Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lý thuyết

Mục lục

* * * * *

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

a ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 3 x + y = 3 \ \ 2 x – y = 7 \ end { matrix } \ right. ; \ ) b ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 2 x + 5 y = 8 \ \ 2 x – 3 y = 0 \ end { matrix } \ right. ; \ ) c ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 4 x + 3 y = 6 \ \ 2 x + y = 4 \ end { matrix } \ right. ; \ )
d ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 2 x + 3 y = – 2 \ \ 3 x – 2 y = – 3 \ end { matrix } \ right. ; \ ) e ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 0,3 x + 0,5 y = 3 \ \ 1,5 x – 2 y = 1,5 \ end { matrix } \ right .. \ )

Hướng dẫn giải

a )

b)

c)

d)

e)

Giải những hệ phương trình sau bằng giải pháp cộng đại số :
a ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } x \ sqrt { 2 } – 3 y = 1 \ \ 2 x + y \ sqrt { 2 } = – 2 \ end { matrix } \ right. ; \ ) b ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 5 x \ sqrt { 3 } + y = 2 \ sqrt { 2 } \ \ x \ sqrt { 6 } – y \ sqrt { 2 } = 2 \ end { matrix } \ right .. \ )

Hướng dẫn giải

a) ⇔

⇔ ⇔ ⇔

b ) Nhân phương trình thứ nhất với √ 2 rồi cộng từng vế hai phương trình ta được :

5x√6 + x√6 = 6 ⇔ x =

Từ đó hệ đã cho tương đương với ⇔

Giải những hệ phương trình sau bằng chiêu thức cộng đại số :
a ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } – 5 x + 2 y = 4 \ \ 6 x – 3 y = – 7 \ end { matrix } \ right. ; \ ) b ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 2 x – 3 y = 11 \ \ – 4 x + 6 y = 5 \ end { matrix } \ right. ; \ ) c ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 3 x – 2 y = 10 \ \ x – \ dfrac { 2 } { 3 } y = 3 \ dfrac { 1 } { 3 } \ end { matrix } \ right .. \ )

Hướng dẫn giải

Giải hệ phương trình sau :
\ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } \ left ( 1 + \ sqrt { 2 } \ right ) x + \ left ( 1 – \ sqrt { 2 } \ right ) y = 5 \ \ \ left ( 1 + \ sqrt { 2 } \ right ) x + \ left ( 1 + \ sqrt { 2 } \ right ) y = 3 \ end { matrix } \ right .. \ )

Hướng dẫn giải

Bài giải :
+ Ta có :

Trừ từng vế hai phương trình ( 1 ) và ( 2 ) ta được :
( 1 – √ 2 ) y – ( 1 + √ 2 ) y = 2
⇔ ( 1 – √ 2 – 1 – √ 2 ) y = 2 ⇔ – 2 y √ 2 = 2

⇔ y = ⇔ y = ⇔ y = (3)

Thay ( 3 ) vào ( 1 ) ta được :

⇔ (1 + √2)x + (1 – √2) = 5

⇔ ( 1 + √ 2 ) x + + 1 = 5

⇔ (1 + √2)x = ⇔ x =

⇔ x = ⇔ x =

⇔ x = ⇔ x =

Hệ có nghiệm là :

Nghiệm gần đúng (chính xác đến ba chữ số thập phân) là:

Giải những hệ phương trình :
a ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 2 \ left ( x + y \ right ) + 3 \ left ( x-y \ right ) = 4 \ \ \ left ( x + y \ right ) + 2 \ left ( x-y \ right ) = 5 \ end { matrix } \ right. ; \ ) b ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } 2 \ left ( x-2 \ right ) + 3 \ left ( 1 + y \ right ) = – 2 \ \ 3 \ left ( x-2 \ right ) – 2 \ left ( 1 + y \ right ) = – 3 \ end { matrix } \ right .. \ )

Hướng dẫn giải

Bài giải :

a) Đặt x + y = u, x – y = v, ta có hệ phương trình (ẩn u, v):

nên

⇔ ⇔ ⇔

⇔ ⇔

Suy ra hệ đã cho tương tự với :

⇔ ⇔

b) Thu gọn vế trái của hai phương trình:

⇔ ⇔ ⇔

⇔⇔ ⇔ ⇔

Ta biết rằng : Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi toàn bộ những thông số của nó bằng 0. Hãy tìm những giá trị của m và n để đa thức sau ( với biến số x ) bằng đa thức 0 :
\ ( P \ left ( x \ right ) = \ left ( 3 m – 5 n + 1 \ right ) x + \ left ( 4 m – n-10 \ right ). \ )

Hướng dẫn giải

Ta có P ( x ) = ( 3 m – 5 n + 1 ) x + ( 4 m – n – 10 )

Nếu P(x) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔

⇔

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau :
a ) A ( 2 ; – 2 ) và B ( – 1 ; 3 ) ; b ) A ( – 4 ; – 2 ) và B ( 2 ; 1 ) ;
c ) A ( 3 ; – 1 ) và B ( – 3 ; 2 ) ; d ) \ ( A \ left ( \ sqrt { 3 } ; 2 \ right ) \ ) và B ( 0 ; 2 ) .

Hướng dẫn giải

Bài giải :
a ) Vì A ( 2 ; – 2 ) thuộc đồ thì nên 2 a + b = – 2 .
Vì B ( – 1 ; 3 ) thuộc đồ thì nên – a + b = 3. Ta có hệ phương trình ẩn là a và b .

. Từ đó

b ) Vì A ( – 4 ; – 2 ) thuộc đồ thị nên – 4 a + b = – 2 .
Vì B ( 2 ; 1 ) thuộc đồ thị nên 2 a + b = 1 .

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b: ⇔

⇔

c ) Vì A ( 3 ; – 1 ) thuộc đồ thị nên 3 a + b = – 1
Vì B ( – 3 ; 2 ) thuộc đồ thị nên – 3 a + b = 2 .
Ta có hệ phương trình ẩn a, b :

⇔ ⇔

d ) Vì A ( √ 3 ; 2 ) thuộc đồ thị nên √ 3 a + b = 2 .
Vì B ( 0 ; 2 ) thuộc đồ thị nên 0. a + b = 2 .
Ta có hệ phương trình ẩn là a, b .

⇔ ⇔

Bằng cách đặt ẩn phụ ( theo hướng dẫn ), đưa những hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải :
a ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } \ dfrac { 1 } { x } – \ dfrac { 1 } { y } = 1 \ \ \ dfrac { 3 } { x } + \ dfrac { 4 } { y } = 5 \ end { matrix } \ right. \ ) Hướng dẫn : Đặt \ ( u = \ dfrac { 1 } { x } ; v = \ dfrac { 1 } { y } ; \ )
b ) \ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } \ dfrac { 1 } { x-2 } + \ dfrac { 1 } { y-1 } = 2 \ \ \ dfrac { 2 } { x-2 } – \ dfrac { 3 } { y-1 } = 1 \ end { matrix } \ right. \ ) Hướng dẫn : Đặt \ ( u = \ dfrac { 1 } { x-2 } ; v = \ dfrac { 1 } { y-1 }. \ )

Hướng dẫn giải

a ) ĐK : x, y \ ( \ ne0 \ )
Đặt \ ( u = \ dfrac { 1 } { x } ; v = \ dfrac { 1 } { y } \ )

Hệ pt đã cho trở thành :

\ ( \ left \ { { } \ begin { matrix } u-v = 1 \ \ 3 u + 4 v = 5 \ end { matrix } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { { } \ begin { matrix } u = 1 + v \ \ 3 \ left ( 1 + v \ right ) + 4 v = 5 \ end { matrix } \ right. \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { { } \ begin { matrix } u = 1 + \ dfrac { 2 } { 7 } \ \ v = \ dfrac { 2 } { 7 } \ end { matrix } \ right. \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { { } \ begin { matrix } u = \ dfrac { 9 } { 7 } \ \ v = \ dfrac { 2 } { 7 } \ end { matrix } \ right. \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { { } \ begin { matrix } \ dfrac { 1 } { x } = \ dfrac { 9 } { 7 } \ \ \ dfrac { 1 } { y } = \ dfrac { 2 } { 7 } \ end { matrix } \ right. \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { { } \ begin { matrix } x = \ dfrac { 7 } { 9 } \ \ y = \ dfrac { 7 } { 2 } \ end { matrix } \ right. \ ) ( TM )
Vậy x = 7/9 và y = 7/2

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp