Phương Trình Bậc 2 Online — Bảng Tính Trực Tuyến, Công Thức

Phương trình bậc hai online (hay máy tính giải phương trình bậc hai trực tuyến) giúp bạn giải nhanh hệ phương trình. Với bảng tính trực tuyến của HocTapHay.Com sẽ là chiếc “chìa khóa” cho việc giải phương trình bậc 2 một cách đơn giản và chính xác nhất.

Hãy Đưa Ra Biến Số

\ ( x ^ 2 \ ) + x + =
Làm tròn số thập phân

\(x_1\) =
\(x_2\) =

Độ Thị

\ ( x_ { 1, 2 } = \ frac { – b ± \ sqrt { b ^ 2 – 4.ac } } { 2. a } \ )
Trong đại số sơ cấp, phương trình bậc hai là phương trình có dạng : \ ( \ ) \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ )
Với x là ẩn số chưa biết và a, b, c là những số đã biết sao cho a ≠ 0. Các số a, b, và c là những thông số của phương trình và hoàn toàn có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng thông số bậc hai, thông số bậc một, và hằng số hay thông số tự do .
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình “ đơn biến ”. Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là những số tự nhiên, thế cho nên chúng là một dạng phương trình đa thức, đơn cử là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai .
Các cách giải phương trình bậc hai thông dụng là nhân tử hóa ( nghiên cứu và phân tích thành nhân tử ), chiêu thức phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm, hoặc đồ thị. Giải pháp cho những yếu tố tựa như phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên .

Giải Phương Trình Bậc Hai

Một phương trình bậc hai với những thông số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là những nghiệm. Hai nghiệm này có thế phân biệt hoặc không, và hoàn toàn có thể là thực hoặc không .

Phân Tích Thành Nhân Tử Bằng Cách Kiểm Tra

Phương trình bậc hai \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ ) hoàn toàn có thể viết được thành \ ( ( px + q ) ( rx + s ) = 0 \ ). Trong một vài trường hợp, điều này hoàn toàn có thể triển khai bằng một bước xem xét đơn thuần để xác lập những giá trị p, q, r, và s sao cho tương thích với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nhu cầu nếu \ ( px + q = 0 \ ) hoặc \ ( rx + s = 0 \ ). Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm .
Với hầu hết học viên, nghiên cứu và phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là giải pháp giải phương trình bậc hai tiên phong mà họ được tiếp cận. Nếu phương trình bậc hai ở dạng \ ( x ^ 2 + bx + c = 0 ( a = 1 ) \ ) thì hoàn toàn có thể tìm cách nghiên cứu và phân tích vế trái thành \ ( ( x + q ) ( x + s ) \ ), trong đó q và s có tổng là – b và tích là c ( đây nhiều lúc được gọi là “ quy tắc Viet ” ). Ví dụ, \ ( x ^ 2 + 5 x + 6 \ ) viết thành \ ( ( x + 3 ) ( x + 2 ) \ ). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 yên cầu nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra ; giả định rằng trọn vẹn hoàn toàn có thể làm được như vậy .
Trừ những trường hợp đặc biệt quan trọng như khi b = 0 hay c = 0, nghiên cứu và phân tích bằng kiểm tra chỉ triển khai được so với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa số những phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không hề giải được bằng giải pháp này .

Phần Bù Phương Trình

Trong quy trình hoàn thành xong bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức : \ ( x ^ 2 + 2 hx + h ^ 2 = ( x + h ) ^ 2 \ ), một thuật toán rạch ròi hoàn toàn có thể vận dụng để giải bất kể phương trình bậc hai nào. Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ )

• Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.
• Trừ \(\frac{c}{a}\) mỗi vế.
• Thêm bình phương của một nửa \(\frac{b}{a}\), hệ số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
• Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
• Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
• Giải hai phương trình bậc nhất.

Công Thức Nghiệm

Có thể vận dụng giải pháp phần bù bình phương để rút ra một công thức tổng quát cho việc giải phương trình bậc hai, được gọi là công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Giờ là phần chứng tỏ tóm tắt. Bằng khai triển đa thức, dễ thấy phương trình dưới đây tương tự với phương trình đầu :
\ ( ( x + \ frac { b } { 2 a } ) ^ 2 = \ frac { b ^ 2 – 4 ac } { 4 a ^ 2 } \ )
Lấy căn bậc hai của hai vế rồi chuyển x về một bên, ta được :
\ ( x = \ frac { – b ± \ sqrt { b ^ 2 – 4 ac } } { 2 a } \ )
Một số nguồn tài liệu, đặc biệt quan trọng là tài liệu cũ, sử dụng tham số hóa phương trình bậc hai sửa chữa thay thế như \ ( ax ^ 2 + 2 bx + c = 0 \ ) hoặc \ ( ax ^ 2 – 2 bx + c = 0 \ ), ở đây b có độ lớn bằng 50% và hoàn toàn có thể mang dấu ngược lại. Các dạng nghiệm là hơi khác, còn lại thì tương tự .
Còn một số ít cách rút ra công thức nghiệm hoàn toàn có thể tìm thấy trong tài liệu. Các cách chứng tỏ này là đơn thuần hơn giải pháp phần bù bình phương tiêu chuẩn .
Một công thức ít thông dụng hơn, như dùng trong giải pháp Muller và hoàn toàn có thể tìm được từ công thức Viet : \ ( x = \ frac { – 2 c } { b ± \ sqrt { b ^ 2 – 4 ac } } \ )
Một đặc thù của công thức này là khi a = 0 nó sẽ cho ra một nghiệm hợp lệ, trong khi nghiệm còn lại có chứa phép chia cho 0, bởi khi a = 0 thì phương trình bậc hai sẽ chuyển về bậc nhất có một nghiệm. Ngược lại, công thức thông dụng chứa phép chia cho 0 ở cả hai trường hợp .

Phương Trình Bậc Hai Rút Gọn

Việc rút gọn phương trình bậc hai để cho thông số lớn nhất bằng một đôi khi là thuận tiện. Cách làm là chia cả hai vế cho a, điều này luôn triển khai được bởi a khác 0, ta được phương trình bậc hai rút gọn : \ ( x ^ 2 + px + q = 0 \ ), trong đó \ ( p = \ frac { b } { a } \ ) và \ ( q = \ frac { c } { a } \ ). Công thức nghiệm của phương trình này là : \ ( x = \ frac { 1 } { 2 } ( – p ± \ sqrt { p ^ 2 – 4 q } \ ) )

Biệt Thức

Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa (Δ) trong bảng chữ cái Hy Lạp:
Trong công thức nghiệm của phương trình bậc hai, biểu thức dưới dấu căn được gọi là biệt thức và thường được màn biểu diễn bằng chữ D hoa hoặc chữ delta hoa ( Δ ) trong bảng vần âm Hy Lạp :\ ( Δ = b ^ 2 – 4 ac \ )
Ngoài ra, với b = 2 b ’ thì ta có biệt thức thu gọn :

\(Δ’ = b’^2 – ac\), với \(Δ = 4Δ’\)

Phương trình bậc hai với những hệ số thực hoàn toàn có thể có một hoặc hai nghiệm thực phân biệt, hoặc hai nghiệm phức phân biệt. Trong trường hợp này biệt thức quyết định hành động số lượng và thực chất của nghiệm. Có ba trường hợp :
– Nếu Δ ( hoặc Δ ’ ) dương ( Δ > 0 hay Δ ’ > 0 ), phương trình có hai nghiệm phân biệt :
\ ( \ frac { – b + \ sqrt { Δ } } { 2 a } \ ) và \ ( \ frac { – b – \ sqrt { Δ } } { 2 a } \ ) ( hoặc \ ( \ frac { – b ’ + \ sqrt { Δ ’ } } { a } \ ) và \ ( \ frac { – b ’ – \ sqrt { Δ ’ } } { a } \ ) ) cả hai đều là nghiệm thực. Đối với những phương trình bậc hai có thông số hữu tỉ, nếu Δ, Δ ’ là một số ít chính phương thì nghiệm là hữu tỉ ; còn với những trường hợp khác chúng hoàn toàn có thể là những số vô tỉ .
– Nếu Δ = 0 ( hoặc Δ ’ = 0 ), phương trình có một nghiệm thực : \ ( – \ frac { b } { 2 a } \ ) ( hoặc \ ( – \ frac { b ’ } { a } \ ) ) hay nhiều lúc còn gọi là nghiệm kép .
– Nếu Δ ( hoặc Δ ’ ) âm ( Δ < 0 hoặc Δ ’ < 0 ), phương trình không có nghiệm thực, thay vào đó là hai nghiệm phức phân biệt \ ( \ frac { - b } { 2 a } + i \ frac { \ sqrt { - Δ } } { 2 a } \ ) và \ ( \ frac { - b } { 2 a } – i \ frac { \ sqrt { - Δ } } { 2 a } \ ) ( hoặc \ ( \ frac { - b ’ } { a } + i \ frac { \ sqrt { - Δ ’ } } { a } \ ) và \ ( \ frac { - b ’ } { a } – i \ frac { \ sqrt { - Δ ’ } } { a } \ ) ) là những số phức phối hợp, còn i là đơn vị chức năng ảo . Vậy phương trình có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ khác 0, có nghiệm thực khi và chỉ khi Δ không âm ( Δ ≥ 0 ) .

Diễn Giải Bằng Hình Học

Hàm số \ ( f ( x ) = ax ^ 2 + bx + c \ ) là hàm số bậc hai. Đồ thị của bất kể hàm bậc hai nào cũng đều có một dạng chung được gọi là parabol. Vị trí, hình dạng, kích cỡ của parabol nhờ vào vào giá trị của a, b, và c. Nếu a > 0, prabol có một điểm cực tiểu và bề lõm hướng lên trên ; nếu a < 0, parabol có một điểm cực lớn và bề lõm hướng xuống dưới ( xem hình 1, a ). Cực điểm của parabol ứng với đỉnh của nó ; điểm này có hoành độ \ ( x = \ frac { - b } { 2 a } \ ), tính x rồi thế vào hàm số ta sẽ tìm được giá trị tung độ. Đồ thị giao trục tung tại điểm có tọa độ ( 0, c ) . Các nghiệm của phương trình bậc hai \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ ) tương ứng là những nghiệm của hàm số \ ( f ( x ) = ax ^ 2 + bx + c \ ) bởi chúng là những giá trị của x để cho f ( x ) = 0. Nếu a, b, và c là những số thực và miền xác lập của hàm f là tập hợp số thực thì nghiệm của f là hoành độ của giao / tiếp điểm của đồ thị với trục hoành ( xem hình 3 ) .

Nhân Tử Hóa Đa Thức Bậc Hai

Biểu thức x – r là nhân tử của đa thức \ ( ax ^ 2 + bx + c \ ) khi và chỉ khi r là một nghiệm của phương trình bậc hai \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ ) .
Từ công thức nghiệm ta có \ ( ax ^ 2 + bx + c = a ( x – \ frac { – b + \ sqrt { b ^ 2 – 4 ac } } { 2 a } ) ( x – \ frac { – b – \ sqrt { b ^ 2 – 4 ac } } { 2 a } ) \ )
Trong trường hợp đặc biệt quan trọng \ ( b ^ 2 = 4 ac \ ) ( hay Δ = 0 ) phương trình chỉ có một nghiệm phân biệt, hoàn toàn có thể nhân tử hóa đa thức bậc hai thành \ ( ax ^ 2 + bx + c = a ( x + \ frac { b } { 2 a } ) ^ 2 \ )

Công Thức Viète

Công thức Viète cho ta thấy quan hệ đơn thuần giữa những nghiệm của đa thức với những thông số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, chúng được phát biểu như sau :
– Nếu \ ( x_1 \ ) và \ ( x_2 \ ) là hai nghiệm của phương trình \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ) \ ) thì : \ ( \ begin { cases } x_1 + x_2 = S = – \ frac { b } { a } \ \ x_1x_2 = P = \ frac { c } { a } \ end { cases } \ )
– trái lại nếu \ ( x_1 \ ) và \ ( x_2 \ ) có tổng là S và tích là P thì \ ( x_1 \ ) và \ ( x_2 \ ) là 2 nghiệm của phương trình \ ( x ^ 2 – Sx + P = 0 \ )

Các Trường Hợp Nhận Biết Đặc Biệt

Khi phương trình bậc hai đã cho có tín hiệu sau :

• \(a + b + c = 0\) (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a ≠ 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: \(x_1 = 1; x_2 = \frac{c}{a}\)
• \(a – b + c = 0\) (với a,b và c là các hệ số của phương trình bậc 2, a ≠ 0) thì lúc đó nghiệm của phương trình là: \(x_1 = -1; x_2 = -\frac{c}{a}\)
• Nếu ac < 0 (tức a và c trái dấu nhau) thì phương trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Phép Tính Liên Quan

Hệ Phương Trình Online Phương Trình Bậc Hai Online Phương Trình Bậc Nhất Online

5/5 ( 1 bầu chọn )

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp