Đại số 10/Chương IV/§4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Từ VLOS

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là gì?

Một bất phương trình bậc nhất hoàn toàn có thể chứa một ẩn số, hoặc nhiều hơn. Chẳng hạn :

2x
+

y3
–

z;

3x
+
2y
< 1. là hai bất phương trình bậc nhất lần lượt chứa ba ẩn số, hai ẩn số. Chúng được gọi chung là bất phương trình bậc nhất chứa nhiều ẩn số. Trong bài này, tất cả chúng ta sẽ tìm hiểu và khám phá chi tiết cụ thể về những bất phương trình thuộc loại thứ hai .

Bạn đang đọc: Đại số 10/Chương IV/§4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Tóm tắt nội dung bài viết

Lí thuyết [sửa]
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn[sửa]
Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn[sửa]
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn[sửa]
Áp dụng vào bài toán kinh tế tài chính[sửa]
Bài toán 1[sửa]
Bài toán 2[sửa]
BÀI TẬP[sửa]
Tài liệu tìm hiểu thêm[sửa]
Liên kết ngoài[sửa]

Lí
thuyết

[sửa]

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn[sửa]

Bất
phương
trình
bậc
nhất
hai
ẩn

x,

y
là
bất
phương
trình
có
một
trong
các
dạng:

ax
+

by
<
c,

ax
+

by
>

c,

ax
+

by
≤

c,

ax
+

by
≥

c
là bất phương trình có một trong những dạng :

trong
đó

a,

b,

c
là
những
số
thực
đã
cho,

a
và

b
không
đồng
thời
bằng
0;

x
và

y
là
các
ẩn
số.

Mỗi
cặp
số
(x0;

y0)
sao
cho

ax0
+

by0
<
c
gọi
là

một
nghiệm
của
bất
phương
trình

ax
+

by
<
c.Mỗi cặp số ( ) sao chogọi làcủa bất phương trình

Nghiệm
của
các
bất
phương
trình
dạng

ax
+

by
>

c,

ax
+

by
≤

c,

ax
+

by
≥

c
cũng
được
định
nghĩa
tương
tự.

Ví
dụ:
Xét
bất
phương
trình

x
+
2y
< 1.

Khi
thay

x
=
0,

y
=
-1
vào
vế
trái
của
bất
phương
trình
này
thì
vế
trái
có
giá
trị
nhỏ
hơn
vế
phải
của
nó,
vậy

bộ
hai
số
(x;

y)
=
(0;
-1)
là
một
nghiệm
của
bất
phương
trình
này.

Dễ
thấy
rằng,
ta
có
thể
tìm
được
vô
số
bộ
hai
số
là
nghiệm
của
bất
phương
trình
trên,
như
vậy
bất
phương
trình
trên
có
vô
số
nghiệm.
Tổng
quát
hơn,
các
bất
phương
trình
bậc
nhất
hai
ẩn
thường
có
vô
số
nghiệm
và
nếu
biểu
diễn
các
nghiệm
đó
trên
mặt
phẳng
tọa
độ
thì
mỗi
nghiệm
của
bất
phương
trình
bậc
nhất
hai
ẩn
là
một
điểm
và
tập
nghiệm
của
nó
được
biểu
diễn
bởi
một
tập
hợp
điểm.
Ta
gọi
tập
hợp
điểm
ấy
là

miền
nghiệm
của
bất
phương
trình.

Dưới đây, tất cả chúng ta sẽ thấy miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một nửa mặt phẳng .

Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn[sửa]

	Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by < c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

Người
ta
đã
chứng
minh
được
rằng
trong
mặt
phẳng
tọa
độ

Oxy,
đường
thẳng
(d):

ax
+

by
=

c
chia
mặt
phẳng
thành
hai
nửa
mặt
phẳng,
một
trong
hai
nửa
mặt
phẳng
ấy
(không
kể
bờ
(d))
gồm
các
điểm
có
tọa
độ
thỏa
mãn
bất
phương
trình

ax
+

by
>

c,
nửa
mặt
phẳng
còn
lại
(không
kể
bờ
(d))
gồm
các
điểm
có
tọa
độ
thỏa
mãn
bất
phương
trình

ax
+

by
<
c.

Từ đó, suy ra :

Nếu
(x0;

y0)
là
một
nghiệm
của
bất
phương
trình

ax
+

by
>

c
(hay

ax
+

by
<
c)
thì
nửa
mặt
phẳng
(không
kể
bờ
(d))
chứa
điểm

M(x0;

y0)
chính
là
miền
nghiệm
của
bất
phương
trình
đó.

Vậy
để
xác
định
miền
nghiệm
của
bất
phương
trình

ax
+

by

<
c,
ta
có
quy
tắc
thực
hành

biểu
diễn
hình
học
tập
nghiệm
(hay

biểu
diễn
miền
nghiệm)
như
sau:

Bước
1.
Vẽ
đường
thẳng
(d):

ax
+

by
=

c.

Bước
2.
Xét
một
điểm

M(x0;

y0)
không
nằm
trên
(d).

Nếu

ax0
+

by0
<
c
thì
nửa
mặt
phẳng
(không
kể
bờ
(d))
chứa
điểm

M
là
miền
nghiệm
của
bất
phương
trình

ax
+

by
<
c.
Nếu

ax0
+

by0
>

c
thì
nửa
mặt
phẳng
(không
kể
bờ
(d))
không
chứa
điểm

M
là
miền
nghiệm
của
bất
phương
trình

ax
+

by
<
c.

CHÚ
Ý:

Đối
với
các
bất
phương
trình
dạng

ax
+

by
≤

c
hoặc

ax
+

by
≥

c
thì
miền
nghiệm
là
nửa
mặt
phẳng
kể
cả
bờ.

VÍ DỤ 1	Xác định miền nghiệm của bất phương trình 3x + y ≤ 0.

Lời
giải

Miền
nghiệm
của
bất
phương
trình
3x
+

y
≤
0
là
miền
không
được
tô
màu.

d):
3x
+

y
=
0
chia
mặt
phẳng
thành
hai
nửa
mặt
phẳng.
Trên mặt phẳng tọa độ, đường thẳng ( ) : 3 = 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng .

Chọn
một
điểm
bất
kì
không
thuộc
đường
thẳng
đó,
chẳng
hạn
điểm

M(0;1).
Ta
thấy
(0;
1)
không
phải
là
nghiệm
của
bất
phương
trình
đã
cho.

Vậy
miền
nghiệm
cần
tìm
là
nửa
mặt
phẳng
chứa
bờ
(d)
và
không
chứa
điểm

M(0;1)
(Miền
không
được
tô
màu
trên
hình
vẽ).

Hoạt
động
1

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn -3x + 2y > 0.

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn[sửa]

Tương
tự
hệ
bất
phương
trình
một
ẩn,
ta
có

hệ
bất
phương
trình
bậc
nhất
hai
ẩn.
Ví
dụ:

$(I)\ \ {\begin{cases}3x-y+3>0\\-2x+3y-6<0\\2x+y+4>0.\end{cases}}” class=”mwe-math-fallback-png-inline tex” src=”https://tusach.thuvienkhoahoc.com/images/math/8/9/5/895e1f13d5112fd2f991f1fbde86d77c.png”/> Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác lập miền nghiệm của hệ, ta dùng chiêu thức biểu diễn hình học như sau : <ul> <li> Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại.</li> <li> Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.</li> </ul> <table width=$
VÍ
DỤ
2 Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình ( I ) .

Lời
giải

Miền
nghiệm
của
hệ
(I)
là
miền
không
được
tô
màu,
không
kể
biên.

(d1):
3x
–

y
+
3
=
0;

(d2):
-2x
+
3y
–
6
=
0;

(d3):
2x
+

y
+
4
=
0.

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng :

Sau
khi
tô
màu
các
miền
không
thích
hợp,
miền
không
bị
tô
màu
trên
hình
vẽ
(không
kể
biên)
là
miền
nghiệm
của
hệ
(I).

Xem thêm: Trong “từ điển” của người trưởng thành, không có khái niệm của 2 từ “hiểu chuyện”: Hiểu chuyện là giả, chịu đựng mới là thật

VÍ DỤ 3	$(II)\ \ {\begin{cases}3x+y\leq 6\\x+y\leq 4\\y\geq 0\\x\geq 0.\end{cases}}$ Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn :

Lời
giải

Miền
nghiệm
của
hệ
(II)
là
miền
tứ
giác

OAIC,
kể
cả
biên.

(d1):
3x
+

y
=
6;

(d2):

x
+

y
=
4;

(d3):

y
=
0

(d4):

x
=
0.

Vẽ những đường thẳng :

Sau
khi
tô
màu
các
miền
không
thích
hợp,
miền
tứ
giác

OAIC,
kể
cả
biên
(hình
vẽ)
là
miền
nghiệm
của
hệ
(II).

Hoạt động 2	`Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình:` ${\begin{cases}y-3x>0\\x-2y+5<0\\5x+2y+10>0.\end{cases}}$

Áp dụng vào bài toán kinh tế tài chính[sửa]

Vấn
đề
tìm
miền
nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình
bậc
nhất
có
liên
quan
chặt
chẽ
đến

Quy
hoạch
tuyến
tính.
Đó
là
một
ngành
toán
học
có
nhiều
ứng
dụng
trong
đời
sống
và
kinh
tế.
Sau
dây
là
một
số
ví
dụ
đơn
giản.

Bài toán 1[sửa]

Một
phân
xưởng
có
hai
máy
đặc
chủng

M1,

M2
sản
xuất
hai
loại
sản
phẩm
kí
hiệu
là
I
và
II.
Một
tấn
sản
phẩm
laọi
I
lãi
2
triệu
đồng,
một
tấn
sản
phẩm
loại
II
lãi
1,6
triệu
đồng.
Muốn
sản
xuất
một
tấn
sản
phẩm
loại
I
phải
dùng
máy
M1
trong
3
giờ
và
máy
M2
trong
1
giờ.
Muốn
sản
xuất
một
tấn
sản
phẩm
loại
II
phải
dùng
máy
M1
trong
1
giờ
và
máy
M2
trong
1
giờ.
Một
máy
không
thể
dùng
để
sản
xuất
đồng
thời
hai
loại
sản
phẩm.
Máy
M1
làm
việc
không
quá
6
giờ
trong
một
ngày,
máy
M2
một
ngày
chỉ
làm
việc
không
quá
4
giờ.
Hỏi
mỗi
ngày
phải
sản
xuất
bao
nhiêu
tấn
sản
phẩm
loại
I
và
bao
nhiêu
tấn
sản
phẩm
loại
II
để
số
tiền
lãi
nhiều
nhất.

Phân
tích
bài
toán:
Nếu
sản
xuất

x
tấn
sản
phẩm
loại
I
và

y
tấn
sản
phẩm
loại
II
trong
một
ngày
(x
≥
0,

y
≥
0).
Như
vậy
tiền
lãi
mỗi
ngày
là

L
=
2x
+
1,6y
(triệu
đồng)
và
số
giờ
làm
việc
(mỗi
ngày)
của
M1
là
3x
+
y
và
máy
M2
là

x
+

y.

Vì
mỗi
ngày
M1
chỉ
làm
việc
không
quá
6
giờ,
máy
M2
không
quá
4
giờ
nên

x,

y
phải
thỏa
mãn
hệ
bất
phương
trình:

$(II)\ \ {\begin{cases}3x+y\leq 6\\x+y\leq 4\\x\geq 0\\y\geq 0.\end{cases}}$

Bài
toán
trở
thành:
Tìm
các
số

x
và

y
thỏa
mãn
hệ
bất
phương
trình
(II)
sao
cho

L
=
2x
+
1,6y
lớn
nhất.

Bài toán này dẫn đến hai bài toán nhỏ sau :

Bài
toán
1.
Xác
định
tập
hợp
(S)
các
điểm
có
tọa
độ
(x;

y)
thỏa
mãn
hệ
(II).

Bài
toán
2.
Trong
tất
cả
các
điểm
thuộc
(S),
tìm
điểm
(x;

y)
sao
cho

L
=
2x
+
1,6y
có
giá
trị
lớn
nhất.

Việc
giải
bài
toán
1
chính
là
việc
xác
định
miền
nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình
(II)
mà
ta
đã
lập
và
giải
ở
ví
dụ
3.

Để
giải
bài
toán
2,
ta
thừa
nhận
rằng
biểu
thức

L
=
2x
+
1,6y
có
giá
trị
lớn
nhất
và
giá
trị
ấy
đạt
được
tại
một
trong
các
đỉnh
của
tứ
giác
OAIC
(xem

bài
đọc
thêm).
Bằng
cách
tìm
tọa
độ
các
đỉnh
O,
A,
I,
C
rồi
thay
vào
biểu
thức

L
=
2x
+
1,6y
ta
thấy

L
lớn
nhất
khi

x
=
1,

y
=
3.

Vậy để có số tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sản phẩm loại II .

Bài toán 2[sửa]

Người ta dự tính dùng hai loại nguyên vật liệu để chiết xuất tối thiểu 140 kg chất A và 9 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên vật liệu loại I giá 4 triệu đồng, hoàn toàn có thể chiết xuất được 20 kg chất A và 0,6 kg chất B. Từ mỗi tấn nguyên vật liệu loại II giá 3 triệu đồng, hoàn toàn có thể chiết suất được 10 kg chất A và 1,5 kg chất B. Hỏi phải dùng bao nhiêu tấn nguyên vật liệu mỗi loại để ngân sách mua nguyên vật liệu là tối thiểu, biết rằng cơ sở cung ứng nguyên vật liệu chỉ hoàn toàn có thể cung ứng không quá 10 tấn nguyên vật liệu loại I và không quá 9 tấn nguyên vật liệu loại II ?

Phân
tích
bài
toán.
Nếu
sử
dụng

x
tấn
nguyên
liệu
loại
I
và

y
tấn
nguyên
liệu
loại
II
thì
theo
giả
thiết,
có
thể
chiết
xuất
được
(20x
+
10y)
kg
chất
A
và
(0,6x
+
1,5y)
kg
chất
B.
Theo
giả
thiết,

x
và

y
phải
thỏa
mãn
các
điều
kiện:

0
≤

x
≤
10
và
0
≤

y
≤
9;
20x
+
10y
≥
140
hay
2x
+

y
≥
14;
0,6x
+
1,5y
hay
2x
+
5y
≥
30.

Tổng
số
tiền
mua
nguyên
liệu
là

T
=
4x
+
3y.

Bài
toán
trở
thành:
Tìm
các
số

x
và

y
thỏa
mãn
hệ
bất
phương
trình:

Miền
nghiệm
của
hệ
(III)
là
miền
tứ
giác

ABCD,
kể
cả
biên.

(III)\ \ {\begin{cases}0\leq x\leq 10\\0\leq y\leq 9\\2x+y\geq 14\\2x+5y\geq 30.\end{cases}}

sao
cho

T
=
4x
+
3y
có
giá
trị
nhỏ
nhất.

Bài
toán
này
dẫn
đến
hai
bài
toán
nhỏ
hơn:

Bài
toán
1.
Xác
định
tập
hợp
(S)
các
điểm
có
tọa
độ
(x;

y)
thỏa
mãn
hệ
(III).

Bài
toán
2.
Trong
tất
cả
các
điểm
thuộc
(S),
tìm
điểm
(x;

y)
sao
cho

T
=
4x
+
3y
có
giá
trị
nhỏ
nhất.

Việc
giải
bài
toán
1
chính
là
việc
xác
định
miền
nghiệm
của
hệ
bất
phương
trình
(III).

Để
giải
bài
toán
2,
ta
thừa
nhận
rằng
biểu
thức

T
=
4x
+
3y
có
giá
trị
nhỏ
nhất
và
giá
trị
ấy
đạt
được
tại
một
trong
các
đỉnh
của
tứ
giác

ABCD
(xem

bài
đọc
thêm).
Bằng
cách
tìm
tọa
độ
các
đỉnh
A,
B,
C,
D
rồi
so
sánh
các
giá
trị
tương
ứng
của

T,
ta
được
giá
trị
nhỏ
nhất
là

T
=
32
tại
điểm
A(5;
4).

Vậy để ngân sách nguyên vật liệu tối thiểu, cần sử dụng 5 tấn nguyên vật liệu loại I và 4 tấn nguyên vật liệu loại II ( khi đó, ngân sách tổng số là 32 triệu đồng ) .

BÀI TẬP[sửa]

1)
Xác
định
miền
nghiệm
của
mỗi
bất
phương
trình
hai
ẩn:

a)

x
–
2
+
2(y
–
1)
>
2x
+
4;

2x-{\sqrt {2}}y+{\sqrt {2}}-2\leq 0;

2)
Xác
đình
miền
nghiệm
của
các
hệ
bất
phương
trình
bậc
nhất
hai
ẩn
sau:

{\begin{cases}x-2y<0\\x+3y>-2\\y-x<3;\end{cases}}

{\begin{cases}{\cfrac {x}{2}}+{\cfrac {y}{3}}-1>0\\2(x-1)+{\cfrac {y}{2}}<4.\end{cases}}

3)
Có
ba
nhóm
máy
A,
B,
C
dùng
để
sản
xuất
ra
hai
loại
sản
phẩm
I
và
II.
Để
sản
xuất
một
đơn
vị
sản
phẩm
mỗi
loại
phải
lần
lượt
dùng
các
máy
thuộc
các
nhóm
khác
nhau.
Số
máy
trong
một
nhóm
và
số
máy
của
từng
nhóm
cần
thiết
để
sản
xuất
ra
một
đơn
vị
sản
phẩm
thuộc
mỗi
loại
được
cho
trong
bảng
sau:

Nhóm	Số máy trong mỗi nhóm	Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm
Nhóm	Số máy trong mỗi nhóm	Loại I	Loại II
A	10	2	2
B	4	0	2
C	12	2	4

Một đơn vị chức năng loại sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị chức năng loại sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập giải pháp để việc sản xuất hai loại mẫu sản phẩm trên có lãi cao nhất .

4)
Một
gia
đình
cần
ít
nhất
900
đơn
vị
protein
và
400
đơn
vị
lipit
trong
thức
ăn
mỗi
ngày.
Mỗi
kilogam
thịt
bò
chứa
800
đơn
vị
protein
và
200
đơn
vị
lipit.
Mỗi
kilogam
thịt
lợn
(heo)
chứa
600
đơn
vị
potein
và
400
đơn
vị
lipit.
Biết
rằng
gia
đình
này
chỉ
mua
nhiều
nhất
là
1,6kg
thịt
bò
và
1,1kg
thịt
lợn;
giá
tiền
1kg
thịt
bò
là
45
nghìn
đồng,
1kg
thịt
lợn
là
35
nghìn
đồng.
Giả
sử
gia
đình
đó
mua

x
kilôgam
thịt
bò
và

y
kilôgam
thịt
lợn.

a)
Viết
các
bất
phương
trình
biểu
thị
các
điều
kiện
của
bài
toán
thành
một
hệ
bất
phương
trình
rồi
xác
định
miền
nghiệm
(S)
của
hệ
đó.

b)
Gọi

T
(nghìn
đồng)
là
số
tiền
phải
trả
cho

x
kilôgam
thịt
bò
và

y
kilôgam
thịt
lợn.
Hãy
biểu
diễn

T
theo

x
và

y.

c)
Ở
câu
a)
ta
thấy
(S)
là
một
đa
giác.
Biết
rằng

T
có
giá
trị
nhỏ
nhất
tại
(x0;

y0)
với
(x0;

y0)
là
tọa
độ
của
một
trong
các
đỉnh
của
(S).
Hỏi
gia
đình
đó
phải
mua
bao
nhiêu
kilôgam
thịt
mỗi
loại
để
chi
phí
là
ít
nhất?

Xem thêm: Bệnh hiểm nghèo là gì? Danh mục bệnh hiểm nghèo mới nhất?

Tài liệu tìm hiểu thêm[sửa]

Sách
in:
- Đại
  số
  10,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  2006,
  trang
  94.
- Đại
  số
  10
  Nâng
  cao,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  2006,
  trang
  128.
- Đại
  số
  10,
  Nhà
  xuất
  bản
  Giáo
  dục,
  2001,
  trang
  89.

Liên kết ngoài[sửa]

Bất
phương
trình
–
trên
Vi.Wikipedia.

< < < Đại số 10

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp

Xem Thêm Xông Hơi Mặt Trị Mụn: Hướng Dẫn Cách Làm Tại Nhà Hiệu Quả

Đại số 10/Chương IV/§4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn