Bí kíp để tìm hiểu phương trình mặt cầu mà bạn không thể bỏ lỡ

Trong bài viết này, hãy cùng tìm hiểu thông tin chi tiết về phương trình mặt cầu và những dạng bài toán có thể gặp phải.

Phương trình mặt cầu là gì?

Khái niệm về phương trình mặt cầu : Cho điểm I cố định và thắt chặt và 1 số ít thực dương R. Tập hợp toàn bộ những điểm M trong khoảng trống cách I một khoảng chừng R được gọi là mặt cầu tâm I, nửa đường kính R .

Kí hiệu:  S( I;R ) => S( I;R ) = {M / IM = R}

Toán lớp 12 là môn học rất quan trọng. ( Ảnh : Internet )

Phương trình mặt cầu là một phần của hình học lớp 12

Phương trình mặt cầu có 2 dạng chính
Phương trình chính tắc của mặt cầu :
Mặt cầu ( S ) có tâm O ( a ; b ; c ), nửa đường kính R > 0 có phương trình là : ( S ) : ( x-a ) 2 + ( z-c ) 2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu :
( S ) : x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( * )
Điều kiện để phương trình ( * ) là phương trình mặt cầu : a2 + b2 + c2 – d = 0 .

S có tâm O(a;b;c) và bán kính R = a2 + b2 + c2 – d

Hai dạng phương trình mặt cầu trong không gian

Sau khi đã biết được khái niệm cơ bản của phương trình mặt cầu. Phần tiếp theo những bạn cần tìm hiểu và khám phá chính là những dạng phương trình mặt cầu trong khoảng trống .

1. Vị trí mặt cầu với mặt phẳng cho trước

Cho mặt cầu S ( I, R ) và mặt phẳng ( P ). Ký hiệu d là khoảng cách từ I đến ( P ). Ta có :

• Trường hợp 1 : Nếu d > R thì mặt phẳng ( P ) và mặt cầu ( S ) không có điểm chung .
• Trường hợp 2 : Nếu d = R thì mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ). Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc .
• Trường hợp 3 : Nếu d < _rc2a0_thc3ac_ _me1bab7_t = " " _phe1bab3_ngc2a0_28_p29_c2a0_ce1baaf_t = " " _ce1baa7_uc2a0_28_s29_c2a0_theo = " " giao = " " _tuye1babf_n = " " _lc3a0_ = " " _c491_c6b0_e1bb9d_ng = " " _trc3b2_n = " " _cc3b3_ = " " _bc3a1_n = " " _kc3ad_nh = " " r = " " > R2 + d2

Một trong hai dạng phương trình mặt cầu trong mặt phẳng khoảng trống ( Ảnh : Internet )

Bài tập ví dụ: Cho mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z − 7 = 0 và mặt cầu (S) : (x – 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 9 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (α) và tiếp xúc với (S). 

2. Vị trí mặt cầu với đường thẳng cho trước

Các dạng toán thường gặp :

Dạng 1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp :

• Cách 1 : Sử dụng triết lý vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu .
• Cách 2 : Xét phương trình giao điểm của đường thẳng và mặt cầu .

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với đường thẳng cho trước

Phương pháp :

• Bước 1 : Gọi phương trình mặt cầu ở dạng tổng quát
• Bước 2 : Xét phương trình giao điểm của d và ( S ). Điều kiện để mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng là phương trình giao điểm có nghiệm duy nhất .

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng có mối quan hệ với đường thẳng và mặt cầu

Phương pháp :

• Xác định điểm đi qua và véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, từ đó viết ra phương trình.

Bài tập ví dụ: Cho mặt phẳng (α):2x+y+3z+1=0(α):2x+y+3z+1=0 và đường thẳng dd có phương trình tham số:

d : ⎧ ⎩ ⎨ x = − 3 + ty = 2 − 2 tz = 1 d : { x = − 3 + ty = 2 − 2 tz = 1
Trong những mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. d ⊥ ( α )
B. d không vuông góc nhưng cắt ( α )

C. d // (α)

D. d ⊂ ( α )

Bài tập phương trình mặt cầu

Có 3 dạng toán về phương trình mặt cầu thường gặp nhất, đó là :

1. Xác định tâm của mặt cầu.
2. Xác định bán kính của mặt cầu.
3. Viết phương trình của mặt cầu.

Dưới đây là những ví dụ đơn cử cho dạng bài toán này .

Ví dụ về dạng bài xác định tâm và bán kính của mặt cầu

A. Phương pháp

( S ) : ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R2 tâm I ( a ; b ; c ) và nửa đường kính R
( S ) : x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 ( * ) là phương trình của một mặt cầu

<=> a2 + b2 + c2 – d > 0.

Khi đó ( S ) có tâm tâm I ( a ; b ; c ) và nửa đường kính R = a2 + b2 + c2 – d

B. Bài tập ví dụ:

Cho mặt cầu ( S ) : ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 6 ) 2 = 25. Tìm tâm I, nửa đường kính R của mặt cầu ( S ) .
A. I ( 1 ; 2 ; 6 ) ; R = 5 .
B. I ( – 1 ; – 2 ; – 6 ) ; R = 5 .
C. I ( 1 ; 2 ; 6 ) ; R = 25 .
D. I ( 1 ; 2 ; 6 ) ; R = ± 5 .
Chọn đáp án A

Ví dụ về dạng bài viết phương trình của mặt cầu

A. Phương pháp

Mặt cầu ( S ) có tâm I ( a, b, c ) và nửa đường kính R có phương trình :
( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 + ( z – c ) 2 = R2 .
Do đó, muốn viết được phương trình của mặt cầu thì cần phải xác lập được tâm I ( a, b, c ) và nửa đường kính R.
Chú ý :

Mặt cầu (S) có đường kính  và tâm  là trung điểm của AB.

Mặt cầu tâm I đi qua điểm A => R = IA .
Viết phương trình mặt cầu ( S ) đi qua 4 điểm A, B, C, D :
+ Giả sử ( S ) : x2 + y2 + z2 – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 .
Vì A, B, C, D ∈ S nên ta có hệ gồm 4 phương trình, 4 ẩn. Giải hệ này tìm được tâm và nửa đường kính của ( S ) .

B. Bài tập ví dụ:

Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 2 ; – 3 ) đi qua A ( 1 ; 0 ; 4 ) .
A. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 53 .
B. ( x + 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 53 .
C. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z – 3 ) 2 = 53 .
D. ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 53 .
Lời giải :
Mặt cầu có nửa đường kính R = I A =. ( 1-1 ) 2 + ( 0-2 ) 2 + ( 4 + 3 ) 2 = 53
Vậy phương trình mặt cầu là ( x – 1 ) 2 + ( y – 2 ) 2 + ( z + 3 ) 2 = 53 .

Vậy chọn đáp án D.

Trên đây là những thông tin chi tiết nhất về phương trình mặt cầu và những ví dụ cụ thể cho từng dạng bài riêng. Năm học mới sắp đến rồi, các bạn học sinh hãy học tập thật tốt để đạt được thứ hạng cao trong kỳ thi đại học sắp tới nhé.

Việt Nam lọt tốp 5 cuộc thi học sinh giỏi toán quốc tế tại Nam Phi: Ngoài việc lọt vào tốp 5 thế giới, các học sinh Việt Nam cũng nằm trong số ít các thí sinh dự thi có thể tự đọc và làm đề thi trực tiếp bằng tiếng Anh mà không cần phiên dịch trợ giúp.Ngoài việc lọt vào tốp 5 quốc tế, những học viên Nước Ta cũng nằm trong số ít những thí sinh dự thi hoàn toàn có thể tự đọc và làm đề thi trực tiếp bằng tiếng Anh mà không cần phiên dịch trợ giúp .TPHCM : Học phí năm học mới được giữ nguyên, khối tiểu học không thu học phí: (VOH) – Mức học phí của học sinh TPHCM được chia thành 2 nhóm theo khu vực quận, huyện. Riêng khối tiểu học không thu học phí.( VOH ) – Mức học phí của học viên Thành Phố Hồ Chí Minh được chia thành 2 nhóm theo khu vực Q., huyện. Riêng khối tiểu học không thu học phí .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp