Trong quá trình viết tôi đã cố gắng sắp xếp các dạng toán theo thứ tự của các cấp độ nhận thức: Biết- hiểu- thông hiểu và vận dụng để học sinh dễ tiếp cận. Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có lời bình giúp học sinh khắc sâu được những kỹ năng quan trọng khi tiếp cận giải bài toán chứa căn thức, đồng thời có bài tập tương tự giúp học sinh tự rèn luyện để có được kỹ năng giải hợp lý các bài toán chứa căn thức.
Tuy đã nỗ lực nhưng cũng chỉ mang tính chủ quan nên không tránh khỏi sai sót và hạn chế. Mong quý đồng nghiệp góp ý tôi rất chân thành cám ơn !
28 trang
| Chia sẻ : liennguyen452| Lượt xem : 60185| Lượt tải : 10
Bạn đang xem trước 20 trang mẫu tài liệu Chuyên đề Phương trình chứa căn thức, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai là rất quan trọng trong những cấp học, từ trung học cơ sở đến trung học phổ thông tuy nhiên ở cấp trung học phổ thông không đơn thuần là cho sẵn phương trình bậc nhất, bậc hai để giải mà thường lồng ghép dưới nhiều hình thức của những bài toán khác nhau. Cụ thể nhất là trong chương trình toán lớp 10 của chương trình Cơ bản hay Nâng cao điều có phương trình chứa căn thức. Phương trình chứa căn thức là loại phương trình mà hầu hết học viên khi tiếp cận giải thường mắc phải không ít những sai lầm đáng tiếc trong quy trình giải đó là : Thiếu điều kiện để căn thức có nghĩa hoặc khi bình phương hai vế ta thường được phương trình hệ quả ( nên dễ Open nghiệm ngoại lai ) nhưng học viên vẫn nghĩ là phương trình tương tự, hoặc rất khó khăn vất vả khi nhận dạng cách giải trong những phương trình chứa nhiều căn thức. Vì thế muốn giúp cho học viên có cách nhìn tổng quan hơn về những bài toán phương trình chứa căn thức tôi viết chuyên đề này giúp cho học viên thuận tiện tiếp cận những loại phương trình chứa căn thức trong chương trình lớp 10 và hoàn toàn có thể dựa vào đó để tiếp cận và khai thác sâu hơn những bài toán chứa căn thức trong những kì thi cao đẳng và ĐH. Trong quy trình viết tôi đã cố gắng nỗ lực sắp xếp những dạng toán theo thứ tự của những Lever nhận thức : Biết – hiểu – thông hiểu và vận dụng để học viên dễ tiếp cận. Sau mỗi ví dụ có hướng dẫn giải và có lời bình giúp học viên khắc sâu được những kỹ năng và kiến thức quan trọng khi tiếp cận giải bài toán chứa căn thức, đồng thời có bài tập tựa như giúp học viên tự rèn luyện để có được kỹ năng và kiến thức giải hài hòa và hợp lý những bài toán chứa căn thức. Tuy đã nỗ lực nhưng cũng chỉ mang tính chủ quan nên không tránh khỏi sai sót và hạn chế. Mong quý đồng nghiệp góp ý tôi rất chân thành cám ơn ! Hòa Bình, ngày 12 tháng 3 năm 2013 GV : Nguyễn Hữu Phúc. MỤC LỤC ĐỀ MỤC TRANG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC VẤN ĐỀ 1 3 DẠNG 1 : 3 DẠNG 2 : 8 DẠNG 3 : ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG TÍCH 9 DẠNG 4 : ĐẶT ẨN PHỤ 11 DẠNG 5 : ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG NÂNG CAO 13 PHƯƠNG TRÌNH CH ỨA CĂN DẠNG NÂNG CAO VẤN ĐỀ 2 : DẠNG 1 : ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ĐỂ GIẢI PT 16 DẠNG 2 : ĐƯA VỀ HỆ PT ĐỂ GIẢI 23 NHẬN XÉT SKKN 26 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC Vấn đề 1 : DẠNG 1 : ( 1 ) Cách giải 1 : ( Sử dụng pt hệ quả ) ĐK : Bình phương hai vế pt ( 1 ) ta có pt hệ quả : f ( x ) = g2 ( x ), ( giải tìm x = ? ) Thế vào pt ( 1 ) xem có thảo mãn hay không Kết luận nghiệm của pt ( 1 ). Cách giải 2 : ( Sử dụng phép đổi khác tương tự ) Lưu ý : Khi g ( x ) < 0 pt ( 1 ) vô nghiệm. VD 1 : Giải phương trình : HD : Cách 1 : ( Sử dụng pt hệ quả ) ĐK : 2 x - 4 Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt : 2 x - 4 = 4 Thế x = 4 vào pt đã cho thỏa mãn nhu cầu Vậy pt có nghiệm x = 4. Cách 2 : Vì 2 hiển nhiên đúng nên ta chỉ cần giải như sau : Vậy pt có nghiệm x = 4. Cách 1 : ( Sử dụng phương trình hệ quả ) ĐK : PT ( b ) 3 x - 15 = 93 x = 24 x = 8 Ta thấy x = 8 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo nhưng thế vào pt ( b ) không thỏa mãn nhu cầu Vậy pt ( b ) vô nghiệm. Cách 2 : ( Chỉ cần chú ý - 3 < 0 ) nên pt ( b ) vô nghiệm. Các câu c, d, e giải tương tự như. f ) Cách 1 : ( Sử dụng pt hệ quả ) Ta có : Bình phương 2 vế pt đã cho ta được pt : Thế x = 0 và x = - 2 vào pt đã cho chỉ có x = 0 thỏa mãn nhu cầu Vậy pt có nghiệm x = 0. Cách 2 : ( Sử dụng pt trình tương tự ) Ta có : Vậy pt có nghiệm x = 0. Lời bình : Qua những ví dụ trên cho ta thấy điểm yếu kém của giải pháp giải theo phương trình hệ quả là dài và phải thử lại nghiệm ( tránh trường hợp Open nghiệm ngoại lai ), còn giải pháp giải theo phương trình tương tự có phần ưu điểm là thuận tiện hơn, ( không cần phải thử lai nghiệm ). Chúng ta cần phân biệt rằng tùy theo đặc trưng của phương trình chứa căn mà ta hoàn toàn có thể chọn cách giải 1 hoặc 2 cho tương thích. Vì vậy sau này tất cả chúng ta sẽ tiếp cận nhiều bài toán chứa căn thức thì ta mới cảm nhận được sự thâm thúy trong mọi góc nhìn của bài toán lúc đó ta mới thấy rõ mỗi giải pháp điều có những ý nghĩa rực rỡ riêng của nó. VD 2 : Giải phương trình : HD : Ta có : Vậy pt có 2 nghiệm. Ta có : Ta có : Ta có : Ta có : Lời bình : Qua ví dụ trên cho ta thấy giải phương trình bằng giải pháp biến hóa tương tự sẽ có nhiều lợi thế và thuận tiện, nếu giải bằng giải pháp đổi khác phương trình hệ quả, nghĩa là phải đặt điều kiện kèm theo để căn có nghĩa sẽ khó khăn vất vả hơn. Bài tập tương tự như : Bài tập 1 : Giải những pt HD : a ) x = 1 b ) x = 3 c ) x = 0 ; x = 1 ; x = ( 1 - ) / 2 Các câu còn lại giải tựa như. Chú ý : Dạng ( sau đó đặt đk và bình phương 2 vế để giải ) DẠNG 2 : VD 1 : Giải những phương trình : HD : Ta có : Nhận xét : Qua cách giải trên cho ta thấy chọn ĐK : g ( x ) = 4 - x0 đã làm giảm bớt độ khó của bài toán và giúp ta xử lý bài toán này nhẹ nhàng hơn mà vẫn không làm mất nghiệm của pt đã cho. Các câu còn lại giải tương tự như. Chú ý : Dạng Hoặc : ( về dạng trên ) DẠNG 3 : ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH VD1 : Giải những pt : HD : a ) Ta có Vậy pt có nghiệm x = 4 b ) Ta có Vậy pt có nghiệm x = 4 ; x = - 8. Các câu c, d tựa như. VD2 : Giải pt Cách giải sai thường gặp là : Cách giải đúng là : ĐK : Vì x = - 4 không thỏa đk nên pt vô nghiệm. Lời bình : Nguyên nhân mắc sai lầm đáng tiếc của bài toán trên là đôi lúc ta lại bỏ quên đk xác lập của pt Điều này cho ta thấy rằng điều kiện kèm theo xác lập của pt là rất quan trọng. PT đưa về dạng tích thường có tính phức tạp cao hơn so với những pt chứa căn thường thì. VD3 : Giải pt HD ĐK : Vậy pt có nghiệm x = - 4. DẠNG 4 : ĐẶT ẨN SỐ PHỤ ( Lever thấp ) VD1 : Giải những pt HD : Ta đổi khác Đặt :, ( đk : t0 ) PT ( a ) trở thành pt : t2-5t+4 = 0 + Với t = 1 + Với t = 4 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = 15/2 Ta đổi khác Đặt :, ( đk : t0 ) PT ( b ) trở thành pt : t2-5t+4 = 0 + Với t = 1 + Với t = 4 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = 17/6. Các câu c, d tựa như VD2 : Giải những pt HD : Ta biến hóa Đặt :, ( đk : t0 ) PT ( a ) trở thành pt : t2-5t+4 = 0 + Với t = 1 + Với t = 4 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm x = 0 ; x = Ta đổi khác Đặt :, ( đk : t0 ) PT ( b ) trở thành pt : t2-5t+4 = 0 + Với t = 1 + Với t = 4 Vậy pt đã cho có 2 nghiệm Các câu c, d tựa như Lời bình : Qua ví dụ trên giúp cho ta thấy được việc đặt ẩn số phụ giúp tất cả chúng ta đưa những bài toán tương đối phức tạp về bài toán đơn thuần hơn, quen thuộc và dễ giải hơn. Điều đó giúp cho ta có sáng tạo độc đáo hoàn toàn có thể tiếp cận những bài toán phức tạp hơn những bài toán trên bằng cách đặt ẩn số phụ. Cũng cần chú ý quan tâm rằng nếu đặt ẩn số phụ phải đưa về bài toán đơn thuần hơn thì cách làm mới có ý nghĩa, còn ngược lại thì .. ! ! !. Bài tập tựa như : Giải những pt DẠNG 5 : ĐẶT ẨN PHỤ ( Lever cao hơn ) VD1 : Giải pt : ( 1 ) HD : Đặt t = ( đk t0 ) PT ( 1 ) trở thành : Với t = 3 Vậy pt có 2 n x = 0 và x = 3 VD2 : Giải pt : ( 1 ) HD : Đặt t = ( đk t0 ) PT ( 1 ) trở thành : Với t = 3 Vậy pt có 2 n. Lời bình : Qua ví dụ trên cho ta thấy dạng tổng căn thức và tích căn thức thì ta đặt t bằng tổng căn thức rồi biến hóa tích căn thức theo ẩn t để có pt ẩn t giải được. Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ còn nhiều cách lựa chọn tương thích khác nhau điều đó giúp ta tư duy linh hoạt hơn. VD 3 : Giải những pt : HD : Ta đổi khác : ( 1 ) Đặt :, ( đk : t0 ) PT ( 1 ) trở thành pt : + Với t = 6 Vậy pt có 2 nghiệm x = 3 ; x = - 9/2 Ta biến hóa : Đặt t =, ( đk : t0 ) PT ( b ) trở thành pt : + Với t = 0 + Với t = 2 Vậy pt có 2 nghiệm Ta đổi khác : ( 1 ) Đặt :, ( đk : t0 ) PT ( 1 ) trở thành pt : Với t = 1 Vậy pt có 2 nghiệm x = 1 ; x = 1/2 Câu d ) giải tựa như. Lời bình : Qua ví dụ trên cho ta thấy dạng biểu thức trong căn và tích biểu thức bên ngoài căn nếu biến hóa thì chúng có liên hệ mật thiết với nhau nên ta đặt t bằng lượng chứa căn thức rồi biểu thức bên ngoài trình diễn theo t. Ta được pt quen thuộc giải được. Các bài toán trên giúp ta thấy được sự phong phú của việc đặt ẩn phụ. VẤN ĐỀ 2 : KIẾN THỨC NÂNG CAO DẠNG 1 : ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI Cần nhớ những BĐT sau : Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : a = b Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : a = b = c VD1 : Giải pt DH : ĐK Áp dụng BĐT Cô si ta có : Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : Vậy nghiệm của pt là ( 1 ; 2 ; 3 ) VD2 : Giải pt :, ( với x, y, z > 0 ) HD : Ta đổi khác về dạng ; ( x2 + 1 ) ( y2 + 2 ) ( z2 + 3 ) = 32 xyz Áp dụng BĐT Cô si ta có : Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : Vậy nghiệm cua pt là : ( 1 ; ) VD3 : Giải pt HD : ĐK Theo BĐT Bunnhiacopski ta có : Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : Vậy nghiệm của pt là. VD4 : Giải pt HD : ĐK x > 3, y > 1, z > 665. Ta viết pt lại dạng : Áp dụng BĐT Cô si cho từng cặp số ta có : Dấu “ = ” xãy ra khi : VD5 : Giải pt HD : ĐK : x > 0, y1 Dấu “ = ” xãy ra khi : x = 1 ; y = 2 hoặc x = 1 ; y = 0 Vậy nghiệm của pt là : ( 1 ; 2 ) ; ( 1 ; 0 ) VD6 : Giải pt HD : ĐK x1 Dấu “ = ” xãy ra khi : VD7 : Giải pt HD : Ta có : ĐK : x Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm ( 2 x + 1 ) và ( x2-x+1 ) ta có : Dấu “ = ” xãy ra khi : 2 x + 1 = x2-x+1 x ( x-3 ) = 0 Vậy pt có 2 n x = 0 ; x = 3 VD8 : Giải pt : ( 1 ) HD : Áp dụng BĐT Cô si ta có : Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có : x2-x+2x+1×2-2x+10 ( x-1 ) 20 x = 1 Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của pt. VD 9 : Giải pt ( 1 ) HD : ĐK Áp dụng BĐT Cô si ta có : Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có : x2-3x+4xx2-4x+40 ( x-2 ) 20 x = 2 Thử lại ta có x = 2 là nghiệm duy nhất của pt. VD 10 : Giải pt ( 1 ) HD : ĐK : 2×10 Áp dụng BĐT Cô si ta có : Mặt khác : VP = x2-12x+40 = ( x2-2. 6. x + 36 ) + 4 = ( x-6 ) 2 + 44 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) ta có dấu “ = ” xãy ra khi : x = 6 Thử lại ta có x = 6 là nghiệm duy nhất của pt. Cách 2 : Lưu ý đến bài toán phụ : Từ đó ta có VT = ( sau đó giải giống trên ) VD 11 : Giải pt HD : ĐK xy0. Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : Cách 2 : Đưa pt về dạng Ta có : VD 12 : Giải pt HD : ĐK – 1×1. Áp dụng BĐT Cô si ta có : Cộng ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) ta được : Áp dụng BĐT Cô si thêm một lần nữa ta được : Dấu “ = ” xãy ra khi và chỉ khi : Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0. Qua những ví dụ trên cho ta thấy BĐT hoàn toàn có thể vận dụng để giải những phương trình chứa căn thức dạng phức tạp. Nhờ điều kiện kèm theo dấu bằng xãy ra của BĐT ta tìm được nghệm của pt một cách thuận tiện hơn. Ta cũng hoàn toàn có thể gặp cách giải này ở hệ pt trình phức tạp sau này. Lời bình : Bài tập tương tự như : Giải những pt : HD : c ) Ta có VT = DẠNG 2 : GIẢI PT BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ HỆ PT Loại 1 : PT dạng ( I ) ( Với n = 2 ; 3 ) Cách giải : Đặt :, nếu pa ’ > 0 Đặt :, nếu pa ’ < 0 Đưa pt ( I ) về hệ pt đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng để giải. VD1 : Giải pt : ( 1 ) HD : ĐK : PT ( 1 ) trở thành : ( 2 ) Đặt :, ( ĐK : ) Kết hợp với đề bài ta có hệ pt : Trừ ( 1 ’ ) và ( 2 ’ ) ta được : + Thay x = y vào ( 1 ’ ) ta được :. + Thay vào ( 1 ’ ) ta được :. Vậy pt đã cho có nghiệm là :. VD2 : Giải pt : ( 1 ) HD : ĐK : PT ( 1 ) trở thành : ( 2 ) Đặt :, ( ĐK : ) Kết hợp với đề bài ta có hệ pt : Trừ ( 1 ’ ) và ( 2 ’ ) ta được : + Thay x = y vào ( 1 ’ ) ta được :. + Thay vào ( 1 ’ ) ta được :. Vậy pt đã cho có nghiệm là :. Bài tập tựa như : Giải những pt : Lời bình : Qua những ví dụ trên cho ta thấy rằng đôi lúc giải pt chứa căn thức cũng phải đưa về hệ phương trình mới hoàn toàn có thể giải được. Điều này giúp cho tất cả chúng ta có cách nhìn rộng hơn về những góc nhìn của một bài toán. Nó còn có nhiều cách nhìn tuyệt chiêu hơn nữa nhưng thời hạn có hạn nên tôi tạm đưa ra 1 số ít cách tiếp cận giải thuật của bài toán chứa căn thức thế thôi. Mong fan hâm mộ tự tìm hiểu và khám phá thêm. Ông bà ta thường nói : “ Lên non mới biết non cao, lội sông mới biết sông nào cạn sâu ”. NHẬN XÉT CỦA TỔ TRƯỞNG TỔ TOÁN NHẬN XÉT CỦA HĐKH TRƯỜNG trung học phổ thông LÊ THỊ RIÊNG NHẬN XÉT CỦA HĐKH SỞ GD-ĐT BẠC LIÊU : File đính kèm :
- CHUYEN DE PT CHUA CAN THUC.doc
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận