Bảng các công thức đạo hàm cơ bản

Kiến thức đạo hàm không chỉ phụ vụ ôn thi học kì lớp 11 mà còn được ứng dụng khá nhiều trong thực tiễn, ngoài những là kiến thức và kỹ năng vô cùng quan trọng để bạn học tốt chương khảo sát hàm số lớp 12. Vì vậy, Nztech đã tìm hiểu và khám phá, tổng hợp sau đó biên soạn được bảng những công thức đạo hàm lớp 11 phần đại số bám sát theo chương trình sách giáo khoa toán lớp 11 bậc trung học phổ thông của bộ giáo dục và giảng dạy. Đây được coi là tài liệu giúp bạn hệ thống hóa những kỹ năng và kiến thức .

1. Những quy tắc đạo hàm cần nhớ 

Ta có 2 trường hợp là hàm cơ bản và hàm hợp

1.1 Quy tắc với hàm căn bản

Gọi a = a ( x ) và b = b ( x ) là những hàm số có thỏa mãn nhu cầu định nghĩa đạo hàm tại x nằm trong tập xác lập đã biết. Khi đó

• Quy tắc 1: k’ = 0, với k = const
• Quy tắc 2: (a + b)’ = a’ + b’
• Quy tắc 3: (a – b)’ = a’ – b’
• Quy tắc 4: (a.b)’ = a’b + ab’
• Quy tắc 5: $\left( {\frac{a}{b}} \right)’ = \frac{{a’b – ab’}}{{{v^2}}}$ với (b(x) ≠ 0)

Kiến thức mở rộng

• Mở rộng quy tắc 2: ( u1 + u2 + u3 + … un ) ’ = ( u1 ) ’ + ( u2 ) ’ + ( u2 ) ’ + …. ( un ) ’
• Kết hợp quy tắc 1 và 2: (ku)’ = ku’, với k = const
• Mở rộng quy tắc 5: $\left( {\frac{1}{u}} \right)’ = \frac{{ – u’}}{u},$ với u(x) ≠ 0

1.2 Quy tắc với hàm hợp

Giả sử hàm y = f ( v ), với v = v ( x )
Thì đạo hàm của y theo x là y ’ = ( fx ) ’. ( vx ) ’ ( 1.2 )
Dựa vào quy tắc ( 1.2 ) ta suy ra hệ quả quan trọng sau : ( vn ) ’ = n.vn – 1. v ’

2. Bảng các công thức đạo hàm

Dựa vào 2 quy tắc hàm hợp và hàm cơ bản trên ta có bảng công thức đạo hàm cần nhớ sau

3. Bài tập

Ví dụ: Hãy tính đạo hàm cơ bản sau

a ) USD y = \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 3 x + 1 } USD
b ) USD y = \ sqrt [ 5 ] { { \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 1 } + 3 x + 2 } } USD
Lời giải
a ) USD y ’ = \ frac { { ( 2 { x ^ 2 } + 3 x + 1 ) ’ } } { { 2 \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 3 x + 1 } } } = \ frac { { 4 x + 3 } } { { 2 \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 3 x + 1 } } } USD
b ) USD y ’ = \ frac { 1 } { { 5. \ sqrt [ 5 ] { { { { ( \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 1 } + 3 x + 2 ) } ^ 4 } } } } } ( \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 1 } + 3 x + 2 ) ’ USD
USD = \ frac { 1 } { { 5. \ sqrt [ 5 ] { { { { ( \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 1 } + 3 x + 2 ) } ^ 4 } } } } } ( \ frac { { 2 x } } { { \ sqrt { 2 { x ^ 2 } + 1 } } } + 3 ) USD

Ví dụ 2: Hãy tính đạo hàm của hàm lượng giác sau

a ) USD y = \ sqrt { 2 { { \ sin } ^ 2 } ( 2 x – 1 ) + \ cos \ sqrt x } USD
b ) USD y = \ tan ( { \ sin ^ 2 } 3 x ) + \ sqrt { { { \ cot } ^ 2 } ( 1 – 2 { x ^ 3 } ) + 3 } USD
c ) USD y = \ sqrt [ 3 ] { { \ sin ( \ tan x ) + \ cos ( \ cot x ) } } USD
Lời giải

a) $y’ = \frac{{(2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x )’}}{{2\sqrt {2{{\sin }^2}(2x – 1) + \cos \sqrt x } }}$

USD = \ frac { { 2 \ sin ( 4 x – 2 ) – \ frac { 1 } { { 2 \ sqrt x } } \ sin \ sqrt x } } { { 2 \ sqrt { 2 { { \ sin } ^ 2 } ( 2 x – 1 ) + \ cos \ sqrt x } } } USD
USD = \ frac { { 4 \ sqrt x \ sin ( 4 x – 2 ) – \ sin \ sqrt x } } { { 4 \ sqrt { 2 x { { \ sin } ^ 2 } ( 2 x – 1 ) + x \ cos \ sqrt x } } } USD
b ) USD y ’ = [ 1 + { \ tan ^ 2 } ( { \ sin ^ 2 } 3 x ) ] ( { \ sin ^ 2 } 3 x ) ’ + \ frac { { [ { { \ cot } ^ 2 } ( 1 – 2 { x ^ 3 } ) + 3 ] ’ } } { { 2 \ sqrt { { { \ cot } ^ 2 } ( 1 – 2 { x ^ 3 } ) + 3 } } } USD
USD = 3 [ 1 + { \ tan ^ 2 } ( { \ sin ^ 2 } 3 x ) ] \ sin 6 x + \ frac { { 6 { x ^ 2 } { \ rm { [ } } 1 + { { \ cot } ^ 2 } ( 1 – 2 { x ^ 3 } ) { \ rm { ] } } \ cot ( 1 – 2 { x ^ 3 } ) } } { { \ sqrt { { { \ cot } ^ 2 } ( 1 – 2 { x ^ 3 } ) + 3 } } } USD
c ) USD y ’ = \ frac { { [ \ sin ( \ tan x ) + \ cos ( \ cot x ) ] ’ } } { { 3 \ sqrt { { { [ \ sin ( \ tan x ) + \ cos ( \ cot x ) ] } ^ 2 } } } } USD
USD = \ frac { { ( 1 + { { \ tan } ^ 2 } x ) \ cos ( \ tan x ) + ( 1 + { { \ cot } ^ 2 } x ) \ sin ( \ cot x ) } } { { 3 \ sqrt { { { [ \ sin ( \ tan x ) + \ cos ( \ cot x ) ] } ^ 2 } } } } USD

Ví dụ 3: Hãy tính đạo hàm $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3}\sin \frac{1}{x}{\rm{ khi }}x \ne 0\\ 0{\rm{ khi }}x = 0{\rm{ }} \end{array} \right.$

Lời giải
USD x \ ne 0 \ Rightarrow f ‘ ( x ) = 3 { x ^ 2 } \ sin \ frac { 1 } { x } – x \ cos \ frac { 1 } { x } USD
Với USD x = 0 \ Rightarrow f ‘ ( 0 ) = \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to 0 } \ frac { { f ( x ) – f ( 0 ) } } { x } = 0 USD
Vậy là USD f ‘ ( x ) = \ left \ { \ begin { array } { l } 3 { x ^ 2 } \ sin \ frac { 1 } { x } – x \ cos \ frac { 1 } { x } { \ rm { khi } } x \ ne 0 \ \ 0 { \ rm { khi } } x = 0 \ end { array } \ right. USD

Ví dụ 4: Tìm a, b để các hàm số sau có đạo hàm trên R: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^2} – x + 1{\rm{ }}\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ – {x^2} + ax + b{\rm{ khi }}x > 1 \end{array} \right.$

Lời giải
Với x ≠ 1 thì hàm số luôn có đạo hàm
Do đó hàm số có đạo hàm trên R < => hàm số có đạo hàm tại x = 1 .
Do đó : USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ – } } f ( x ) = 1 ; { \ rm { } } \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ + } } f ( x ) = a + b – 1 USD
Hàm số liên tục trên R : USD \ Leftrightarrow a + b – 1 = 1 \ Leftrightarrow a + b = 2 USD
Khi đó : USD \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ to { 1 ^ – } } \ frac { { f ( x ) – f ( 1 ) } } { { x – 1 } } = 1 ; { \ rm { } } USD

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{f(x) – f(1)}}{{x – 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ – {x^2} + ax + 1 – a}}{{x – 1}} = a – 2$

Nên hàm số có đạo hàm trên R thì USD \ left \ { \ begin { array } { l } a + b = 2 \ \ a – 2 = 1 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a = 3 \ \ b = – 1 \ end { array } \ right. USD
Giống như toàn bộ những chủ đề khác, muốn nhớ lâu những công thức đạo hàm thì tiên phong bạn cần phải có thái độ học tập nghiêm tục, ham học. Ghi những công thức cơ bản ra, sau khi thuộc cơ bản thì ghi những công thức hàm hợp. Khi những công thức đã nhớ rõ thì mới chuyển sang phần bài tập. Tất nhiên bài tập bạn cũng phải làm từ cơ bản tới nâng cao
Trên đây là những san sẻ về những công thức đạo hàm và cách học sao cho hiệu suất cao. Hy vọng tài liệu này hữu dụng với bạn trong quy trình ôn luyện. Chúc bạn học tập tốt và nhớ quay lại trang Nztech nhé

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật