Cách tính phương trình tiếp tuyến

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay

Trang trước Trang sau

Bài giảng: Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên Tôi)

Quảng cáo

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ) và điểm. M0 ( x0 ; y0 ) ( C )
Tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 có dạng y = f ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0
Trong đó :

Điểm M0 (x0; y0) (C) được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f(x0)).

k = f’x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Chú ý:

Đường thẳng bất kể đi qua M0 ( x0 ; y0 ) có thông số góc k, có phương trình
y = k ( x – x0 ) + y0
Cho hai đường thẳng Δ1 : y = k1 x + m1 và Δ2 : y = k2 x + mét vuông

Lúc đó:

2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số y = f ( x ), ( C ) và y = g ( x ), ( C ‘ )
( C ) và ( C ‘ ) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó .

Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi hệ có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp

Cho hàm số y = f ( x ) gọi đồ thị của hàm số là ( C )

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M0 (x0; y0)

Phương pháp

Bước 1. Tính y ‘ = f ‘ ( x ) suy ra thông số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y ‘ ( x0 ) .
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) tại điểm M0 ( x0 ; y0 ) có dạng
y – y0 = f ‘ ( x0 ) ( x – x0 )

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M0 ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm và tính y ‘ = f ‘ ( x ) .
Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f ‘ ( x0 ). . Giải phương trình này tìm được x0 thay vào hàm số được y0 .
Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được những tiếp tuyến tương ứng
d : y – y0 = f ‘ ( x0 ) ( x – x0 )

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ : y = ax + b thông số góc của tiếp tuyến là k = a
Tiếp tuyến d Δ : y = ax + b ( a 0 ) thông số góc của tiếp tuyến là k = – 1 / a
Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì thông số góc của tiếp tuyến d là k = ± tanα

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(xA; yA)

Phương pháp

Cách 1 .
Bước 1 : Phương trình tiếp tuyến đi qua A ( xA ; yA ) thông số góc k có dạng
d : y = k ( x – xA ) + yA ( * )
Bước 2 : là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :

Bước 3 : Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình ( * ), ta được tiếp tuyến cần tìm .
Cách 2 .
Bước 1. Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) là tiếp điểm và tính thông số góc tiếp tuyến
k = y ‘ ( x0 ) = f ‘ ( x0 ) theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0 ( * * ). Do điểm A ( xA ; yA ) d nên yA = y ‘ ( x0 ) ( xA – x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0 vào ( * * ) ta được tiếp tuyến cần tìm .

Quảng cáo

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x3 + 3×2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y ‘ = 3×2 + 6 x ; y ‘ ( 1 ) = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( 1 ; 4 ) là :
y = 9 ( x – 1 ) + 4 = 9 x – 5

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y ‘ = 12×2 – 12 x
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có dạng :
y = ( 12×02 – 12×0 > ) ( x – x0 ) + 4×03 – 6×02 + 1
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; – 9 ) nên ta có :
– 9 = ( 12×02 – 12×0 ) ( – 1 – x0 ) + 4×03 – 6×03 + 1

Với .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 ( x – 5/4 ) – 9/16 = 15/4 x – 21/4

Với x0 = -1 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24 ( x + 1 ) – 9 = 24 x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x – y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ : x – 2. Ta có y ‘ = 3 / ( x + 2 ) 2 .
Phương trình Δ : 3 x – y + 2 = 0 hay Δ : y = 3 x + 2
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 )
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ : 3 x – y + 2 = 0 nên ta có

Với x0 = -1

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x + 1 ) – 1 = 3 x + 2 ( loại ) .

Với x0 = -3

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x + 3 ) + 5 = 3 x + 14 ( thỏa mãn nhu cầu )

Quảng cáo

Câu 1: Cho hàm số y = -2×3 + 6×2 – 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = – 6×2 + 12 x ; y ‘ ( 3 ) = – 18 ; y ( 3 ) = – 5
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là
y = – 18 ( x – 3 ) – 5 = – 18 x + 49

Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4×4 – 2×2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 > 0 biết rằng y” (x0 )= -1.

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = x3 – 4 x ; y ‘ ‘ = 3×2 – 4
Vì y ‘ ‘ ( x0 ) = – 1 3×02 – 4 = – 1 x02 = 1 x0 = 1 ( Vì x0 > 0 )
Với x0 = 1 y0 = – 7/4 ; y0 ‘ = – 3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là :
y = – 3 ( x – 1 ) – 7/4 = – 3 x + 5/4

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x – 5)/(-x + 1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Hiển thị đáp án
Hoành độ giao điểm của ( C ) và trục hoành là nghiệm của phương trình
( x – 5 ) / ( – x + 1 ) = 0 x = 5
Khi đó tọa độ điểm A = ( 5 ; 0 )
ĐKXĐ x 1. Ta có y ‘ = ( – 4 ) / ( – x + 1 ) 2 ; y ‘ ( 5 ) = – 1/4
Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A ( 5 ; 0 ) có dạng
y = – 1/4 ( x – 5 ) = – 1/4 x + 5 / 4

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x – 4×2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = 3 – 8 x
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có dạng :
y = ( 3 – 8×0 ) ( x – x0 ) + 3×0 – 4×02
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A ( 1 ; 3 ) nên ta có :
3 = ( 3 – 8×0 ) ( 1 – x0 ) + 3×0 – 4×02

Với x0 = 0 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 0 ) + 0 = 3 x

Với x0 = 2 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 13 ( x – 2 ) – 10 = – 13 x + 16

Câu 5: Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Hiển thị đáp án
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ‘ = 3×2 – 6 x + 6
Khi đó y ‘ ( x0 ) = 3×02 – 6×0 + 6 = 3 ( x02 – 2×0 + 2 ) = 3 [ ( x0 – 1 ) 2 + 1 ] 3
Vậy thông số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y ‘ ( x0 ) = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1

Với x0 = 1 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 1 ) + 5 = 3 x + 2

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x3 – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Hiển thị đáp án
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ‘ = 3×2 – 3

Khi đó y'(x0 ) = 3×02 – 3 = 9

Với x0 = 2 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 ( x – 2 ) + 4 = 9 x – 14

Với x0 = -2 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 ( x + 2 ) + 0 = 9 x + 18

Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7

Hiển thị đáp án
ĐKXĐ : x – 2. Ta có y ‘ = ( – 7 ) / ( x + 2 ) 2 .
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 )
Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d : y = – 1/7 x + 5/7 nên ta có

Với

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 1/7 ( x – 5 ) + 0 = – 1/7 x + 5/7 ( loại ) .

Với x0 = -9

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 1/7 ( x + 9 ) – 2 = – 1/7 x – 23/7 ( thỏa mãn nhu cầu ) .

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x4 – 2×2 + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x – 8y + 2017 = 0

Hiển thị đáp án
Ta có y ‘ = – 4×3 – 4 x .
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 )
Phương trình Δ : x – 8 y + 2017 = 0 hay Δ : y = 1/8 x + 2017 / 8
Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d : y = 1/8 x + 2017 / 8 nên ta có
y ‘ ( x0 ) = – 8 hay – 4×03 – 4×0 = – 8 x0 = 1

Với

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 8 ( x – 1 ) + 0 = – 8 x + 8 ( thỏa mãn nhu cầu ) .

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + 1/2 x2 – 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y – 1 = 0 một góc 450.

Hiển thị đáp án
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 ) .
Có y ‘ = x2 + x – 2
Phương trình đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 y = – 1/3 x + 1/3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 một góc 450 nên ta có

Với

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Với

x0 = 0 y ( x0 ) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x – 0 ) + 1 = – 2 x + 1
x0 = – 1 y ( x0 ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x + 1 ) + 19/6 = – 2 x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ;

y = – 2 x + 1 ; y = – 2 x + 7/6
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube Tôi

Trang trước Trang sau

Video liên quan