Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để xác lập góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong khoảng trống Oxyz ta có 2 cách. 1 cách bạn được học trong hình học khoảng trống lớp 11 và 1 cách bạn được học ở hình học khoảng trống tọa độ lớp 12. Tùy theo dữ kiện bài toán cho mà ta sử dụng cách 1 hoặc cách 2. Bài viết này sẽ mạng lưới hệ thống khá đầy đủ kim chỉ nan của 2 cách và bài tập minh họa có giải thuật chi tiết cụ thể .

A. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, có đường thẳng a và mặt phẳng (Q)

1. Định nghĩa

Gọi a ’ là hình chiếu của a xuống mặt phẳng ( Q. ), góc φ được tạo bởi giữa hai đường thẳng a và a ’ chính là góc của đường thẳng a và mặt phẳng ( Q. ) .

• Nếu a ⊥ (Q) thì $\widehat {\left( {a,\left( Q \right)} \right)}$ = 900.
• Góc tạo bởi giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thỏa mãn: 00 ≤ $\widehat {\left( {a,\left( Q \right)} \right)}$ ≤ 900.

2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 11

Để xác lập được góc giữa mặt phẳng ( Q. ) và đường thẳng a thì ta làm như sau :

• Bước 1: Tìm giao điểm O = a ∩ (Q)
• Bước 2: Dựng hình chiếu A’ của một điểm A ∈ a xuống (Q)
• Bước 3: Góc \(\widehat {AOA’} = \varphi \) chính là góc giữa đường thẳng a và (Q).

Để dựng hình chiếu A ’ của điểm A trên ( Q. ) ta chọn một đường thẳng b ⊥ ( Q. ) khi đó AA ’ / / b .
Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ΔOAA ’

2. Công thức xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình học 12

Công thức : USD sin \ varphi = \ sin \ left ( { \ widehat { a, ( Q. ) } } \ right ) = \ left | { \ cos \ left ( { \ overrightarrow n ; \ overrightarrow u } \ right ) } \ right | = \ frac { { \ left | { \ vec u. \ vec n } \ right | } } { { \ left | { \ vec u } \ right | \ left | { \ vec n } \ right | } } USD
Trong đó :

• ${\overrightarrow n }$ là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (Q).
• ${\overrightarrow u }$ là vecto chỉ phương của đường thẳng a.

Nếu như VTPT của ( Q. ) : USD { \ overrightarrow n } USD = ( A ; B ; C ) và VTCP của a : USD { \ overrightarrow u } USD = ( a ; b ; c ) thì góc được xác lập theo công thức :
\ [ sin \ varphi = \ frac { { \ left | { A.a + B.b + C.c } \ right | } } { { \ sqrt { { A ^ 2 } + { B ^ 2 } + { C ^ 2 } }. \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } } } } ( * ) \ ]

B. Bài tập có lời giải chi tiết

Bài tập 1. Cho đường thẳng a: $\frac{{x + 1}}{{ – 3}} = \frac{{y + 5}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}$ và mặt phẳng (Q): x – 2y + z + 4 = 0. Hãy tính góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải
Theo đề bài :

• đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$  = ( – 3; 1; 2)
• mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$  = ( 1; – 2; 1)

Góc giữa mặt phẳng ( Q. ) và đường thẳng a :
USD sin \ varphi = \ frac { { \ left | { 1. \ left ( { – 3 } \ right ) + \ left ( { – 2 } \ right ). 1 + 1.2 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { 1 ^ 2 } }. \ sqrt { { { \ left ( { – 3 } \ right ) } ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = \ frac { { \ sqrt { 21 } } } { { 14 } } USD
Kết luận : φ ≈ 190 .

Bài tập 2. Trong không gian Oxyz có đường thẳng d: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\\ {y = 1 – 2t}\\ {z = – 3 + t} \end{array}} \right.$ và mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải
Theo đề bài :

• đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$  = ( – 1; – 2; 1)
• mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$  = ( – 1; 1; – 2)

Áp dụng công thức ( * ) :
USD sin \ varphi = \ frac { { \ left | { \ left ( { – 1 } \ right ). \ left ( { – 1 } \ right ) + 1. \ left ( { – 2 } \ right ) + \ left ( { – 2 } \ right ). 1 } \ right | } } { { \ sqrt { { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( 1 \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } }. \ sqrt { { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ frac { 1 } { 2 } USD
Kết luận : φ = 300 .

Bài tập 3. Trong không gian Oxyz có 1 đường thẳng a và mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng d: $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 – mt\\ y = 1 – 2t\\ z = – 3 + t \end{array} \right.$ và phương trình mặt phẳng (Q): – x + y – 2z + 3 = 0. Tìm m để góc tạo bởi a và (Q) bằng 300.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài:

• đường thẳng a có vecto chỉ phương: ${\overrightarrow u }$  = ( – m; – 2; 1)
• mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến: ${\overrightarrow n }$  = ( – 1; 1; – 2)
• $\widehat {a,(Q)} = {30^0}$ $ \Rightarrow \sin \left( {\widehat {a,(Q)}} \right)$$ = \sin \left( {{{30}^0}} \right) = \frac{1}{2}$

Áp dụng công thức ( * ) :

$\frac{1}{2} = \frac{{\left| {\left( { – 1} \right).\left( { – m} \right) + 1.\left( { – 2} \right) + \left( { – 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( 1 \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { – m} \right)}^2} + {{\left( { – 2} \right)}^2} + {1^2}} }}$
$ \Leftrightarrow \frac{1}{2} = \frac{{\left| {m – 4} \right|}}{{\sqrt 6 .\sqrt {{m^2} + 5} }} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 1\\ m = – 17 \end{array} \right.$

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật