + yn * = C 12 n + C 27 n + (– n + 1)3 n

với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

Ví dụ 7: Giải phương trình sai phân:
yn +2 – 5 yn +1 + 6 yn = (2 n + 14)2 n, n  N (7)

Giải

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng của ( 7 ) :yn + 2 – 5 yn + 1 + 6 yn = 0 Phương trình này có phương trình đặc trưng : x 2  5 x + 6 = 0  xx 12   2, 3  Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng của ( 7 ) :# # # # # # # yn = C 1 2 n + C 23 n với n  N và C 1, C 2 là những hằng số thực tùy ý .# # # # # # # Ta có VP ( 7 ) = ( 2 n + 14 ) 2 n có dạng Pk ( n ).  n với Pk ( n ) = 2 n + 14 là đa thức bậc k = 1và α = 2 = t 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương

trình (6) có dạng y * n = n ( an + b )2 n = ( an 2 + bn ) 2 n

 y * n  1 = [ a ( n + 1) 2 + b ( n + 1)]2 n + 1 = [2 an 2 + (4 a + 2 b ) n + 2 a + 2 b ]2 n

và y * n  2 = [ a ( n + 2) 2 + b ( n + 2)]2 n+ 2 = [4 an 2 + (16 a +4 b ) n + 16 a + 8 b ]2 n.

Thay y * n  2, y * n  1, yn * vào phương trình ( 7 ) ta được : [ 4 an 2 + ( 16 a + 4 b ) n + 16 a + 8 b – 10 an 2 + ( – 20 a – 10 b ) n – 10 a – 10 b

• 6 an 2 + 6 bn ] 2 n = (2 n + 14)2 n.
   – 4 an + 6 a – 2 b = 2 n + 14.
  Đồng nhất hai vế của phương trình này theo n, ta được :
  42
  6 2 14

a ab      1 2 17 2a b         * 2 ( 117 ) 2 22 y    n n n .Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 7 ) đã cho là :

yn = yn + y * n = C 12 n + C 23 n + ( 1217 ) 2

22
 nnn
với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

Ví dụ 8: Giải phương trình : yn +2 + 6 yn +1 + 9 yn = ( n 2 + 1)3 n, n  N (8)

Giải

Phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất tương ứng của ( 8 ) :yn + 2 + 6 yn + 1 + 9 yn = 0# # # # # # # Phương trình này có phương trình đặc trưng : x 2 + 6 x + 9 = 0  xx 12    3 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng của ( 8 ) :

yn = ( C 1 + C 2 n )(–3) n với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

# # # # # # # Ta có VP ( 8 ) = ( n 2 + 1 ) 3 n có dạng Pk ( n ).  n với Pk ( n ) = n 2 + 1 là đa thức bậc k = 2 vàα = 3 không phải là nghiệm của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng của phương

trình (8) có dạng y * n = ( an 2 + bn + c ) 3 n

 y * n  1 = [ a ( n +1) 2 + b ( n + 1)+ c ]3 n + 1 = [3 an 2 + (6 a + 3 b ) n + 3 a + 3 b+ 3 c ]3 n

y * n  2 = [ a ( n +2) 2 + b ( n +2) + c]3 n+ 2 = [9 an 2 + (36 a +9 b ) n +36 a +18 b+ 9 c ]3 n.

Thay y * n  2, yn * 1, y * n vào phương trình (8) ta được:

[ 9 an 2 + ( 36 a + 9 b ) n + 36 a + 18 b + 9 c + 18 an 2 + ( 36 a + 18 b ) n + 18 a + 18 b + 18 c

• 9 an 2 + 9 bn + 9 c ]3 n = ( n 2 + 1)3 n.
   36 an 2 + (72 a + 36 b ) n + 54 a + 36 b + 36 c = n 2 + 1.
  Đồng nhất hai vế của phương trình này theo n, ta được :
  1
  36 1 36
  72 36 0 1
  18
  54363611
  24

a a a b b a b c c                       * 2 ( 111 ) 36 18 24 y  n   n n .Vậy nghiệm tổng quát của phương trình ( 8 ) đã cho là :

yn = yn + yn * = ( C 1 + C 2 n )(–3) n + ( 1211 )

36 18 24
nn  n
với n  N và C 1, C 2 là các hằng số thực tùy ý.

8.3 Ứng dụng phƣơng trình sai cấp 2 trong kinh tế.
Mô hình hệ số gia tốc của SAMUELSON
Xét mô hình kinh tế vĩ mô: Y = Ct + It + Gt (a) với các giả thiết sau:

• Tiêu dùng của thời kỳ t phụ thuộc vào thu nhập của thời kỳ trước đó. Để đơn giản

# # # # # # # ta giả sử Ct tỷ suất với Yt + 1 : Ct =  Yt – 1 ( b ), trong đó  là khuynh hướng tiêu dùng cận# # # # # # # biên ( 0 <  < 1 ) .

• Đầu tư ở thời kỳ t là hàm số của lượng tăng tiêu dùng. Để đơn giản ta giả sử It

# # # # # # # tỷ suất với Ct – Ct – 1 theo phương trình It =  ( Ct – Ct – 1 ) ( c ), trong đó  là hệ số gia# # # # # # # tốc (  > 0 ) .

• Chi tiêu chính phủ không đổi (xem như yếu tố ngoại sinh): G = G 0

# # # # # # # Từ ( b ) và ( c ) ta suy ra : It =   ( yt – 1 – yt – 2 ) ( d )Thay Ct ở ( b ) và It ở ( d ) và G = G 0 vào ( a ), ta được phương trình# # # # # # # Yt =  ( 1 +  ) Yt – 1 –   Yt – 2 + G 0# # # # # # #  Yt + 2 –  ( 1 +  ) Yt + 1 +   Yt = G 0 .Như vậy, quy mô thông số tần suất của Samuelson được màn biểu diễn dưới dạng phương trình sai phân ôtônôm tuyến tính cấp 2 không thuần nhất .

B. BÀI TẬP

VIII. Giải các phương trình sai phân sau :

# # # # # # # 1 ) yn + 1  yn = n  2, n  N. 2 ) yn + 1  yn = n 2 + n, n  N .

3) yn + 1  3 yn = 2 n + 1, n  N. 4) yn + 1  2 yn = n 2  2, n  N.
5) yn + 1  yn = n .2 n, n  N. 6) yn + 1  4 yn = 4 n, n  N.
7) yn + 1 + 2 yn = ( n 2 + 1)3 n, n  N. 8) yn + 1  3 yn = n 3 n, n  N.

VIII. Giải các phương trình sai phân sau :

1) yn + 1  yn =  sin n, n  N. 2) yn + 1  yn = cos n, n  N.

# # # # # # # 3 ) yn + 1  yn = sin n, n  N. 4 ) yn + 1  yn = 11# # # # # # # 2 n# # # # # # # n# # # # # # # , n  N .

5) yn + 1  2 yn = 6 n  n 2 + 2 n + 1, n  N.
6) yn + 1  yn = n 2 n + n + 2, n  N.

7) yn + 1 + yn = 3 n + n + cos n, n  N.

21 21 4 242

VIII. Tìm các nghiệm riêng của các phương trình sai phân sau :

1) yn + 1  15 yn = 1  14 n, n  N thỏa y o = 7.
2) yn + 1  yn =  2 n  1, n  N thỏa y o = 99.

3) yn + 1  yn = sin n, n  N thỏa y o = 0.

4) yn + 1  nyn = n. n!, n  N*, thỏa y 1 =.

VIII. Giải các phương trình sai phân sau :

1) yn + 1  yn = n. n !, n  N*;
2) yn + 1  yn = ( n 2 + n + 1) n !, n  N *;
3) yn + 1  yn = 11
2 n

n 

, n  N ; 4) yn + 1  ( n + 1) yn = 2 n ;

5) yn + 1 + ny n = n + 1 ; 6) yn + 1 + ( n + 2) yn = n 3 n.

VIII. Giải các phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 sau :

1) yn + 2 + 3 yn + 1 + 2 yn = 0; 2) yn + 2  4 yn + 1 + 4 yn = 0;
3) yn + 2  yn + 1 + yn = 0; 4) yn + 2 + 4 yn + 1 + 3 y n = 16;
5) yn + 2 + 2 yn + 1 + yn = 2; 6) yn + 2  2 yn + 1 + 2 yn = 10.

VIII. Giải các phương trình sai phân tuyến tính cấp 2 sau :

1 ) yn + 2  4 yn + 1 + 3 yn = n + 1 ; 2 ) 2 yn + 2  5 yn + 1 + 2 yn =  n 2  2 n + 3 ; 3 ) yn + 2 + 2 yn + 1 + yn = 16 n + 16 ; 4 ) yn + 2 + 3 yn + 1 + 4 yn = 20 n + 19 ; 5 ) yn + 2 + 8 yn + 1 – 9 yn = ( 11 n + 35 ) 2 n ; 6 ) yn + 2 – 5 yn + 1 + 6 yn = ( n + 1 ) 4 n ; 7 ) yn + 2 – 5 yn + 1 + 6 yn = ( 2 n + 14 ) 2 n ; 8 ) yn + 2 – 7 yn + 1 + 12 yn = ( 2 n – 4 ) 2 n ; 9 ) yn + 2  4 yn + 1 + 4 yn = ( n + 2 ) 3 n ; 10 ) yn + 2 + 4 yn + 1 + 4 yn = ( n + 7 ) 2 n ; 11 ) yn + 2  6 yn + 1 + 9 yn = ( 2 n – 3 ) 2 n ; 12 ) yn + 2 + 6 yn + 1 + 9 yn = ( n 2 + 1 ) 3 n ; 13 ) yn + 2  8 yn + 1 + 16 yn = 10 n 5 n ; 14 ) yn + 2  9 yn + 1 + 20 yn = ( 2 n + 20 ) 6 n ; 15 ) yn + 2  11 yn + 1 + 30 yn = ( 12 n – 1 ) 2 n ; 16 ) yn + 2  2 yn + 1 + 2 yn = ( 2 n + 17 ) 5 n ; 17 ) yn + 2  6 yn + 1 + 10 yn = – ( 24 n + 30 ) 3 n ;

4

89

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp