✅ Công thức tính diện tích mặt cầu ⭐️⭐️⭐️⭐️⭐

Đánh giá bài viết post

Diện tích mặt cầu:

Tính diện tích mặt cầu giúp bạn tính được diện tích mặt cầu bên trong hình cầu .

– Công thức

S = 4. π. r2 = π. d2
Trong đó :

• S là diện tích mặt cầu
• r là bán kính mặt cầu/hình cầu
• d là bánh kính mặt cầu/hình cầu

– Ví dụ

Mình sẽ hướng dẫn bạn cách tính diện tích mặt cầu trải qua ví dụ như sau : Cho một hình cầu có nửa đường kính từ tâm O dài 6 cm. Hỏi diện tích của mặt cầu là bao nhiêu ?
Áp dụng công thức trên, bạn hoàn toàn có thể tính được diện tích mặt cầu như sau :
S = 4. π. r2 = 4. π. 62 = 114. π cm2
Áp dụng công thức để tính toán

Ví dụ, bài tập tính thể diện tích mặt cầu

Cho một hình cầu có nửa đường kính nối từ tâm O dài 5 cm. Hỏi diện tích của mặt cầu này là bao nhiêu .

Áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu, hình cầu ở trên ta có bán kính r = 5cm. Suy ra diện tích mặt cầu này sẽ bằng:
S = 4 x π x r2 = 4 x π x 52 = 314 cm2
Đáp án sau khi tính diện tích mặt cầu là 314 cm2

Công thức tính thể tích hình cầu

– Giới thiệu

Tính thể tích hình cầu giúp bạn tính được dung tích của toàn bộ hình cầu trong hệ quy chiếu không gian.

Toàn bộ dung tích bên trong hình cầu

– Công thức

V = 4/3. π. r3 = 1/6. π. d3

Trong đó:

+ r: Bán kính hình cầu

+ π: Hằng số Pi (π = 3.14)

Công thức tính thể tích hình cầu

– Ví dụ

Cho một hình cầu có nửa đường kính từ tâm O dài 8 cm. Hỏi thể tích của hình cầu là bao nhiêu ?
Áp dụng công thức trên, bạn hoàn toàn có thể tính được thể tích hình cầu như sau :
V = 4/3. π. r3 = 4/3. π. 83 = 2144.7 cm3

Áp dụng theo bài toán trên nhưng biến hóa giá trị nửa đường kính nối từ tâm O ra mặt cầu bằng 7 cm. Hỏi thể tích hình cầu này bằng bao nhiêu ?

Ta có r = 7cm. Khi áp dụng giá trị bán kính vào công thức tính thể tích hình cầu, ta có.
V = 4/3 x π x r3 = 4/3 x π x 73 = 1436 cm3 hoặc 14,36 m3

Khái niệm hình cầu, mặt cầu

– Khái niệm hình cầu

Trong khoảng trống ba chiều, khi bạn xoay nửa hình tròn trụ có tâm O, nửa đường kính R một vòng quanh trục hay còn gọi là đường kính AB thì sẽ tạo thành một hình cầu .
Xoay nửa hình tròn quanh đường kính AB để tạo thành hình cầu

– Khái niệm mặt cầu

Trong khoảng trống ba chiều, mặt cầu là quỹ tích tập hợp những điểm cách đều một điểm O cố định và thắt chặt cho trước một khoảng chừng không đổi R .
Trong đó, O là tâm của hình cầu và khoảng cách R là nửa đường kính .
Bạn cũng hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm cách tính diện tích hình tròn trụ, chu vi hình tròn trụ .
Mặt cầu tâm O bán kính R

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nếu nó đi qua mọi đỉnh của hình chóp. Để tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, tất cả chúng ta cần xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp. Ngoài ra hoàn toàn có thể vận dụng giải pháp tính nhanh với một số ít dạng toán đơn cử .

Phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bước 1 : Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy, là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy .
Bước 2 : Xác định mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên .
Bước 3 : Giao điểm của trục của đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên ( hoặc trục của đường tròn ngoại tiếp mặt bên ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .
Trong một vài trường hợp đặc biệt quan trọng, hoàn toàn có thể có công thức tính nhanh diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn 1 cạnh AB góc 90 độ

Các đỉnh này không nằm trên cạnh đó ) dưới góc 90 độ, nửa đường kính đường tròn ngoại tiếp hình chóp đó : R = AB / 2, diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S = 2 π AB2
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC, đáy là hình tam giác ABC có góc B bằng 90 độ, cạnh SA vuông góc với đáy tại điểm A. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết SC = 2 a
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC : r = SC / 2 = a
=> Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC : S = 4 π a2
=> Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC : V = 4/3 π r3

Trường hợp 2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều SABC, SA = a

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC : r = SA2 / 2. SO
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC : S = 4 π R2 = 3/2 π a2
Trường hợp 3 : Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều đáy SABCD ,
Hình chóp tứ diện đều có ABCD là hình vuông vắn. O là tâm hình vuông vắn ABCD đồng thời là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD .
=> Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD : r = OD
Ví dụ : Cho hình chóp S ABCD là hình chóp tứ giác đều có toàn bộ những cạnh bằng a .
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD R= OD = (a √ 2)/2

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ diện đều SABCD S = 4 π R2 = 2 π a2

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương và mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Hình lập phương có cả mặt cầu ngoại tiếp và mặt cầu nội tiếp .

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a : r = ( a √ 3 ) / 2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a : S = 3 π a2
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a :
V = √ 3 / 2 π a3

Diện tích mặt cầu nội tiếp hình lập phương

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a : r = a / 2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a : S = π a2
Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a : V = ⅙ π a3

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B ’ C’D ’ có độ dài những cạnh lần lượt là a, b, h Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật : R = ( √ ( a2 + b2 + h2 ) ) / 2
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật : S = π ( a2 + b2 + h2 )

Tổng kết công thức tính diện tích mặt cầu

Cách tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B ’ C ’ có độ dài cạnh đáy = chiều cao = a Gọi O và O ’ lần lượt là trọng tâm của 2 đáy tam giác ABC và A’BC ’
=> Trung điểm I của đoạn OO ’ là trọng tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều ABC A’B ’ C ’
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều : R = IC = √ ( IO ’ 2 + O’C ; 2 ) = ( a √ 21 ) / 6
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ tam giác đều S = 4 π R2 = 7/3 πa2

Bài tập vận dụng tính diện tích mặt cầu và Thể tính khối cầu

* Bài 1 (Bài 10 trang 49 SGK Hình học 12): Cho hình chóp S.ABC có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

* Lời giải:

– Minh họa hình như sau :

– Ta gọi M là trung điểm của cạnh AB .
– Ta có, ΔSAB là tam giác vuông tại S có SM là đường trung tuyến nên :

⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB .
– Kẻ đường thẳng Δ qua M và vuông góc với mp ( SAB ), khi đó ta có :
Δ / / SC và Δ là trục đường tròn ngoại tiếp ΔSAB .
– Trong mp ( Δ, SC ), đường trung trực của SC cắt Δ tại điểm I .
– Ta có : IS = IC. ( 1 )
và IS = IB = IA ( 2 ) .
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra : IA = IB = IC = IS
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
– Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là :

Bài 2 (Bài 6 trang 50 SGK Hình học 12): Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ tâm O của hình vuông dựng đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Trên Δ lấy điểm S sao cho OS = a/2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.

* Lời giải:

– Hình minh họa như sau :

– Giả sử Δ là trục của hình vuông vắn ABCD, vậy tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD nằm trên Δ .
– ABCD là hình vuông vắn cạnh a nên ta có :

Bài 3 (Bài 3 trang 51 SGK Hình học 12): Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a, AB = b, AC = c. Mặt cầu đi qua các đỉnh A, B, C, S có bán kính r bằng bao nhiêu?

* Lời giải:

– Hình minh họa như sau :

– Gọi M là trung điểm của BC, khi đó MC = MB = MA ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC .
– Dựng Mt ⊥ ( ABC ) ta có : Mt / / SA và Mt là trục đường tròn ngoại tiếp ΔABC
– Trong mp ( SA, Mt ) đường trung trực của SA cắt Mt tại I, ta có :
IS = IA và IA = IB = IC
⇒ IS = IA = IB = IC
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

Đến đây nếu muốn tính diện tích mặt cầu tâm I nửa đường kính R hay thể tích mặt cầu tâm I nửa đường kính R ta chỉ việc vận dụng công thức là ra tác dụng .
Như vậy, việc vận dụng công thức tính diện tích mặt cầu mà thể tích khối cầu tương đối thuận tiện, tuy nhiên việc xác lập được nửa đường kính của mặt cầu hay nửa đường kính của khối cầu là điều không dễ .
Vì vậy, những em cần làm nhiều những bài tập tương quan để xác lập được nửa đường kính của mặt cầu, khối cầu từ đó mới vận dụng được công thức tất cả chúng ta có .
Cho hình chóp tam giác S ABC nội tiếp đường tròn, những cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và có kích cỡ lần lượt là : a, b, c. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC
Cách giải chi tiết cụ thể
Gọi M là trung điểm của cạnh AB
=> Tam giác SAB là tam giác vuông tại S
=> SM = MA = MB = ½ AB ( SM là đường trung tuyến )
=> M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Kẻ đường thẳng α qua M và vuông góc với mặt phẳng ( SAB ) Trong mặt phẳng tạo bởi α và SC, đường trung trực của SC cắt α tại điểm I
=> IS = IC ( 1 ) Mà IS = IA = IB ( 2 ) Suy ra IA = IB = IC = IS
=> I là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC, nửa đường kính IS = IA = IB = IC Ta có : SM = ½ AB = ½ √ ( SA2 + SB2 ) = ½ √ ( a2 + b2 ) IM = SC / 2 = c / 2 Bán kính R = IS = 50% AB = 50% √ ( a2 + b2 + h2 )

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là S = 4 π R2  = (a2 +b2 +c2)π

Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC là V = 4/3 π R3 = ⅙ π ( a2 + b2 + c2 ) 3/2
Để tính diện tích mặt cầu S tâm I nửa đường kính R ký hiệu ( I ; R ), và thể tích khối cầu ( hình cầu ) V tâm I nửa đường kính R ký hiệu ( I ; R ) tất cả chúng ta chỉ việc vận dụng công thức sau khi tính được nửa đường kính mặt cầu ,
Tuy nhiên, việc xác định tâm của mặt cầu và nửa đường kính của mặt cầu là không dễ và cần vận dụng qua nhiều bài học kinh nghiệm để tư duy tốt hơn trong những giải pháp tính. Ngoài ra, cần có kiến thức và kỹ năng tổng hợp về hình học để hoàn toàn có thể thành công xuất sắc với phong phú bài tập .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật