cách tách phương trình bậc 2

Bài viết là chuyên đề nâng cao, gồm các dạng bài toán liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, cung cấp cho các em các phương pháp cơ bản và cả nâng cao để có thể giải đươc bài toán, như là phương pháp hệ số bất định, tách hạng tử, đặt ẩn phụ…
Đang xem : Cách tách phương trình bậc 2

CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Phần I: Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

1. Các phương pháp cơ bản

a. Phương pháp

­ – Tìm nhân tử chung là những đơn, đa thức xuất hiện trong toàn bộ các hạng tử .
– Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
– Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ) .

b. Ví dụ:

15 a2b2 – 9 a3b + 3 a2b = 3 a2b ( 5 b – 3 a – b2 )
2 x ( y – z ) + 5 y ( z – y ) = 2 x ( y – z ) – 5 y ( y – z ) = ( y – z ) ( 2 x – 5 y )
xm + 3 + xm ( x3 + 1 ) = xm ( x + 1 ) ( x2 – x + 1 )

2.Phương pháp dùng hằng đẳng thức

a. Phương pháp:

– Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử

b. Ví dụ:

9 × 2 – 4 = ( 3 x ) 2 – 22 = ( 3 x – 2 ) ( 3 x + 2 )
8 – 27 a3b6 = 23 – ( 3 ab2 ) 3 = ( 2-3 ab2 ) ( 4 + 6 ab2 + 9 a2b4 )
25 × 4 – 10×2 y + y2 = ( 5 × 2 – y ) 2

3.Phương pháp nhóm nhiều hạng tử.

 a. Phương pháp

– Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm .
– vận dụng liên tục các giải pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức .

b. Ví dụ:

2 × 3 – 3 × 2 + 2 x – 3 = ( 2 × 3 + 2 x ) – ( 3 × 2 + 3 )
= 2 x ( x2 + 1 ) – 3 ( x2 + 1 )
= ( x2 + 1 ) ( 2 x – 3 )
x2 – 2 xy + y2 – 16 = ( x – y ) 2 – 42 = ( x – y – 4 ) ( x – y + 4 )

4. Phối hợp nhiều phương pháp

a. Phương pháp: – Chọn các phương pháp theo thứ tự ưu tiên

+ Đặt nhân tử chung .
+ Dùng hằng đẳng thức .
+ Nhóm nhiều hạng tử .

b. Ví dụ:

3 xy2 – 12 xy + 12 x = 3 x ( y2 – 4 y + 4 )
= 3 x ( y – 2 ) 2

3×3 y – 6×2 y – 3 xy3 – 6 axy2 – 3 a2xy + 3 xy
= 3 xy ( x2 – 2 x – y2 – 2 ay – a2 + 1 )
= 3 xy
= 3 xy
= 3 xy
= 3 xy ( x-1 – y – a ) ( x – 1 + y + a )

5. Phương pháp tách một hạng  tử thành hai hay nhiều hạng tử.

a. Phương pháp:

Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng Phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung .

b. Ví dụ:

Phân tích đa thức   x2 – 6x + 8 thành nhân tử .

* Cách 1 : x2 – 6 x + 8 = x2 – 2 x – 4 x + 8
= x ( x – 2 ) – 4 ( x – 2 ) = ( x – 2 ) ( x – 4 )
* Cách 2 : x2 – 6 x + 8 = x2 – 6 x + 9 – 1
= ( x – 3 ) 2 – 1
= ( x – 3 – 1 ) ( x – 3 + 1 )
= ( x – 4 ) ( x – 2 )
* Cách 3 : x2 – 6 x + 8 = x2 – 4 – 6 x + 12
= ( x – 2 ) ( x + 2 ) – 6 ( x – 2 ) = x – 4 ) ( x – 2 )

* Cách 4 : x2 – 6 x + 8 = x2 – 16 – 6 x + 24 = ( x – 4 ) ( x + 4 ) – 6 ( x – 4 )
= ( x – 4 ) ( x + 4 – 6 ) = ( x – 4 ) ( x – 2 )
* Cách 5 : x2 – 6 x + 8 = x2 – 4 x + 4 – 2 x + 4 = ( x – 2 ) 2 – ( x – 2 )
= ( x – 2 ) ( x – 2 – 2 ) = ( x – 4 ) ( x – 2 )
Tuy rằng có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là hai cách sau :
* Cách 1 : Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng chiêu thức nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới .
vận dụng trong khi nghiên cứu và phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử ta làm như sau :
– Tìm tích ac
– Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách .
– Chọn hai thừa số có tổng bằng b
Khi đó hạng tử bx đã được tách thành hai hạng tử bậc nhất .
Ví dụ : 4 × 2 – 4 x – 3
– Tích ac là 4. ( – 3 ) = – 12
– Phân tích – 12 = – 1. 12 = 1. ( – 12 ) = – 2. 6 = – 3. 4 = 3. ( – 4 )
– Chọn 2 thừa số có tổng là : – 4 đó là 2 và ( – 6 )
4 × 2 – 4 x – 3 = 4 × 2 + 2 x – 6 x – 3 = 2 x ( 2 x + 1 ) – 3 ( 2 x + 1 )
= ( 2 x + 1 ) ( 2 x – 3 )

* Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai bình phương .
Ví dụ : 4 × 2 – 4 x – 3 = 4 × 2 – 4 x + 1 – 4 = ( 2 x – 1 ) 2 – 22
= ( 2 x – 1 – 2 ) ( 2 x – 1 + 2 ) = ( 2 x + 1 ) ( 2 x – 3 )
3 × 2 – 8 x + 4 = 4 × 2 – 8 x + 4 – x2 = ( 2 x – 2 ) 2 – x2
= ( 2 x – 2 – x ) ( 2 x – 2 + x ) = ( x – 2 ) ( 3 x – 2 )

6. Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

a. Phương pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng

a2 – b2 sau khi thêm bớt .

b. Ví dụ:

4 × 2 + 81 = 4 × 4 + 36 × 2 + 81 – 36 × 2
= ( 2 × 2 + 9 ) 2 – ( 6 x ) 2
= ( 2 × 2 + 9 – 6 x ) ( 2 × 2 + 9 + 6 x )
x7 + x2 + 1 = x7 – x + x2 + x + 1 = x ( x6 – 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= x ( x3 – 1 ) ( x3 + 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= x ( x3 + 1 ) ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 ) + ( x2 + x + 1 )
= ( x2 + x + 1 ) ( x5 – x4 – x2 + 1 )

   II. Các phương pháp khác:

1. Phương pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ )

a. Phương pháp:

Đặt ẩn phụ đưa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các chiêu thức cơ bản .

b. Ví dụ:

* Phân tích đa thức 6 × 4 – 11 × 2 + 3 thành nhân tử .
đặt x2 = y ta được 6 y2 – 11 y + 3 = ( 3 y + 1 ) ( 2 y + 3 )
Vậy : 6 × 4 – 11 × 2 + 3 = ( 3 × 2 – 1 ) ( 2 × 2 – 3 )
* Phân tích đa thức ( x2 + x ) 2 + 3 ( x2 + x ) + 2 thành nhân tử .
đặt x2 + x = y ta được y2 + 4 y + 2 = ( y + 1 ) ( y + 2 )
Vậy : ( x2 + x ) 2 + 3 ( x2 + x ) + 2 = ( x2 + x + 1 ) ( x2 + x + 2 )

2. Phương pháp hệ số bất định .

a. Phương pháp:

 Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.

b.Ví dụ: 

Phân tích đa thức x3 – 19 x – 30 thành nhân tử .
Nếu đa thức này nghiên cứu và phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng
x ( x2 + bx + c ) = x + ( a + b ) x2 + ( ab + c ) x + ac
Vì 2 đa thức này giống hệt nên :
a + b = 0

ab + c = – 19
ac = – 30
Chọn a = 2, c = – 15
Khi đó b = – 2 thoả mãn 3 điều kiện kèm theo trên
Vậy : x3 – 19 x – 30 = ( x + 2 ) ( x2 – 2 x – 15 )

3. Phương pháp xét giá trị riêng.

a. Phương pháp:

Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị đơn cử xác lập thừa số còn lại .

b.Ví dụ

P = x2 ( y – z ) + y2 ( z – c ) + z ( x – y ) thay x bởi y thì thấy
P = y2 ( y – z ) + y2 ( z – y ) = 0 như vậy P chứa thừa số ( x – y )
Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P hoàn toàn có thể hoán vị vòng quanh ). Do đó nếu P đã chứa thừa số ( x – y ) thì cũng chứa thừa số ( y – z ), ( z – x ). Vậy P có dạng k ( x – y ) ( y – z ) ( z – x ) .
Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba so với tập hợp các biến x, y, z .

Xem thêm: Cấu Trúc Đề Cương Đồ Án Tốt Nghiệp Sinh Viên, Tìm Hiểu Về Các Bước Lập Đồ Án Tốt Nghiệp

còn tích ( x – y ) ( y – z ) ( z – x ) cũng có bậc ba so với tập hợp các biến x, y, z
Vì đẳng thức x2 ( y – z ) + y2 ( z – c ) + z ( x – y ) = k ( x – y ) ( y – z ) ( z – x ) .
đúng với mọi x, y, z. Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng ví dụ điển hình : x = 2, y = 1, z = 0

ta được : 4.1 + 1. ( – 2 ) + 0 = k. 1.1. ( – 2 )
k = – 1
Vậy P = – ( x – y ) ( y – z ) ( z – x ) = ( x – y ) ( y – z ) ( x – z )
c ) Ngoài ra ta còn có nhận xét : Giả sử phải nghiên cứu và phân tích biểu thức F ( a, b, c ) thành nhân tử, trong đó a, b, c có vai trò như nhau trong biểu thức đó. Nếu F ( a, b, c ) = 0 khi a = b thì F ( a, b, c ) sẽ chứa nhân tử a-b, b-c, c-a. Nếu F ( a, b, c ) là biểu thức đối xứng của a, b, c nhưng F ( a, b, c ) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a = – b, F ( a, b, c ) có triệt tiêu không, nếu thoả mãn thì F ( a, b, c ) chứa nhân tử a + b và từ đó chứa các nhân tử b + c, c + a .

  c1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử

F ( a, b, c ) = a2 ( b-c ) + b2 ( c-a ) + c2 ( a-b )
– Khi a = b ta có F ( a, b, c ) = a2 ( a-c ) + a2 ( c-a ) = 0, do đó F ( a, b, c ) có chứa nhân tử ( a-b ) .
Tương tự F ( a, b, c ) chứa các nhân tử ( b-c ) và ( c-a ). Vì F ( a, b, c ) là biểu thức bậc ba do đó F ( a, b, c ) = k ( a-b ) ( b-c ) ( c-a ). Cho a = 1, b = 0, c = – 1 ta có
1 + 1 = k. 1.1. ( – 2 ) Þ k = – 1
Vậy F ( a, b, c ) = – ( a-b ) ( b-c ) ( c-a )

  c2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử

F ( x, y, z ) = ( xy + xz + yz ) ( x + y + z ) – xyz .

     – Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y

Lập luận tương tự ví dụ 1,ta có       F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x).

4. Phương  pháp tìm nghiệm của đa thức:

a. Phương pháp:

Cho đa thức f ( x ), a là nghiệm của đa thức f ( x ) nếu f ( x ) = 0. Như vậy nếu đa thức f ( x ) chứa nhân tử ( x – a ) thì phải là nghiệm của đa thức. Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ước của thông số tự do .
Ví dụ : x3 + 3 x – 4
Nếu đa thức trên có nghiệm là a ( đa thức có chứa nhân tử ( x – a ) ) thì nhân tử còn lại có dạng ( x2 + bx + c )
– ac = – 4 a là ước của – 4
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi .
Ước của ( – 4 ) là ( – 1 ), 1, ( – 2 ), 2, ( – 4 ), 4. Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức đa thức chứa nhân tử ( x – 1 ). Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm Open nhân tử chung ( x – 1 ) .
* Cách 1 : x3 + 3 x – 4 = x3 – x2 + 4 × 2 – 4 = x2 ( x – 1 ) + 4 ( x – 1 ) ( x + 1 )
= ( x – 1 ) ( x2 + 4 x + 4 ) = ( x – 1 ) ( x + 2 ) 2
* Cách 2 : x3 + 3 x – 4 = x3 – 1 + 3 × 2 – 3 = ( x3 – 1 ) + 3 ( x2 – 1 )

= ( x – 1 ) ( x2 + x + 1 + 3 ( x2 + – 1 )
= ( x – 1 ) ( x + 2 ) 2

Chú ý:

– Nếu đa thức có tổng các thông số bằng không thì đa thức chứa nhân tử ( x-1 )
– Nếu đa thức có tổng các thông số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1 ) .

 Ví dụ:

* Đa thức : x2 – 5 x + 8 x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0
Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x – 1 )
* Đa thức : 5 × 3 – 5 × 2 + 3 x + 9 có – 5 + 9 = 1 + 3
Đa thức có nghiệm là ( – 1 ) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1 ) .
+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức hoàn toàn có thể có nghiệm hữu tỷ. Trong đa thức với thông số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng trong đó p là ước của hạng tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất .

Ví dụ:      2×3 – 5×2 + 8x – 3

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là : ( – 1 ), 1, ( ), , ( ), ( ) ( – 3 ), … .. Sau khi kiểm tra ta thấy x = a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử ( x – a ) hay ( 2 x – 1 ). Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để Open nhân tử chung ( 2 x – 1 )

2 × 3 – 5 × 2 + 8 x – 3 = 2 × 3 – x2 – 4 × 2 + 2 x + 6 x – 3
= x2 ( 2 x – 1 ) – 2 x ( 2 x – 1 ) + 3 ( 2 x – 1 )
= ( 2 x – 1 ) ( x2 – 2 x + 3 )

5. Phương pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai

a.Phương pháp: Tam thức bậc hai ax2 + bx + c

Nếu b2 – 4 ac là bình phương của 1 số ít hữu tỷ thì hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các giải pháp đã biết .
Nếu b2 – 4 ac không là bình phương của số hữu tỷ nào thì không hề nghiên cứu và phân tích tiếp được nữa .

b. Ví dụ:       2×2 – 7x + 3

a = 2, b = – 7, c = 3 .
xét b2 – 4 ac = 49 – 4.2.3 = 25 = 52
nghiên cứu và phân tích được thành nhân tử : 2 × 2 – 7 x + 3 = ( x – 3 ) ( 2 x – 1 )
hoặc hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích bằng cách để ra bình phương đủ
2 × 2 – 7 x + 3 = 2 ( x2 – x + )
= 2 ( x2 – 2. x + )
= 2 = 2 = 2 ( x-3 ) ( x – )

 Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì:

P ( x ) = a ( x – x1 ) ( x – x2 )

  Phần 2: Giải các bài toán phân tích đa thức

1. Bài toán rút gọn biểu thức.

  a. Ví dụ: Cho

( A = frac } } – frac } } + frac } + 5 x + 6 } } )
a1 ). Rút gọn A
a2 ). Tính giá trị của A với x = 998
a3 ). Tìm giá trị của x để A > 1

   b. Đường lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số, phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dưới mẫu.

Với học viên : Rèn luyện kỹ năng và kiến thức vận dụng các giải pháp nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học viên thấy được sự liên hệ ngặt nghèo giữa các kỹ năng và kiến thức tăng trưởng trí mưu trí .

b. Ví dụ 2: (Các bài toán tương tự )Rút gọn biểu thức :

( eginA = frac + + x + 1 } } – + 2 – x + 1 } } \ B = frac ( b – c ) + ( c – a ) + ( a – b ) } } – a – + b } } \ C = frac + + – 3 xyz } } ^ 2 } + ^ 2 } + ^ 2 } } } end )

 Đường lối giải  :Để rút gọn các phân thức trên:

– Bước 1 : ta phải nghiên cứu và phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử
– Bước 2 : chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

2.Bài toán giải phương trình:

a.Đường lối giải: Với các phương trình bậc hai trở lên việc áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì được dạng phương trình tích. A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0

b. Ví dụ: Giải phương trình

( 4 x + 3 ) 2 – 25 = 0
Giải : vận dụng chiêu thức nghiên cứu và phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đưa phương trình về dạng .
8 ( 2 x – 1 ) ( x + 2 ) = 0 x = hoặc x = – 2

3. Bài toán giải bất phương trình

a. Đường lối giải: Với các bất phương trình bậc cao hoặc các bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phương trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đưa bất phương trình về dạng bất phương trình tích (A.B < 0 hoặc A.B > 0 ) hay bất phương trình thường.

b. Ví dụ:  Giải các bất phương trình

b1 )

( eginfrac } – frac } > 1 \ Leftrightarrow frac } } > 0 end )
Nhận xét : vì ( – 2 ) < 0 => ( x – 2 ) ( x – 3 ) < 0 => 2 < x < 3 b2 ) 3 × 2 – 10 x – 8 > 0
=> ( 3 x + 2 ) ( x – 4 ) > 0
Ta lập bảng xét dấu tích. Kết quả x < hoặc x > 4 .

4. Bài toán chứng minh về chia hết .

a. Đường lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết .

b .Ví dụ:

b1 ) Chứng minh rằng ( forall x in Z ) ta có biểu thức
P = ( 4 x + 3 ) 2 – 25 chia hết cho 8 .
Phân tích : P = 8 ( 2 x – 1 ) ( x + 1 ) chia hết cho 8
b2 ) Chứng minh rằng biểu thức :
( frac + frac } } + frac } } ) là số nguyên ( forall n in Z )
Biến đổi biểu thức về dạng ( frac + } } ) và chứng tỏ ( 2 n + 3 n2 + n3 ) chia hết cho 6 .
Ta có 2 n + 3 n2 + n3 = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) là tích của ba số nguyên liên tục, vì thế có tối thiểu một thừa số chia hết cho 2, một thừa số chia hết cho 3 mà ( 2 ; 3 ) = 1 nên tích này chia hết cho 6. Vậy ( forall n in Z ) thì ( frac + frac } } + frac } } ) là số nguyên .

5. Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a) Đường lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng thức

A2 + m, A2 – m, A2 + B2. .. ( m là hằng số ) rồi nhận xét để đi đến hiệu quả ở đầu cuối .
Xem thêm : 5 ) Tìm M Để Phương Trình Có 1 Nghiệm Dương, Cho Phương Trình Mx2

b. Ví dụ 1 :Chứng tỏ x2+x+1 > 0 x

Ta viết : x2 + x + 1 = x2 + 2. x + = ( x + ) 2 + ≥ > 0 x .

   Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức

A ( x, y ) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8 x + y
( Tương tự : B = x2 + y2 + xy – x – y )
Ta có : A ( x, y ) = 2005 + x2 + 15 y2 + xy + 8 x + y
= ( x2 + y2 + 16 + xy + 8 x + 4 y ) + ( y2 – 3 y ) + 2005 – 16
= ( x + y + 4 ) 2 + ( y2 – 2. y + ) + 1989 –
= ( x + y + 4 ) 2 + ( y – ) 2 + ≥
Vì ( x + y + 4 ) 2 ≥ 0, ( y – ) 2 ≥ 0. Dấu ” = ” xảy ra
Û. Vậy A ( x, y ) đạt GTNN là

Phần B cũng ta cũng làm bằng cách tách tương tự

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết cụ thể dưới đây :

Tải về

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com mọi lúc, mọi nơi đầy đủ các môn: Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, Sinh, Sử, Địa cùng các thầy cô giáo dạy giỏi, nổi tiếng.

Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Phương trình

Điều hướng bài viết

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp