chương 4 phương trình vi phân

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (261.07 KB, 6 trang )

Trang 1
CHƯƠNG 4 : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
• Phương trình vi phân là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’,…,y
(n)
)= 0 trong đó
x là biến số độc lập, y là hàm số theo x, y’,y’’,…,y
(n)
là các đạo hàm của y.
• Cấp của phương trình là cấp cao nhất của đạo hàm.
• Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số y=ϕ(x) thỏa mãn phương trình.
4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1
:
4.1.1 Khái niệm
:
1. Phương trình vi phân cấp 1
:
Phương trình vi là phương trình có dạng F (x,y,y’) = 0.
Nếu có thể giải ra đối với y’ thì có dạng y’= f(x,y).
2.Nghiệm tổng quát
:
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân là hàm số y = ϕ (x,C) thỏa
phương trình.
3. Nghiệm riêng
:
Nghiệm y = ϕ(x,C
0
) nhận được từ nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) ứng với
một giá trị cụ thể C = C
o
gọi là nghiệm riêng.
4.Tích phân tổng quát

: Trong một số trường hợp, ta không tìm được
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ(x,C) mà
tìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ(x,y,C) = 0. Ta gọi đó là tích phân tồng quát
của
phương trình vi phân.
* Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ (x,C) của phương trình vi phân gọi là
đường cong tích phân
của phương trình nầy.
* Nghiệm tổng quát y = ϕ(x,C) tương ứng với 1 họ đường cong tích phân
phụ thuộc tham số C.
* Nghiệm kỳ dị:

Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổng
quát thì được gọi là nghiệm kỳ dị.

4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân ly
:
Trang 2
1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình có
dạng:
f(x)dx = g(y)dy (1)
2. Cách giải
:
Lấy tích phân 2 vế của (1)
∫
∫
= dyygdxxf )()(
F(x) = G(y) + C
Ví Dụ
1 : Giải phương trình vi phân : xy’ + y = 0

Ví Dụ
2: Giải phương trình vi phân : y’ = tgxtgy
4.1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp
:
1. Định nghĩa
:
Phương trình vi phân được gọi là đẳng cấp đối với x và y là phương trình
có dạng : y’ = f (
x
y
).
2. Cách giải
:
Đặt u =
x
y
<=> y = ux => y’ = u’x + u
Suy ra : f(u) = u + x .
dx
du
<=> x
dx
du
= f (u) – u
Nếu f (u) – u ≠ 0 ta có :
x
dx
=
uuf
du

−)(

Đây là phương trình biến số phân ly.

Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y’ =
22
yx
xy
−

Ví Dụ2
: Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y’ =
x
y
+ sin
x
y

với điều kiện ban đầu y (1) =
2
π

4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 :
Trang 3
1. Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình có
dạng y’ + p(x).y = q(x) (1)
trong đó p (x) và q (x) là những hàm liên tục.
2. Cách giải : y’+ p(x)y = q(x) (1)
Bước 1

: Giải phương trình thuần nhất tương ứng
y’ + p(x)y = 0 (2)
Đây là phương trình biến số phân ly ,giả sử y = ϕ(x,C) là nghiệm tổng quát
của phương trình (2)
Bước 2
: Xem C là một hàm theo x ,tìm y’ rồi thay vào (1).Từ đó tìm ra C.

Ví dụ 1
: Giải phương trình vi phân : y’+ 2xy = xe
-x2
(1)
ĐS : y =
2
2
2
x
eK
x
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+

Ví Dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình vi phân (x

2
+1)y’+xy = 1 thỏa điều
kiện ban đầu y (0) = 2.
ĐS :y =
2
2
1
2) x 1 (x ln
x+
+++

4.1.5 Phương trình Bernouilli( Bec-nu-li)

1. Định Nghĩa
: Phương trình có dạng : y’ + p(x)y = q(x).
α
y
trong đó p(x), q(x) là những hàm liên tục,
α
∈R.
2. Cách giải
: • Nếu
α
= 0 hoặc
α
=1, phương trình trở thành phương trình
tuyến tính.
• Giả sử
α
≠ 0 và

α
≠1
Với y ≠ 0, chia 2 vế cho y
∝
y
-∝
. y’ + p(x).y
1-∝
= q(x)
Đặt u = y
1-

α
suy ra u ’= (1-
α
) y
–
α
.y’. Phương trình trên trở thành :
u’+ (1-

α
) p(x) u = (1-
α
)q(x)
Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với u.
Ví Dụ
: Giải phương trình vi phân : y’ +
42
yx

x
y
= (1)
ĐS :

y =
3
3
ln
1
x
K
x

Trang 4

4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 :
4.2.1- Khái niệm :
Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F(x,y,y’,y’’) = 0
Nếu giải được phương trình đối với y’’, ta có dạng khác :y’’= f(x,y,y’)
Nghiệm tổng quát : y =
ϕ
(x,C
1
,C
2
)
Nghiệm riêng :y =
ϕ
(x,

0
2
0
1
,CC ) với
0
2
0
1
,CC là các giá trị xác định của C
1
, C
2

Tích phân tổng quát : φ(x,y,C
2
,C
2
) = 0
4.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 :
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = f(x)
Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1) ( p,q hằng số)
Bước 1
: Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = 0 (2)
Giải phương trình đặc trưng :
k
2
+ pk + q = 0 (3)

Ta có 3 trường hợp xảy ra :
* ∆= p
2
-4 q > 0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm thực khác nhau k
1
và k
2

Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

* ∆ = p
2
-4q = 0 : Phương trình (3) có nghiệm kép thực k

Nghiệm tổng quát của phương trình (2) là :

y =
kx
e
(C
1
+C
2
x)
* ∆ = p
2
-4q <0 : Phương trình (3) có 2 nghiệm phức liên hợp : k
1
=
α
+
β
i và k
2
=
α
–
β
i
Nghiệm tổng quát của pt (2) là :

Ví Dụ 1
: Tìm nghiệm của phương trình vi phân y’’ + y’ -2y = 0 thoả điều kiện
ban đầu y(0) = 0 và y’(0) =1.
Ví Dụ 2
: Giải phương trình vi phân : y’’ – 6y’ + 9y = 0
Ví Dụ 3
: Giải phương trình vi phân : y’’ – 2y’ + 5y = 0
y = C
1
xk
e
1
+C
2

xk
e
1

y =
x
e
α
(C
1
cos
β
x + C
2
sin
β
x)
Trang 5

Bước 2
: Phương trình vi phân không thuần nhất :
y’’ + py’ + qy = f(x) (1)
Phương pháp giải
:
* Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :
y’’+py’ +qy = 0 (2)
* Tìm một nghiệm riêng của phương trình (1).
* Nghiệm tổng quát của pt (1) = nghiệm tổng quát của pt (2) + nghiệm riêng của
pt (1).
Ta xét các trường hợp f(x) có dạng đặc biệt :

1) f(x) =
x
e
α
P
n
(x).
a)Nếu
α
không trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =
x
e
α
Q
n
(x)
b)Nếu
α
trùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x
x
e
α
Q
n
(x)
c)Nếu
α
trùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìm

nghiệm riêng của pt (1) dưới dạng y =x
2
x
e
α
Q
n
(x)
Ví Dụ
1: Giải phương trình y’’ +3y’ -4y = x.
ĐS : y = C
1
e
x
+ C
2
e
-4x
–
4
1
x –
16
3

Ví Dụ
2: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình
y’’ –y’ = e
x
(x+1)

ĐS : y =(C
1
+ C
2
)e
3x
+
x
e
x
3
3
6

2) f(x) = P
m
(x) cos
β
x + P
n
(x) sin
β
x :
Nghiệm riêng của phương trình có dạng :
• y = Q
l
(x) cos
β
x + R
l

(x) sin
β
x nếu ± i
β
không trùng với nghiệm của pt
đặc trưng.
• y = x [ Q
l
(x) cos
β
x + R
l
(x) sin
β
x ] nếu ± i
β
trùng với nghiệm của pt đặc
trưng. ( l = max (m,n) )

Ví Dụ
: Giải phương trình :
a)y’’ + y’ = sin 2x
Trang 6
b)y’’+ y = xsinx

: Trong một số ít trường hợp, ta không tìm đượcnghiệm tổng quát của phương trình vi phân dưới dạng tường minh y = ϕ ( x, C ) màtìm được hệ thức dưới dạng ẩn φ ( x, y, C ) = 0. Ta gọi đó là tích phân tồng quátcủaphương trình vi phân. * Đồ thị của mỗi nghiệm y = ϕ ( x, C ) của phương trình vi phân gọi làđường cong tích phâncủa phương trình nầy. * Nghiệm tổng quát y = ϕ ( x, C ) tương ứng với 1 họ đường cong tích phânphụ thuộc tham số C. * Nghiệm kỳ dị : Nghiệm của phương trình vi phân không nhận được từ họ nghiệm tổngquát thì được gọi là nghiệm kỳ dị. 4.1.2 Phương trình vi phân biến số phân lyTrang 21. Định Nghĩa : Phương trình vi phân biến số phân ly là phương trình códạng : f ( x ) dx = g ( y ) dy ( 1 ) 2. Cách giảiLấy tích phân 2 vế của ( 1 ) = dyygdxxf ) ( ) ( F ( x ) = G ( y ) + CVí Dụ1 : Giải phương trình vi phân : xy ’ + y = 0V í Dụ2 : Giải phương trình vi phân : y ’ = tgxtgy4. 1.3 Phương trình vi phân đẳng cấp1. Định nghĩaPhương trình vi phân được gọi là đẳng cấp và sang trọng so với x và y là phương trìnhcó dạng : y ’ = f ( ). 2. Cách giảiĐặt u = < => y = ux => y ’ = u’x + uSuy ra : f ( u ) = u + x. dxdu < => xdxdu = f ( u ) – uNếu f ( u ) – u ≠ 0 ta có : dxuufdu − ) ( Đây là phương trình biến số phân ly. Ví Dụ 1 : Giải phương trình vi phân y ’ = 22 yxxyVí Dụ2 : Tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân y ’ = + sinvới điều kiện kèm theo khởi đầu y ( 1 ) = 4.1.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 : Trang 31. Định Nghĩa : Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 là phương trình códạng y ’ + p ( x ). y = q ( x ) ( 1 ) trong đó p ( x ) và q ( x ) là những hàm liên tục. 2. Cách giải : y ’ + p ( x ) y = q ( x ) ( 1 ) Bước 1 : Giải phương trình thuần nhất tương ứngy ’ + p ( x ) y = 0 ( 2 ) Đây là phương trình biến số phân ly, giả sử y = ϕ ( x, C ) là nghiệm tổng quátcủa phương trình ( 2 ) Bước 2 : Xem C là một hàm theo x, tìm y ’ rồi thay vào ( 1 ). Từ đó tìm ra C. Ví dụ 1 : Giải phương trình vi phân : y ’ + 2 xy = xe-x2 ( 1 ) ĐS : y = eKVí Dụ 2 : Tìm nghiệm của phương trình vi phân ( x + 1 ) y ’ + xy = 1 thỏa điềukiện khởi đầu y ( 0 ) = 2. ĐS : y = 2 ) x 1 ( x lnx + + + + 4.1.5 Phương trình Bernouilli ( Bec-nu-li ) 1. Định Nghĩa : Phương trình có dạng : y ’ + p ( x ) y = q ( x ). trong đó p ( x ), q ( x ) là những hàm liên tục, ∈ R. 2. Cách giải : • Nếu = 0 hoặc = 1, phương trình trở thành phương trìnhtuyến tính. • Giả sử ≠ 0 và ≠ 1V ới y ≠ 0, chia 2 vế cho y – ∝. y ’ + p ( x ). y1 – ∝ = q ( x ) Đặt u = y1-suy ra u ’ = ( 1 – ) y. y ’. Phương trình trên trở thành : u ’ + ( 1 – ) p ( x ) u = ( 1 – ) q ( x ) Đây là phương trình tuyến tính cấp 1 so với u. Ví Dụ : Giải phương trình vi phân : y ’ + 42 yx = ( 1 ) ĐS : y = lnTrang 44.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 : 4.2.1 – Khái niệm : Phương trình vi phân cấp 2 là phương trình có dạng F ( x, y, y ’, y ’ ’ ) = 0N ếu giải được phương trình so với y ’ ’, ta có dạng khác : y ’ ’ = f ( x, y, y ’ ) Nghiệm tổng quát : y = ( x, C, CNghiệm riêng : y = ( x, , CC ) với, CC là các giá trị xác lập của C, CTích phân tổng quát : φ ( x, y, C, C ) = 04.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 : y ’ ’ + p ( x ) y ’ + q ( x ) y = f ( x ) Ta xét phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thông số hằng : y ’ ’ + py ’ + qy = f ( x ) ( 1 ) ( p, q hằng số ) Bước 1 : Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất : y ’ ’ + py ’ + qy = 0 ( 2 ) Giải phương trình đặc trưng : + pk + q = 0 ( 3 ) Ta có 3 trường hợp xảy ra : * ∆ = p-4 q > 0 : Phương trình ( 3 ) có 2 nghiệm thực khác nhau kvà kNghiệm tổng quát của phương trình ( 2 ) là : * ∆ = p-4q = 0 : Phương trình ( 3 ) có nghiệm kép thực kNghiệm tổng quát của phương trình ( 2 ) là : y = kx ( C + Cx ) * ∆ = p-4q < 0 : Phương trình ( 3 ) có 2 nghiệm phức phối hợp : i và kNghiệm tổng quát của pt ( 2 ) là : Ví Dụ 1 : Tìm nghiệm của phương trình vi phân y ’ ’ + y ’ - 2 y = 0 thoả điều kiệnban đầu y ( 0 ) = 0 và y ’ ( 0 ) = 1. Ví Dụ 2 : Giải phương trình vi phân : y ’ ’ – 6 y ’ + 9 y = 0V í Dụ 3 : Giải phương trình vi phân : y ’ ’ - 2 y ’ + 5 y = 0 y = Cxk + Cxky = ( Ccosx + Csinx ) Trang 5B ước 2 : Phương trình vi phân không thuần nhất : y ’ ’ + py ’ + qy = f ( x ) ( 1 ) Phương pháp giải * Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng : y ’ ’ + py ’ + qy = 0 ( 2 ) * Tìm một nghiệm riêng của phương trình ( 1 ). * Nghiệm tổng quát của pt ( 1 ) = nghiệm tổng quát của pt ( 2 ) + nghiệm riêng củapt ( 1 ). Ta xét các trường hợp f ( x ) có dạng đặc biệt quan trọng : 1 ) f ( x ) = ( x ). a ) Nếukhông trùng với nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìmnghiệm riêng của pt ( 1 ) dưới dạng y = ( x ) b ) Nếutrùng với nghiệm đơn của phương trình đặc trưng thì ta tìmnghiệm riêng của pt ( 1 ) dưới dạng y = x ( x ) c ) Nếutrùng với nghiệm kép của phương trình đặc trưng thì ta tìmnghiệm riêng của pt ( 1 ) dưới dạng y = x ( x ) Ví Dụ1 : Giải phương trình y ’ ’ + 3 y ’ - 4 y = x. ĐS : y = C + C-4xx - 16V í Dụ2 : Tìm nghiệm tổng quát của phương trìnhy ’ ’ – y ’ = e ( x + 1 ) ĐS : y = ( C + C ) e3x2 ) f ( x ) = P ( x ) cosx + P ( x ) sinx : Nghiệm riêng của phương trình có dạng : • y = Q ( x ) cosx + R ( x ) sinx nếu ± ikhông trùng với nghiệm của ptđặc trưng. • y = x [ Q ( x ) cosx + R ( x ) sinx ] nếu ± itrùng với nghiệm của pt đặctrưng. ( l = max ( m, n ) ) Ví Dụ : Giải phương trình : a ) y ’ ’ + y ’ = sin 2 xTrang 6 b ) y ’ ’ + y = xsinx

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp