Lý thuyết tổng hợp chương Bất đẳng thức, Bất phương trình hay, chi tiết

Lý thuyết tổng hợp chương Bất đẳng thức, Bất phương trình

I. ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC

BẤT ĐẲNG THỨC

Quảng cáo

1. Khái niệm bất đẳng thức

Các mệnh đề dạng “ a < b ” hoặc “ a > b ” được gọi là bất đẳng thức .

2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương

Nếu mệnh đề “ a < b => c < d ” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bất đẳng thức a < b và cũng viết là a < b => c < d . Nếu bất đẳng thức a < b là hệ quả của bất đẳng thức c < d và ngược lại thì ta nói hai bất đẳng thức tương tự với nhau và viết là a < b < => c < d .

3. Tính chất của bất đẳng thức

Như vậy để chứng tỏ bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng tỏ a – b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng tỏ một bất đẳng thức, ta hoàn toàn có thể sử dụng những đặc thù của bất đẳng thức được tóm tắt trong bảng sau

II. BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI)

1. Bất đẳng thức Cô-si

Định líTrung bình nhân của hai số không âm nhỏ hơn hoặc bằng trung bình cộng của chúng

√ab ≤ , ∀a, b ≥ 0

(1)
( 1 )

Đẳng thức √ab = xảy ra khi và chỉ khi a = b.

2. Các hệ quả

Hệ quả 1
Tổng của 1 số ít dương với nghịch đảo của nó lớn hơn hoặc bằng 2 .

a + ≥ 2, ∀a > 0.

Hệ quả 2
Nếu x, y cùng dương và có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi và chỉ khi x = y .
Hệ quả 3
Nếu x, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y .

Quảng cáo

III. BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

I. KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

1. Bất phương trình một ẩn

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng
f ( x ) < g ( x ) ( f ( x ) ≤ g ( x ) ) ( 1 ) trong đó f ( x ) và g ( x ) là những biểu thức của x . Ta gọi f ( x ) và g ( x ) lần lượt là vế trái của bất phương trình ( 1 ). Số thực xo sao cho f ( xo ) < g ( xo ), ( f ( xo ) ≤ g ( xo ) ) là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm của bất phương trình ( 1 ) . Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm . Chú ý : Bất phương trình ( 1 ) cũng hoàn toàn có thể viết lại dưới dạng sau : g ( x ) > f ( x ) ( g ( x ) ≥ f ( x ) ) .

2. Điều kiện của một bất phương trình

Tương tự so với phương trình, ta gọi những điều kiện kèm theo của ẩn số x để f ( x ) và g ( x ) có nghĩa là điều kiện kèm theo xác lập ( hay gọi tắt là điều kiện kèm theo ) của bất phương trình ( 1 ) .

3. Bất phương trình chứa tham số

Trong một bất phương trình, ngoài những chữ đóng vai trò ẩn số còn hoàn toàn có thể có những chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với những giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm những nghiệm đó .

Quảng cáo

II. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN

Hệ bất phương trình ẩn x gồm một số ít bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng .
Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của toàn bộ những bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho .
Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó .
Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của những tập nghiệm .

III. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1. Bất phương trình tương đương

Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiệm ( hoàn toàn có thể rỗng ) là hai bất phương trình tương tự và dùng kí hiệu “ < => ” để chỉ sự tương tự của hai bất phương trình đó .
Tương tự, khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúng tương tự với nhau và dùng kí hiệu “ < => ” để chỉ sự tương tự đó .

2. Phép biến đổi tương đương

Để giải một bất phương trình ( hệ bất phương trình ) ta liên tục đổi khác nó thành những bất phương trình ( hệ bất phương trình ) tương tự cho đến khi được bất phương trình ( hệ bất phương trình ) đơn thuần nhất mà ta hoàn toàn có thể viết ngay tập nghiệm. Các phép đổi khác như vậy được gọi là những phép biến hóa tương tự .

3. Cộng (trừ)

Cộng ( trừ ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm biến hóa điều kiện kèm theo của bất phương trình ta được một bất phương trình tương tự .
P ( x ) < Q ( x ) < => P ( x ) – f ( x ) < Q ( x ) – f ( x )

4. Nhân (chia)

Nhân ( chia ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dương ( mà không làm đổi khác điều kiện kèm theo của bất phương trình ) ta được một bất phương trình tương tự. Nhân ( chia ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm ( mà không làm biến hóa điều kiện kèm theo của bất phương trình ) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương tự .
P ( x ) < Q ( x ) < => P ( x ). f ( x ) < Q ( x ). f ( x ), f ( x ) > 0, ∀ x

P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x), f(x) < 0, ∀x

5. Bình phương

Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm đổi khác điều kiện kèm theo của nó ta được một bất phương trình tương tự .
P ( x ) < Q ( x ) < => P2 ( x ) < Q2 ( x ), P ( x ) ≥ 0, Q. ( x ) ≥ 0, ∀ x

DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT

1. Nhị thức bậc nhất

Nhị thức bậc nhất so với x là biểu thức dạng f ( x ) = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho, a ≠ 0 .

2. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định lí

Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy các giá trị trong khoảng (-; +∞), trái dấu với hệ số a khi x lấy giá trị trong khoảng (-∞; –)

x	-∞         +∞
f(x) = ax + b	trái dấu với a     0     cùng dấu với a

Minh họa bằng đồ thị

II. XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT

Giả sử f ( x ) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất hoàn toàn có thể xét dấu từng nhân tử. Lập bảng xét dấu chung cho toàn bộ những nhị thức bậc nhất xuất hiện trong f ( x ) ta suy ra được dấu của f ( x ). Trường hợp f ( x ) là một thương cũng được xét tương tự như .

III. ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Giải bất phương trình f ( x ) > 0 thực ra là xét xem biểu thức f ( x ) nhận giá trị dương với những giá trị nào của x ( do đó cũng biết f ( x ) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x ), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f ( x ) .
Bằng cách vận dụng đặc thù của giá trị tuyệt đối ta hoàn toàn có thể thuận tiện giải những bất phương trình dạng | f ( x ) | ≤ a và | f ( x ) | ≥ a với a > 0 đã cho .
Ta có
| f ( x ) | ≤ a < => – a ≤ f ( x ) ≤ a
| f ( x ) | ≥ a < => f ( X ) ≤ – a hoặc f ( x ) ≥ a ( a > 0 )

BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax + by ≤ c ( 1 )
( ax + by < c ; ax + by ≥ c ; ax + by > c )
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là những ẩn số .

II. BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, những bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để miêu tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng chiêu thức màn biểu diễn hình học .
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp những điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ( 1 ) được gọi là miền nghiệm của nó .
Từ đó ta có quy tắc thực hành thực tế trình diễn hình học tập nghiệm ( hay trình diễn miền nghiệm ) của bất phương trình ax + by ≤ c như sau ( tựa như cho bất phương trình ax + by ≥ c )
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng Δ : ax + by = c .
Bước 2. Lấy một điểm Mo ( xo ; yo ) không thuộc Δ ( ta thường lấy gốc tọa độ )
Bước 3. Tính axo + byo và so sánh axo + byo với c .
Bước 4. Kết luận
Nếu axo + byo < c thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa M0 là miền nghiệm của axo + byo ≤ c Nếu axo + byo > c thì nửa mặt phẳng bờ Δ không chứa Mo là miền nghiệm của axo + byo ≤ c
Chú ý :
Miền nghiệm của bất phương trình axo + byo ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình axo + byo < c

III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số ít bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho .
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta hoàn toàn có thể trình diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn .

IV. ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ

Giải một số ít bài toán kinh tế tài chính thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được điều tra và nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính .

DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

I. ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. Tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai so với x là biểu thức có dạng
f ( x ) = ax2 + bx + c ,
trong đó a, b, c là những thông số, a ≠ 0 .

2. Dấu của tam thức bậc hai

Người ta đã chứng tỏ được định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây
Định lý
Cho f ( x ) = ax2 + bx + c ( a ≠ 0 ), Δ = b2 – 4 ac .
Nếu Δ < 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với thông số a, với mọi x ∈ R .

Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x = –.

Nếu Δ > 0 thì f ( x ) luôn cùng dấu với thông số a khi x < x1 hoặc x > x2, trái dấu với thông số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 ( x1 < x2 ) là hai nghiệm của f ( x ) .

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

1. Bất phương trình bậc hai

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng ax2 + bx + c < 0 ( hoặc ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c ≥ 0 ), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a ≠ 0 .

2. Giải bất phương trình bậc hai

Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực ra là tìm những khoảng chừng mà trong đó f ( x ) = ax2 + bx + c cùng dấu với thông số a ( trường hợp a < 0 ) hay trái dấu với thông số a ( trường hợp a > 0 ) .
Chuyên đề Toán 10 : rất đầy đủ kim chỉ nan và những dạng bài tập có đáp án khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

bat-dang-thuc-bat-phuong-trinh.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp