II.MÔ TẢ GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI:
1/ Thuyết minh :
Thực hiện đề tài này, tôi sử dụng các phương pháp sau đây:
– Phương pháp nghiên cứu lý luận
– Phương pháp khảo sát thực tiễn
– Phương pháp phân tích
– Phương pháp tổng hợp
– Phương pháp khái quát hóa
– Phương pháp quan sát
– Phương pháp kiểm tra
– Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
2/Các phương pháp giải phương trình vô tỉ
1. Phương pháp nâng lên lũy thừa
a) Dạng 1: Û
Ví dụ. Giải phương trình: (1)
Giải: (1) Û
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 3
b) Dạng 2:
Ví dụ. Giải phương trình: (2)
Giải: Với điều kiện x ≥ 2. Ta có:
(2) Û
Û
Û
Û
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = 6
c) Dạng 3:
Ví dụ. Giải phương trình: (3)
Giải: Với điều kiện 7 ≤ x ≤ 12. Ta có:
(3) Û
Û
Û
Û 4(19x – x2 – 84) = x2 – 8x + 16
Û 76x – 4x2 – 336 – x2 + 8x – 16 = 0
Û 5x2 – 84x + 352 = 0
Û x1 = ; x2 = 8
Vậy: phương trình đã cho có hai nghiệm x1 = ; x2 = 8
d) Dạng 4:
Ví dụ. Giải phương trình: (4)
Giải: Với điều kiện x ≥ 4. Ta có:
(4) Û
Û
Û
Û
Û 45 + 14x + 14 = 0
Với x ≥ 4 Þ vế trái của phương trình luôn là một số dương Þ phương trình vô nghiệm
2. Phương pháp trị tuyệt đối hóa
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Giải: (1) Û
Với điều kiện x ≤ 8. Ta có:
(1) Û |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1) Þ 2 – x = 8 – x (vô nghiệm)
– Nếu 2 ≤ x ≤ 8: (1) Þ x – 2 = 8 – x Û x = 5
HD: Đáp số: x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình (2)
Giải: (2) Û
Û
Đặt y = (y ≥ 0) Þ phương trình đã cho trở thành:
– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y Û y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 Û y = 3
– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiệm)
Với y = 3 Û x + 1 = 9 Û x = 8
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm là x = 8
3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức
a) Chứng tỏ tập giá trị của hai vế là rời nhau, khi đó phương trình vô nghiệm
Ví dụ 1. Giải phương trình
Cách 1. điều kiện x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái: Þ vế trái luôn âm
Vế phải: ≥ 1 Þ vế phải luôn dương
Vậy: phương trình đã cho vô nghiệm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
Û
Û
Vế trái luôn là một số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 Þ phương trình vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải: Ta có (1) Û
Û
Ta có: Vế trái ≥. Dấu “=” xảy ra Û x = –1
Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra Û x = –1
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm x = –1
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số (tìm một nghiệm, chứng minh nghiệm đó là duy nhất)
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải: điều kiện x ≥
Dễ thấy x = 2 là một nghiệm của phương trình
– Nếu : VT =. Mà: VP >
– Nếu x > 2: VP = 2x2 + > 2.22 + =. VT <
Vậy: phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là x = 2
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải: Thử với x = 2. Ta có:
(1) Û
Nếu x > 2: VT < VP
Nếu x VP
Vậy: x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 3. Giải phương trình:
Giải: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Thật vậy: Với x < : và Þ .
Tương tự với < x < 2:
Ví dụ 4. Giải phương trình: (1)
Giải: (1)
Nếu 3x = –(2x + 1) Û x = thì các biểu thức trong căn ở hai vế bằng nhau. Vậy x = là một nghiệm của phương trình. Hơn nữa nghiệm của (1) nằm trong khoảng. Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất.
Với : 3x < –2x – 1 < 0
Þ (3x)2 > (2x + 1)2 Þ
Suy ra: Þ (1) không có nghiệm trong khoảng này. Chứng minh tương tự, ta cũng đi đến kết luận (1) không có nghiệm khi
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt
Ví dụ. Giải phương trình
Giải: điều kiện
Áp dụng bất đẳng thức với ab > 0
Với điều kiện. Nên:
. Dấu “=” xảy ra Û
Û
4. Phương pháp đưa về phương trình tích
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Giải. ĐK: x ≥ 2. Để ý thấy: (2x + 1) – (x – 2) = x + 3. Do đó, nhân lượng liên hợp vào hai vế của phương trình:
Û Þ PT vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: | x | ≤ 1: (1) Û
Û x1 = 0; x2 =
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Giải. Chú ý: x4 – 1 = (x – 1)(x3 + x2 + x + 1).
(1) Û Û x = 2
5. Phương pháp đặt ẩn phụ
a) Sử dụng một ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Giải. Đặt = y (y ≥ 0)
Þy2 = x + 1 Û x = y2 – 1 Û x2 = (y2 – 1)2
Þ (2) Û (y2 – 1)2 + y – 1 = 0 Û y(y - 1)(y2 + y - 1) = 0.
Từ đó suy ra tập nghiệm của phương trình là:
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
HD: ĐK: x ≥ 1. Đặt = y
(1) Û
Û y3 + y2 – 2 = 0
Û (y – 1)(y2 + 2y + 2) = 0 Û y = 1 Û x = 1
b) Sử dụng hai ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 (3)
Giải. Đặt u =, v = (ĐK: x ≥ -1, u ≥ 0, v ≥ 0). Khi đó:
u2 = x + 1, v2 = x2 – x + 1, u2v2 = x3 + 1. Þ (3) Û 2(u2 + v2) = 5uv Û (2u - v)(u - 2v) = 0
Giải ra, xác định x. Kết quả là: x Î
Ví dụ 2. Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: x ≥ –2. (1) Û
Đặt: = u, = v (u, v ≥ 0)Þ u2 – v2 = 3. (1) Û (a – b)(1 + ab) = a2 – b2
Û (a – b)(1 – a + ab – b) = 0 Û (a – b)(1 – a)(1 – b) = 0
Giải ra: x = –1 là nghiệm duy nhất
Ví dụ 3. Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: x ≥ 0. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0): (1)
Û b – a = a2 – b2 Û (a – b)(a + b + 1) = 0
Mà a + b + 1 > 0 Þ a = b Û x = là nghiệm duy nhất của phương trình.
Ví dụ 4. Giải phương trình: (1)
Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0)
(1) Û Û u – (v2 – u2) – v = 0
Û (u – v)(1 + u + v) = 0. Vì 1 + u + b > 0 nên: u = v. Giải ra ta được: x = 2
c) Sử dụng ba ẩn phụ
Ví dụ 1. Giải phương trình: (1)
Giải. ĐK: x ≥ 2. (1) Û
Đặt: = a, = b, = c (a, b, c ≥ 0): (1) Û ab + c = b + ac
Û (a – 1)(b – c) = 0
Û a = 1 hoặc b = c. Thay ngược trở lại ta được x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2. Giải phương trình :
Giải. Đặt : ; ; (u ; v ; t ≥ 0)
Þ x = 2 − u2 = 3 − v2 = 5 − t2 = uv + vt + tu
Từ đó ta có hệ:
Nhân từng vế của (1), (2), (3) ta có : [ (u + v)(v + t)(t + u) ]2 = 30
Vì u ; v ; t ≥ 0 nên: (4)
Kết hợp (4) với lần lượt (1) ; (2) ; (3) dẫn đến:
Cộng từng vế của (5) ; (6) ; (7) ta có:
(8)
Kết hợp (8) với lần lượt (5) ; (6) ; (7) ta có:
d) Sử dụng ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Ví dụ 1. Giải phương trình
Cách 1: Giải tương tự bài 1. Ta được x = 5
Cách 2: Đặt và. Ta có hệ: Û Û x = 5.
Ví dụ 2. Giải phương trình:
Giải. ĐK: 0 ≤ x ≤ 25. Đặt = u, (u, v ≥ 0):
ÞGiải ra ta có x = 1 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 3. Giải phương trình:
Giải. ĐK: –3 ≤ x ≤ 3: Đặt = u, = v (u, v ≥ 0)
Þ Û. Thế ngược trở lại: x = 0 là nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
Giải. ĐK: – 4 ≤ x ≤ 1. Đặt (u, v ≥ 0)
Þ Þ
Ví dụ 5. Giải phương trình:
Giải. ĐK: –2 ≤ x ≤ 2: Đặt (u, v ≥ 0) Þ
Giải ra ta được: (a, b) = {(0 ; 2), (2 ; 0)}. Từ đó thế ngược trở lại: x = ±2
Ví dụ 6. Giải phương trình: (1)
Giải. Đặt = u, = v (u, v ≥ 0)
Þ (1) Û
Ví dụ 7. Giải phương trình:
Giải. Đặt (1)
Û
Þ kết quả
6. Giải và biện luận phương trình vô tỉ
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình:
Giải. Ta có: Û
– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û ≥ m
+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 4 Û
+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 4 Û m ≤ –2
Tóm lại:
– Nếu m ≤ –2 hoặc 0 < m ≤ 2: phương trình có một nghiệm
– Nếu –2 2: phương trình vô nghiệm
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình với m là tham số:
Giải. Ta có:
– Nếu m = 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m ≠ 0:. Điều kiện để có nghiệm: x ≥ m Û
+ Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 Û m2 ≤ 3 Û
+ Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 Û m2 ≥ 3 Û m ≤
Tóm lại:
– Nếu hoặc. Phương trình có một nghiệm:
– Nếu hoặc : phương trình vô nghiệm
Ví dụ 3. Giải và biện luận theo tham số m phương trình:
Giải. Điều kiện: x ≥ 0
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiệm
– Nếu m = 0: phương trình trở thành Þ có hai nghiệm: x1 = 0, x2 = 1
– Nếu m > 0: phương trình đã cho tương đương với
+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiệm: x1 = m; x2 =
+ Nếu m > 1: phương trình có một nghiệm: x = m
C.Một số sai lầm thường mắc phải
Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy:
1. Khi gặp bài toán:
Giải phương trình = x - 2 (1)
Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau
điều kiện pt(1) là x (*)
(1) 2x - 3 = x2 - 4x + 4
x2 - 6x + 7 = 0
Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + và x = 3 - .
Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - bị loại .
Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + .
Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + và x = 3 - .
Theo tôi cách giải vừa nêu trên rất phức tạp ở việc thay giá trị của nghiệm vào phương trình ban đầu để thử sau đó loại bỏ nghiệm ngoại lai và dễ dẫn đến sai lầm của một số học sinh khi lấy nghiệm cuối cùng vì nhầm tưởng điều kiện x là điều kiện cần và đủ.
2. Khi gặp bài toán:
Giải phương trình =
Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải phương trình
Điều chú ý ở đây là học sinh cứ tìm cách để biểu thị hệ điều kiện của phương trình mà không biết rằng chỉ cần điều kiện x + 1 0 là điều kiện cần và đủ mà không cần đặt đồng thời cả hai điều kiện .
3. Khi gặp bài toán:
Giải phương trình (x + 1) = 0
Một số HS đã có lời giải sai như sau:
Ta có: (x + 1) = 0 ó ó
Nhận xét: Đây là một bài toán hết sức đơn giản nhưng nếu giải như vậy thì đã mắc một sai lầm mà không đáng có. Rõ ràng x = - 1 không phải là nghiệm của phương trình trên.
Chú ý rằng:
ở đây đã bị bỏ qua mất điều kiện là: B ≥ 0 (x ≥ 2).
4. Khi gặp bài toán:
Giải phương trình = x2 -2x+3
Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được kết quả cuối cùng vì phương trình bậc bốn chưa có cách giải cụ thể đối với học sinh bậc phổ thông .
5. Khi gặp bài toán: Giải phương trình
(x+2) = x+1
Một số HS đã có lời giải sai như sau:
Ta có: (x+2) = x+1 =x+1
(vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét: Rỏ ràng x = -3 là nghiệm của phương trình. Lời giải trên đã làm cho bài toán có nghiệm trở thành vô nghiệm.
Cần chú ý rằng:
Lời giải trên đã xét thiếu trường hợp A < 0; B < 0
Lúc này vai trò của người giáo viên là rất quan trọng, phải hướng dẫn chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán, nên giải như thế nào cho hợp lý đối với từng loại toán để được một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận có logic tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ
1/ Giải pháp 1:
* Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1 : = g(x) (1)
a, Phương pháp:
Giáo viên: chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm
pt = g(x)
Điều kiện gx) 0 là điều kiện cần và đủ vì f(x) = g2(x) 0. Không cần đặt thêm điều kiện fx) 0
b, Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Giải phương trình
= x -2. (1)
Điều kiện x 2 (*)
(Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 2x - 1 0)
Khi đó pt(1) 2x - 1 = (x - 2)2
x2 - 4x + 4= 2x - 1
x2 - 6x + 5 = 0
đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương
trình (1) là x = 5
! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x 2 (*) để
lấy nghiệm.
+ Ví dụ 2: Giải phương trình
= x-1. (2)
.Nhận xét :
Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 2x2- x -1 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
Ta có thể giải như sau:
. Điều kiện: x 1 (**)
Khi đó pt(2) 2x2 - x - 1 = (x -1)2
2x2 - x - 1 = x2 - 2x + 1
x2 + x -2 = 0 x+2)(x-1)=0
đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm pt(2) là x = 1
*Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?
2/ Giải pháp 2
* Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2:. (2)
a. Phương pháp:
Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi
pt(2)
Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) và f(x) vì f(x) = g(x) .
b. Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Giải phương trình
=, (1)
.Điều kiện x -1, (*)
pt (1) x + 1 = 2x -7
x = 8 (thoả mãn với điều kiện (*) )
Vậy nghiệm của phương trình là x = 8 .
! Lưu ý: Điều kiện x -1, (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình.
+ Ví dụ 2: Giải phương trình
=, (2)
. Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm.
. ĐK: x, (*).
pt(2) x2 - x +1 = 2x -1
x2 - 3x -+2 = 0
Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = 1 và x=2.
+ Ví dụ 3: Giải phương trình = (*)
Tóm tắt bài giải
(*) (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
3/ Giải pháp 3 :
Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình không mẫu mực
(Phương trình không tường minh).
+ Ví dụ1: Giải phương trình
- = 1 (2)
Điều kiện x (**)
Chuyển vế và bình phương hai vế ta được
pt(2) = 1+
với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm, bình phương hai vế ta được.
2x + 1 = x + 1 + 2
x= 2 tiếp tục bình phương hai vế
x2 = 4x
(thoả mãn điều kiện (**))
Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 V x = 4.
+ Ví dụ2 :
Giải phương trình : 2 + = +
Lời giải : Ta có
Pt 2 + = 2 +
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau
Ta có : 2 + = +
2 + = 2 +
= x=2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho nhưng.
Chú ý rằng:
+ Ví dụ 3: Giải phương trình
= (3)
Hướng dẫn : Đk (***)
! Lưu ý: Hệ điều kiện (***) rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.
Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được
pt(3) 7 - x2 + x = 3 - 2x - x2
x = - 2x - 4
x = -1
Thay giá trị của x = -1 vào hệ ĐK (***), thoả mãn
Vậy nghiệm của phương trình là x = -1
+ Ví dụ4 : Giải phương trình
+ = 3x + 2 - 16, (4)
HD: Điều kiện x -1 (****)
NX: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương trình ta cũng không thu được kết quả thuận lợi khi giải nên ta có thể giải như sau.
Đặt + = t, (ĐK: t 0)
3x + 2 = t2 - 4
pt(4) t2 - t - 20 = 0 t = 5 (nhận) V t = - 4 (loại)
. Với t = 5 2 =21 - 3x ( là phương trình thuộc dạng 1)
x = 118 - (thoả mãn ĐK)
Vậy nghiệm phương trình là x = 118 -
+ Ví dụ 5: Giải phương trình
x2 – 7x + 12 =
Lời giải sai: Ta có
x2 – 7x + 12 =
(x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) =
Giải (1) = (x-3)(x-4)
Giải (2) = (x-3)(x-4)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2 v x = 3 v x = 7.
Nhân xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:
Lời giải sai:
Ta có: x2 – 7x + 12 =
(x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) =
= (x-3)(x-4)
Giải ta có
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7.
HS có thể kết luận với x =3 và x = 7 là hai nghiệm thoả mãn của phương trình. Mà không ngờ rằng phương trình đã cho còn có một nghiệm nữa là x = 2 cũng thoả mãn.
Chú ý rằng:
Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0
Bài tập
Giải phương trình
a. = 2x-5
b. =
c. +x-4 = 0
HD: Biến đổi theo dạng 1 và dạng 2
2. Giải phương trình: x2 - x + = 1
HD: Đặt t = (t)
ĐS: x = 0 v x = 1
3. Giải phương trình: + =
HD: Đặt đk sau đó bình phương hai vế
ĐS: x = 2
4. Giải phương trình:
HD :
ĐS : Nghiệm phương trình là : x = -3.
5. Giải phương trình:
HD:
ĐS: Nghiệm của phương trình là: x = 14
6. Giải phương trình: + = +
7. Giải phương trình: + = 4
8. Giải phương trình: x + = 2
9. Giải phương trình: x2 + 3x + 1 = (x + 3)
10. Giải phương trình: (4x - 1) = 2x3 + 2x +1
11. Giải phương trình: x2 - 1 = 2x
12. Giải phương trình: x2 + 4x = (x + 2)
Để lại một bình luận