Định lí Vi ét trong phương trình và ứng dụng – Toán Thầy Định

Bài viết dưới đây ra mắt đến bạn đọc định lí Vi ét và hướng dẫn những bạn 1 số ít ứng dụng của nó trong những bài toán về phương trình .

1. ĐỊNH LÍ VI ÉT (VIÈTE)

Định lý Vi ét  cho phương trình bậc hai:

Thuận:

Cho phương trình bậc hai ax²+bx+c=0 (a≠0) có hai nghiệm

. Khi đó:

Đảo:

Nếu S là tổng của hai số thực x và y, P là tích của hai số thực x và y thì x và y là những nghiệm của phương trình X²-SX+P = 0 ( nếu có ) .
Định lý Vi-ét cũng đúng so với phương trình đa thức bậc bất kể. Tuy nhiên trong chương trình đại trà phổ thông của ta thì nhiều lúc tất cả chúng ta mới dùng đến định lí vi ét cho phương trình bậc 3 bậc 4 là cao nhất .
Nội dung đơn cử như sau :

Định lí vi-ét cho phương trình bậc 3:

Cho phương trình bậc ba ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0) có ba nghiệm

. Khi đó:

Định lý Viets hòn đảo so với phương trình bậc 3 ít được sử dụng trong chương trình cơ bản. Vì vậy phần này những bạn tự tìm hiểu và khám phá thêm .

2. HỆ THỨC VI ÉT VÀ ỨNG DỤNG

Định lý Vi-et được sử dụng vào việc tìm nghiệm, tính những giá trị biểu thức tương quan đến nghiệm của phương trình đa thức bậc 2 bậc 3. Ngoài ra còn được dùng để nhẩm nghiệm .

Ví dụ 1:

Cho phương trình x²-2x-5 = 0. Không giải phương trình tính tổng những nghiệm của phương trình đã cho .
Lời giải :
Nhận xét rằng phương trình có 2 nghiệm trái dấu .
Áp dụng định lý Vi-ét suy ra tổng hai nghiệm của phương trình là 2 .

Ví dụ 2:

Biết rằng phương trình x²-2 ( m + 2 ) x + m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt a và b. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b không phụ thuộc vào vào m .
Lời giải :
Áp dụng định lý Vi-et ta có :

a+b=2(m+2) và ab=m+10

Sử dụng phép thế suy ra :
a + b = 2 ( ab-10+2 )
Hay rút gọn ta được
a + b-2ab+16 = 0

Ví dụ 3:

Cho phương trình x² – ( 2 m – 1 ) x + m² + 1 = 0. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt a và b thỏa mãn nhu cầu
a ( 1 + b ) = – 1 – b
Lời giải :
Ta thấy đẳng thức trong đề bài có “ dáng dấp ” định lý Vi-ét .
Tuy nhiên để vận dụng được ta phải tìm điều kiện kèm theo để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt đã .
Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì
Δ = ( 2 m – 1 ) ²-4 ( m² + 1 ) > 0
Hay rút gọn ta được
m < - 3/4 . Từ đẳng thức a ( 1 + b ) = - 1 - b ta rút gọn được a + b + ab + 1 = 0 Áp dụng định lý Vi-ét ta có : ( 2 m - 1 ) + m² + 1 + 1 = 0

Từ đó ta suy ra được:

m = – 1 ( thỏa mãn nhu cầu Δ > 0 )
Trên đây là định lý Vi-ét và một số ít ví dụ vè ứng dụng của nó. Chúc những bạn học tập vui tươi !
Phương Trình, Hệ Phương Trình –

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp