Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu “Toán – Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường”, để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
𝑏𝑓 𝑧 + 𝑎 Đây là dạng (2.1) Ví dụ : Giải phương trình 𝑦′ = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 1 Giải Phương trình đã cho viết lại thành 𝑦′ = (𝑥 + 𝑦)2 − 1 Đặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 ⇒ 𝑧′ = 1 + 𝑦′ = 1 + 𝑧2 − 1 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 5 ⇔ 𝑧′ = 𝑧2 Nếu 𝑧 ≠ 0 chia 2 vế cho 𝑧2 ta có : 𝑑𝑧 𝑧2 = 𝑑𝑥 ⇔ 1 𝑧 = −𝑥 + 𝐶 ⇔ 𝑧 = 1 𝐶 − 𝑥 Nghiệm tổng quát 𝑦 = 1 𝐶 − 𝑥 − 𝑥 Nếu 𝑧 = 0 ⇔ 𝑦 = −𝑥, đây là nghiệm kỳ di của phương trình. 3. Phƣơng trình vi phân đẳng cấp cấp 1 Dạng : 𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝜑 𝑦 𝑥 (3.1) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑢 = 𝑦 𝑥 suy ra 𝑦 = 𝑢𝑥 nên 𝑦′ = 𝑢 + 𝑢′𝑥, thay vao ta có: 𝑢′𝑥 = 𝜑 𝑢 − 𝑢 Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≠ 0, ta có : 𝑑𝑢 𝜑 𝑢 − 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 Suy ra tích phân tổng quát : 𝑑𝑢 𝜑 𝑢 − 𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 + 𝐶 Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 = 0 có nghiệm 𝑢 = 𝑎 thì 𝑦 = 𝑎𝑥 là nghiệm Nếu Nếu 𝜑 𝑢 − 𝑢 ≡ 0 thì phương trình trở thành 𝑦′ = 𝑦 𝑥 Có nghiệm 𝑦 = 𝐶𝑥 Chú ý 1: Muốn kiểm tra phương trình 𝑦′ = 𝑓 𝑥, 𝑦 có phải đẳng cấp cấp 1 không Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 6 ta có thể kiểm tra 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦, ∀𝑡 thì cho 𝑡 = 1 𝑥 ta có 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑡𝑥, 𝑡𝑦 = 𝑓 1, 𝑦 𝑥 = 𝜑( 𝑦 𝑥 ) Ví dụ : Giải phương trình 𝑦′ = 𝑦 𝑥 + 𝑒 𝑦 𝑥 Giải Đặt 𝑢 = 𝑦 𝑥 ta có 𝑦 = 𝑢𝑥 và 𝑦′ = 𝑢′𝑥 + 𝑢 = 𝑢 + 𝑒𝑢 Suy ra : 𝑢′𝑥 = 𝑒𝑢 hay 𝑒−𝑢𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 Tích phân 2 vế ta có : 𝐶 − 𝑒−𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 ⇔ 𝐶 = 𝑒− 𝑦 𝑥 + 𝑙𝑛𝑥 Chú ý 2: Phương trình 𝑦′ = 𝑓( 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 ) Có thê đưa về dạng biến số phân ly Trường hợp 1 :Nếu 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 ≠ 0 thì đặt 𝑥 = 𝑡 + 𝛼 𝑦 = 𝑧 + 𝛽 Với 𝛼, 𝛽 là nghiệm của hệ 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1 = 0 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2 = 0 , khi đó : 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝑑𝑧 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Thay vào ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 7 𝑧′ = 𝑓( 𝑎1𝑡 + 𝑏1𝑧 𝑎12𝑡 + 𝑏2𝑧 ) Đây là phương trình đẳng cấp cấp 1. Trường hợp 2 :Nếu 𝑎1 𝑏1 𝑎2 𝑏2 = 0 thì 𝑎1 𝑎2 = 𝑏1 𝑏2 = 𝑘 ta đặt : 𝑧 = 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 Ta có : 𝑧′ = 𝑎2 + 𝑏2𝑓( 𝑘𝑧 + 𝑐1 𝑧 + 𝑐2 ) Đây là phương trình biến số phân ly. Ví dụ : Giải phương trình vi phân 𝑥 + 𝑦 − 2 𝑑𝑥 − 𝑥 − 𝑦 + 4 𝑑𝑦 = 0 Giải Nếu 𝑥 − 𝑦 + 4 ≠ 0 phương trình đã cho tương đương với : 𝑦′ = 𝑥 + 𝑦 − 2 𝑥 − 𝑦 + 4 Do 𝐷 = 1 1 1 −1 = −2 ≠ 0 nên giải hệ : 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 𝑥 − 𝑦 + 4 = 0 ⇒ 𝛼 = −1 𝛽 = 3 Đặt: 𝑥 = 𝑡 − 1 𝑦 = 𝑧 + 3 ⇒ 𝑧′ = 𝑡 + 𝑧 𝑡 − 𝑧 Đặt 𝑢 = 𝑧 𝑡 ta có 𝑧 = 𝑢𝑡 và 𝑧′ = 𝑢′𝑡 + 𝑢 = 1 + 𝑢 1 − 𝑢 ⇔ 𝑢′𝑡 = 𝑢2 + 1 1 − 𝑢 ⇔ 1 − 𝑢 1 + 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑡 Lấy tích phân 2 vế Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 8 1 − 𝑢 1 + 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑡 + 𝑙𝑛𝐶 ⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 − 𝑙𝑛 1 + 𝑢2 = 𝑙𝑛(𝐶𝑡) ⇔ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 = 𝑙𝑛(𝐶𝑡 1 + 𝑢2) ⇔ 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑢 = 𝐶𝑡 1 + 𝑢2 Thay 𝑢 = 𝑧 𝑡 ta có 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑧 𝑡 = 𝐶 𝑧2 + 𝑡2 Thay 𝑧 = 𝑦 − 3 và 𝑡 = 𝑥 + 1 ta được tích phân tổng quát 𝑒𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 𝑦−3 𝑥+1 = 𝐶 (𝑦 − 3)2 + (𝑥 + 1)2 4. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 a. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất Dạng : 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 0 (4.1) Với 𝑝(𝑥) là hàm cho trước. Phƣơng pháp giải Có nghiệm tổng quát là 𝑦 = 𝐶𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 b. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất Dạng : 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 4.2 Với p x, q(x) là các hàm cho trước. Phƣơng pháp giải Có nghiệm tổng quát là y = 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 (𝐶 + 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥) Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 9 Chú ý : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất có thể viết y = 𝐶𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑒− 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 𝑞 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑦1 + 𝑦2 Với 𝑦1 là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất tương ứng và 𝑦2 là nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 không thuần nhất tìm được bằng phương pháp biến thiên hằng số đối vơi 𝑦1. Ví dụ :Giải phương trình 𝑦′ − 𝑦 𝑥 = 𝑥2 Giải y = 𝑒 1 𝑥𝑑𝑥 (𝐶 + 𝑒− 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥) y = 𝑥 𝐶 + 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥(𝐶 + 𝑥 2 ) 5. Phƣơng trình Becnuly Dạng 𝑦′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑞 𝑥 𝑦𝛼 5.1 Phƣơng pháp giải Nếu 𝛼 = 0 hoặc 𝛼 = 1 thì đây là phương trình tuyến tính Nếu 𝛼 ≠ 0 và 𝛼 ≠ 1 bằng cách chia cả 2 vế cho 𝑦𝛼 và đặt 𝑧 = 𝑦1−𝛼 ta có : 𝑧′ + 1 − 𝛼 𝑝 𝑥 𝑧 = 1 − 𝛼 𝑞(𝑥) Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. Ví dụ : Giải phương trình vi phân 𝑦′ + 𝑦 𝑥 = 𝑥2𝑦4 Giải Chia 2 vế cho 𝑦4 ta có 𝑦−4𝑦′ + 1 𝑥 𝑦−3 = 𝑥2 Đặt 𝑧 = 𝑦−3 ta có 𝑧′ = −3𝑦−4𝑦′, thay vào phương trình ta có : Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 10 𝑧′ − 3 𝑥 𝑧 = −3𝑥2 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 theo 𝑧 nên có nghiệm tổng quát : 𝑧 = 𝑒 3 𝑥𝑑𝑥 (𝐶 − 3 𝑒− 3 𝑥𝑑𝑥 𝑥2𝑑𝑥) ⇔ 𝑧 = 𝐶𝑥3 − 3𝑥3𝑙𝑛𝑥 ⇔ 1 𝑦3 = 𝐶𝑥3 − 3𝑥3𝑙𝑛𝑥 6. Phƣơng trình vi phân toàn phần Dạng : 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (6.1) Với 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑄(𝑥, 𝑦) là các hàm liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền D và thỏa mãn điều kiện : 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 (6.2) Phƣơng pháp giải Khi đó tích phân tổng quát có dạng : 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 𝑥 𝑥0 + 𝑄 𝑥0, 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑦0 = 𝐶 Hoặc 𝑃 𝑥, 𝑦0 𝑑𝑥 𝑥 𝑥0 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 𝑦 𝑦0 = 𝐶 Với (𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷 Ví dụ: Giải phương trình: 4𝑥𝑦2 + 𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥2𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0 Giải 𝑃 = 4𝑥𝑦2 + 𝑦, 𝑄 = 4𝑥2𝑦 + 𝑥 Do Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 11 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 = 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 = 8𝑥𝑦 + 1, ∀(𝑥, 𝑦) Nên đây là phương trình vi phân toàn phần, chọn 𝑥0 = 𝑦0 = 0 ta có tích phân tổng quát (4𝑥𝑦2 + 𝑦) 𝑥 0 𝑑𝑥 + 4. 02𝑦 + 0 𝑑𝑦 = 𝐶 𝑦 0 2𝑥2𝑦2 + 𝑥𝑦 = 𝐶 Chú ý : Nếu điều kiện (6.2) không thỏa mãn thì 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 không phải là vi phân toàn phần. Khi đó ta có thể tìm được hàm (𝑥, 𝑦) sao cho phương trình 𝑥, 𝑦 𝑃 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑥, 𝑦 𝑄 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0 (6.3) Là phương trình vi phân toàn phần. Khi đó nghiệm tổng quát của (6.1) và (6.3) là như nhau. Hàm số (𝑥, 𝑦) gọi là thừa số tích phân được tìm dựa vào đẳng thức 𝜕(𝑃) 𝜕𝑦 = 𝜕(𝑄) 𝜕𝑥 Nói chung, không có phương pháp tổng quát nào để tìm thừa số tích phân, ta chỉ xét hai trương hợp sau: Trường hợp 1: Nếu 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑥) Thì thừa số tích phân 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 Trường hợp 2: Nếu 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑔(𝑦) Thì thừa số tích phân 𝑥, 𝑦 = 𝑦 = 𝑒− 𝑔 𝑦 𝑑𝑦 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 12 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦𝑑𝑥 − 4𝑥2𝑦 + 𝑥 𝑑𝑦 = 0 Giải 𝑃 = 𝑦, 𝑄 = − 4𝑥2𝑦 + 𝑥 ⇒ 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 = 1 ≠ 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 = −8𝑥𝑦 − 1 Do 𝜕𝑃(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦 − 𝜕𝑄(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥 𝑄(𝑥, 𝑦) = − 2 𝑥 Nên ta tìm 𝑥, 𝑦 = 𝑥 = 𝑒− 2 𝑥𝑑𝑥 = 1 𝑥2 Phương trình đã cho có cùng nghiệm tổng quát với phương trình 𝑦 𝑥2 𝑑𝑥 − 4𝑦 + 1 𝑥 𝑑𝑦 = 0 Đây là phươg trình toàn phần, lấy x0 = 1, y0 = 0 ta có tích phân tổng quát: 0 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥 1 − 4𝑦 + 1 𝑥 𝑑𝑦 𝑦 0 = 𝐶 2𝑦2 + 𝑦 𝑥 = 𝐶 7. Phƣơng trình Clairaut Dạng : 𝑦 = 𝑥𝑦′ + 𝑓 𝑦′ (7.1) Trong đó 𝑓 là một hàm khả vi Phƣơng pháp giải Đặt 𝑦′ = 𝑡 ta có 𝑦 = 𝑥𝑡 + 𝑓(𝑡). Lấy đạo hàm 2 vế đối với biến 𝑥 ta có : 𝑦′ = 𝑡 + 𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 + 𝑓 ′ 𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 = 𝑡 Hay 𝑥 + 𝑓′ 𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 = 0 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 13 Suy ra : Nếu 𝜕𝑡 𝜕𝑥 = 0 thì 𝑡 = 𝐶 nên nghiêm tổng quát là 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝑓(𝐶) Nếu 𝑥 = −𝑓 ′(𝑡) thì 𝑦 = −𝑡𝑓 ′ 𝑡 + 𝑓(𝑡) ta có nghiệm kỳ dị cho dưới dạng tham số: 𝑥 = −𝑓 ′(𝑡) 𝑦 = −𝑡𝑓 ′ 𝑡 + 𝑓(𝑡) Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 = 𝑥𝑦′ − 1 4 (𝑦′)2 Giải Đây là phương trình Clairaut với 𝑓 𝑦′ = 1 4 (𝑦′)2. Thực hiện như trên ta có nghiệm tổng quát là 𝑦 = 𝐶𝑥 − 1 4 𝐶2 Và nghiệm kỳ dị là : 𝑦 = 𝑡𝑥 − 1 4 𝑡2 𝑥 = 1 2 𝑡 8. Phƣơng trình Lagrange Dạng: 𝑦 = 𝑥𝑔 𝑦′ + 𝑓 𝑦′ (8.1) Trong đó 𝑔, 𝑓 là các hàm khả vi. Phƣơng pháp giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có𝑦 = 𝑥𝑔 𝑡 + 𝑓(𝑡), lấy đạo hàm 2 vế theo 𝑥 ta có: 𝑦′ = 𝑔 𝑡 + 𝑥𝑔′ 𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 + 𝑓 ′ 𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 = 𝑡 Suy ra: 𝑔 𝑡 − 𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 + 𝑥𝑔′ 𝑡 = −𝑓 ′ (𝑡) Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 14 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1theo hàm 𝑥, giải phương trình trên ta có 𝑥 = 𝜑(𝑡, 𝐶) Suy ra nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số: 𝑥 = 𝜑(𝑡, 𝐶) 𝑦 = 𝜑(𝑡, 𝐶)𝑔 𝑡 + 𝑓(𝑡) Ví dụ: Giải phương trình 𝑦 = 𝑥𝑦′2 + 𝑦′2 Giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝑥𝑡2 + 𝑡2, lấy đạo hàm 2 vế ta có : 𝑦′ = 𝑡2 + 2𝑥𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 + 2𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥 = 𝑡 Hay 𝑡2 − 𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑡 + 2𝑥𝑡 = −2𝑡 Nếu 𝑡2 − 𝑡 ≠ 0, chia 2 vê cho 𝑡2 − 𝑡 ta có : 𝜕𝑥 𝜕𝑡 + 2 𝑡 − 1 𝑥 = 2 1 − 𝑡 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát : 𝑥 = 𝑒− 2 𝑡−1𝑑𝑡 (𝐶 + 𝑒 2 𝑡−1𝑑𝑡 2 1 − 𝑡 𝑑𝑡) 𝑥 = 𝐶 (𝑡 − 1)2 Suy ra nghiệm tổng quát dưới dạng tham số : 𝑥 = 𝐶 (𝑡 − 1)2 𝑦 = 𝐶 (𝑡 − 1)2 𝑡2 + 𝑡2 9. Một số dạng khác a. Dạng 𝑥 = 𝜑 𝑦′ (9.1) Phƣơng pháp giải Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 15 Đặt 𝑡 = 𝑦′ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 khi đó ta có 𝑥 = 𝜑(𝑡) nên 𝑑𝑥 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 Suy ra 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 Nên 𝑦 = 𝑡𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 Vậy nghiệm tổng quát tìm được dưới dạng tham số 𝑥 = 𝜑 𝑡 𝑦 = 𝑡𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 + 𝐶 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑦′ + 𝑐𝑜𝑠𝑦′ Giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 nên 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡, suy ra 𝑑𝑦 = 𝑡𝑑𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − 𝑠𝑖𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑡 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑡 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶 Vậy nghiệm tổng quát là 𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑦 = 𝑡 − 1 𝑠𝑖𝑛𝑡 + 𝑡 + 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 + 𝐶 b. Dạng 𝑦 = 𝜑 𝑦′ (9.2) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝜑(𝑡) nên 𝑑𝑦 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡. Mặt khác 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑡 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 Suy ra 𝑥 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 + 𝐶 Vậy nghiêm tổng quát tìm được dưới dạng tham số 𝑥 = 𝜑′ 𝑡 𝑑𝑡 𝑡 + 𝐶 𝑦 = 𝜑(𝑡) Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 16 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦 = (𝑦′)2 𝑒𝑦′ Giải Đặt 𝑡 = 𝑦′ ta có 𝑦 = 𝑡2 𝑒 𝑡 suy ra 𝑑𝑦 = 2𝑡𝑒−𝑡 − 𝑡2𝑒−𝑡 𝑑𝑡 Nên 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑡 = 2 − 𝑡 𝑒−𝑡𝑑𝑡 Suy ra 𝑥 = 2 − 𝑡 𝑒−𝑡𝑑𝑡 + 𝐶 = 𝑡 − 1 𝑒−𝑡 + 𝐶 Vậy nghiệm tổng quát là 𝑥 = 𝑡 − 1 𝑒−𝑡 + 𝐶 𝑦 = 𝑡2 𝑒𝑡 III. Phƣơng trình vi phân cấp 2 1. Khái niệm Dạng: 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′ = 0 (3) hoặc 𝑦′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑦′ (4) Nếu từ (3) ta tìm được hàm số 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1, 𝐶2) với 𝐶1, 𝐶2 là hằng số tùy ý thì 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝐶1, 𝐶2) gọi là nghiệm tổng quát của (3). Đôi khi ta không tìm được nghiệm tổng quát của (3) mà tìm được một hệ thức dạng: Φ 𝑥, 𝑦, 𝐶1, 𝐶2 = 0 nó xác định nghiệm tổng quát dưới dạng ẩn thì hệ thức này gọi là tích phân tổng quát của (3). Nếu cho 𝐶1, 𝐶2 trong nghiệm tổng quát của (3) một giá trị xác định 𝑎, 𝑏 thì ta được nghiệm riêng của (3), tức là 𝑦 = 𝑦(𝑥, 𝑎, 𝑏) là nghiệm riêng của (3). Tương tự nếu cho 𝐶1, 𝐶2 trong tích phân tổng quát của (3) một giá trị xác định 𝑎, 𝑏 thì ta được tích phân riêng của (3), tức là Φ 𝑥, 𝑦, 𝑎, 𝑏 = 0 là tích phân riêng của (3). Nếu khi giải (3) có những nghiệm không nằm trong họ nghiệm tổng quát thì giọ là nghiệm kỳ dị (hay nghiệm ngoại lai). 2. Các phƣơng trình vi phân cấp 2 giải đƣợc bằng phƣơng pháp hạ cấp a. Dạng: 𝑦′′ = 𝑓 𝑥 (2.1) Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 17 Phƣơng pháp giải Lấy tích phân 2 lần liên tiếp ta có nghiệm tổng quát 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′′ = 𝑥2 + 𝑥𝑒𝑥 + 1 Giải 𝑦 = (𝑥2 + 𝑥𝑒𝑥 + 1)𝑑𝑥 + 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝐶 𝑦 = 𝑥4 12 + 𝑥2 2 + 𝑥𝑒𝑥 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2 b. Dạng 𝑦′′ = 𝑓 𝑥, 𝑦′ (2.2) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑧 = 𝑦′, phương trình đã cho được đưa về dạng: 𝑧′ = 𝑓(𝑥, 𝑧) Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải phương trình này ta tìm được 𝑧 rồi từ đó tìm được 𝑦. Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′′ = 𝑥 − 𝑦′ 𝑥 Giải Đặt 𝑧 = 𝑦′ ta có: 𝑧′ = 𝑥 − 𝑧 𝑥 ⇔ 𝑧′ + 𝑧 𝑥 = 𝑥 Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 nên có nghiệm tổng quát : 𝑧 = 𝑒− 1 𝑥𝑑𝑥 𝐶1 + 𝑒 1 𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑑𝑥 = 𝑥2 3 + 𝐶1 𝑥 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 18 Do đó : 𝑦′ = 𝑥2 3 + 𝐶1 𝑥 Nên : 𝑦 = ( 𝑥2 3 + 𝐶1 𝑥 )𝑑𝑥 + 𝐶2 = 𝑥3 9 + 𝐶1𝑙𝑛 𝑥 + 𝐶2 c. Dạng 𝑦′′ = 𝑓 𝑦, 𝑦′ (2.3) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑦′ = 𝑡, coi 𝑦 là biến của hàm 𝑡, tức là 𝑡 = 𝑡(𝑦), ta có : 𝑦′′ = 𝑑𝑦′ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑡′. 𝑡 = 𝑓(𝑦, 𝑡) Suy ra : 𝑡′ = 𝑓 𝑦, 𝑡 𝑡 Đây là phương trình vi phân cấp 1, giải đươc ra 𝑡 rồi từ đó tìm được 𝑦 Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦𝑦′′ − 𝑦′2 = 0 Giải Đặt 𝑦′ = 𝑡 suy ra𝑦′′ = 𝑡′𝑡, thay vào ta có: 𝑦𝑡′𝑡 − 𝑡2 = 0 ⇔ 𝑦𝑡 ′𝑡 = 𝑡2 Nếu 𝑡 = 0 ⇒ 𝑦 = 𝐶1 Nếu 𝑡 ≠ 0 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑑𝑦 𝑦 Lấy tích phân 2 vế ta có: Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 19 𝑑𝑡 𝑡 = 𝑑𝑦 𝑦 𝑡 = 𝐶1𝑦 Ta có 𝑦′ = 𝐶1𝑦 𝑑𝑦 𝑦 = 𝐶1𝑑𝑥 Lấy tích phân ta có: 𝑑𝑦 𝑦 = 𝐶1 𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2 𝑦 = 𝐶2𝑒 𝐶1𝑥 d. Phƣơng trình vi phân cấp 2 đẳng cấp đối với hàm phải tìm và các đạo hàm của nó Dạng : 𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′ = 0 (2.4) Trong đó 𝐹 là hàm đẳng cấp cấp m đối với 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, tức là 𝐹 𝑥, 𝑡𝑦, 𝑡𝑦′, 𝑡𝑦′′ = 𝑡𝑚𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) Phƣơng pháp giải Đặt 𝑦′ = 𝑦𝑧 với 𝑧 là hàm của 𝑥, ta có : 𝑦′′ = 𝑦′𝑧 + 𝑦𝑧′ = 𝑦𝑧2 + 𝑦𝑧′ = 𝑦(𝑧2 + 𝑧′ ) Thay vào ta có : 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦𝑧, 𝑦 𝑧2 + 𝑧′ ) ⇔ 𝑦𝑚𝐹 𝑥, 1, 𝑧, 𝑧2 + 𝑧′ = 0 ⇔ 𝐹 𝑥, 1, 𝑧, 𝑧2 + 𝑧′ = 0 Đây là phương trình vi phân cấp 1. Ví dụ : Giải phương trình 3𝑦′2 = 4𝑦𝑦′′ + 𝑦2 Giải Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 20 Đặt 𝑦′ = 𝑦𝑧 với 𝑧 là hàm của 𝑥, ta có : 𝑦′′ = 𝑦′𝑧 + 𝑦𝑧′ = 𝑦𝑧2 + 𝑦𝑧′ = 𝑦(𝑧2 + 𝑧′ ) Thay vào ta có : 3𝑦2𝑧2 = 4𝑦2(𝑧2 + 𝑧′ + 1) Nếu 𝑦 ≠ 0 ta có : 𝑧′ = − 𝑧2 + 1 4 ⇔ 𝑑𝑧 𝑧2 + 1 = − 𝑑𝑥 4 Lấy tích phân 2 vế ta có : 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑧 = −𝑥 + 𝐶1 ⇒ 𝑧 = 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥) ⇔ 𝑦′ 𝑦 = 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥) ⇔ 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑡𝑔(𝐶1 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2 ⇔ 𝑙𝑛𝑦 = 4𝑙𝑛𝑐𝑜𝑠 𝐶1 − 𝑥 + 𝑙𝑛𝐶2 𝑦 = 𝐶2𝑐𝑜𝑠 4 𝐶1 − 𝑥 3. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 a. Định nghĩa Dạng : 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 (5) Trong đó 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥), 𝑓(𝑥)là các hàm liên tục Nếu 𝑓(𝑥) ≡ 0 thì phương trình 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 0 (6) Là phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất, ngược lại gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất. Nếu 𝑎0(𝑥), 𝑎1(𝑥) là các hằng số thì gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng. Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 21 b. Các định lý về cấu trúc nghiệm Định lý 1 : Nếu 𝑦1 𝑥, 𝑦2(𝑥) là 2 nghiệm của (6) thì 𝐶1𝑦1 𝑥 + 𝐶2𝑦2 𝑥 cũng là nghiệm của (6), hơn nữa nếu 𝑦1 𝑥, 𝑦2(𝑥) độc lập tuyến tính (𝑦1 𝑥 /𝑦2(𝑥) ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡) thì 𝐶1𝑦1 𝑥 + 𝐶2𝑦2 𝑥 là nghiệm tổng quát của (6). Định lý 2 : Nếu đã biêt một nghiêm riêng 𝑦1(𝑥) ≢ 0 của (6) thì nghiệm riêng 𝑦2(𝑥) khác của (6) tìm được bằng cách đặt 𝑦2 𝑥 = 𝑦1 𝑥 𝑢(𝑥) Chú ý : Sử dung công thức Liouville ta có : 𝑦2 𝑥 = 𝑦1(𝑥) 𝑒− 𝑎1 𝑥 𝑑𝑥 𝑦1 2 𝑑𝑥 Định lý 3 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất (5) bằng nghiệm tổng quát của phương trình (6) cộng với nghiệm riêng của (5). Định lý 4 (nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu 𝑦𝑖 là nghiệm riêng của phương trình 𝑦 ′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓𝑖 𝑥 thì 𝑦 = 𝑦1 + 𝑦2 + ⋯ + 𝑦𝑚 là nghiệm riêng của phương trình : 𝑦′′ + 𝑎1 𝑥 𝑦 ′ + 𝑎0 𝑥 𝑦 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 + ⋯ + 𝑓𝑚 𝑥 Định lý 5 (Phƣơng pháp biến thiên hàng số Lagrange) Nếu 𝑦1 𝑥, 𝑦2(𝑥) là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của (6) thì phương trình (4) nghiệm riêng dạng 𝑦 = 𝐶1𝑦1 𝑥 + 𝐶2𝑦2(𝑥), trong đó 𝐶1 𝑥, 𝐶2(𝑥) là các hàm thỏa mãn : 𝐶′ 1 𝑥 𝑦1 𝑥 + 𝐶 ′ 2 𝑥 𝑦2 𝑥 = 0 𝐶′ 1 𝑥 𝑦′1 𝑥 + 𝐶 ′ 2 𝑥 𝑦′2 𝑥 = 𝑓(𝑥) Ví dụ : Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 𝑥2 + 1 𝑦′′ − 2𝑥𝑦′ + 2𝑦 = 0 Biết một nghiệm riêng 𝑦1 = 𝑥. Giải Theo công thức Liouville, ta tìm nghiệm riêng 𝑦2 độc lập tuyến tính với 𝑦1 bằng cách đặt Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 22 𝑦2 𝑥 = 𝑥 𝑒 2𝑥 𝑥2+1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 1 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 = 𝑥2 − 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là 𝑦 = 𝐶1𝑥 + 𝐶2(𝑥 2 − 1) Ví dụ : Giải phương trình : 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 − 1 𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝑦 = 0 Biết rằng nó có một nghiệm riêng dạng 𝑦1 = 𝑥 𝛼. Giải Để tìm 𝛼 ta tính 𝑦′1 = 𝛼𝑥 𝛼−1, 𝑦′′1 = 𝛼(𝛼 − 1)𝑥 𝛼−2, thay vào phương trình đã cho ta có : 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 − 1 𝛼(𝛼 − 1)𝑥𝛼−2 − 𝑥𝛼𝑥𝛼−1 + 𝑥𝛼 = 0 𝑥𝛼 𝛼 𝛼 − 1 𝑙𝑛𝑥 + 1 − 𝛼2 = 0, ∀𝑥 𝛼 𝛼 − 1 = 0 1 − 𝛼2 = 0 ⇒ 𝛼 = 1 Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho là 𝑦1 = 𝑥. Theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ 2 : 𝑦2 = 𝑥 𝑒 𝑥 𝑥2 𝑙𝑛𝑥 −1 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 1 𝑥2 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 1 𝑑( 1 𝑥 ) 𝑦2 = −𝑥 1 𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 1 + 𝑥 1 𝑥2 𝑑𝑥 = −𝑙𝑛𝑥 Vậy nghiệm tổng quát là 𝑦 = 𝐶1𝑥 − 𝐶2𝑙𝑛𝑥 Ví dụ : Giải phương trình : 𝑦′′ − 𝑦′ 𝑥 = 𝑥 Giải Xét phương trình thuần nhất tương ứng : 𝑦′′ − 𝑦′ 𝑥 = 0 Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 23 Ta thấy 𝑦1 = 1à một nghiệm riêng, theo công thức Liouville ta có nghiệm riêng thứ 2 là : 𝑦2 = 𝑒 1 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 Vậy phương trình thuần nhất có nghiệm tổng quát là : 𝐶1 + 𝐶2𝑥 2 Bây giờ ta tìm nghiệm riêng 𝑦 của phương trình 𝑦′′ − 𝑦′ 𝑥 = 𝑥 Bằng cách đặt 𝑦 = 𝐶1(𝑥) + 𝐶2(𝑥)𝑥 2 Trong đó 𝐶1, 𝐶2 thỏa mãn hệ : 𝐶′ 1 𝑥 1 + 𝐶 ′ 2 𝑥 𝑥 2 = 0 𝐶′ 2 𝑥 2𝑥 = 𝑥 ⇒ 𝐶′ 1 𝑥 = − 1 2 𝑥2 𝐶′ 2 𝑥 = 1 2 ⇒ 𝐶1 𝑥 = − 1 6 𝑥3 𝐶2 𝑥 = 1 2 𝑥 Nên 𝑦 = − 1 6 𝑥3 + 1 2 𝑥𝑥2 = 1 3 𝑥3 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng cộng với nghiệm riêng của nó: 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2𝑥 2 + 1 3 𝑥3 c. Phƣơng trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng Dạng tổng quát: 𝑦′′ + 𝑎1𝑦 ′ + 𝑎0𝑦 = 𝑓 𝑥 (3.1) Với 𝑎1, 𝑎0 là các hằng số. Phƣơng pháp giải Bƣớc 1: ta tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng 𝑦′′ + 𝑎1𝑦 ′ + 𝑎0𝑦 = 0 (3.2) Bƣớc 2: ta tìm một nghiệm riêng của phương trình (3.1) đã cho. Bƣớc 3: nghiệm tổng quát của phương trình đã cho bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình (3.2) với nghiệm riêng của nó. Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 24 Giải phƣơng trình tuyến tính thuần nhất (3.2) Xét phƣơng trình đặc trƣng: 𝑘2 + 𝑎1𝑘 + 𝑎0 = 0 (3.3) Nếu phƣơng trình có: Hai nghiệm phân biệt 𝑘1 ≠ 𝑘2 thì nghiệm tổng quát của (3.2) là: 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒 𝑘2𝑥 Có nghiệm kép 𝑘0 thì nghiệm tổng quát của (3.2) là: 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑘0𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 𝑘0𝑥 Có nghiệm phức: 𝛼 ± 𝑖𝛽 thì nghiệm tổng quát của (3.2) là: 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥 (𝐶1𝑐𝑜𝑠 𝛽𝑥 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛 𝛽𝑥 ) Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′′ − 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng nên có phương trình đặc trưng: 𝑘2 − 3𝑘 + 2 = 0 ⇒ 𝑘 = 1 𝑘 = 2 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑥 + 𝐶2𝑒 2𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng nên có phương trình đặc trưng: 𝑘2 − 2𝑘 + 1 = 0 ⇒ 𝑘 = 1 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝐶1𝑒 𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒 𝑥 Ví dụ: Giải phương trình: Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 25 𝑦′′ + 2𝑦′ + 5𝑦 = 0 Giải Phương trình đã cho là phương trình tuyến tính cấp 2 thuần nhất với hệ số hằng nên có phương trình đặc trưng: 𝑘2 + 2𝑘 + 5 = 0 ⇒ 𝑘 = −1 − 2𝑖 𝑘 = −1 + 2𝑖 Vậy phương trình đặc trưng có nghiệm tổng quát là: 𝑦 = 𝑒−𝑥(𝐶1𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝐶2𝑠𝑖𝑛 2𝑥 ) Tìm nghiệm riêng của phƣơng trình tuyến tính không thuần nhất (3.1) - Phương pháp chung là dựa vào nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng rồi sử dung phương pháp biến thiên hằng số Lagrange để tìm nghiệm riêng, tuy nhiên trong vài trường hợp đặc biệt của hàm 𝑓(𝑥) (ở vế phải) ta có thể tìm nghiệm riêng một cách đơn giản hơn Trƣờng hợp 𝒇 𝒙 = 𝒆𝜶𝒙𝑷(𝒙), với 𝑷(𝒙) là đa thức bậc n. Nếu 𝛼 không là nghiệm của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng của (3.1) dưới dạng: 𝑦 = 𝑒𝛼𝑥 𝑄(𝑥) Với 𝑄(𝑥) là đa thức bậc n chưa biết, để tìm 𝑄(𝑥) ta thay 𝑦 vào phương trình (3.1) rồi đồng nhất hệ số sẽ tìm được các hệ số của 𝑄(𝑥). Nếu 𝛼 là nghiệm đơn của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng của (3.1) dưới dạng: 𝑦 = 𝑥𝑒𝛼𝑥 𝑄(𝑥) Nếu 𝛼 là nghiệm kép của đa thức đặc trưng (3.3) thì ta tìm nghiệm riêng của (3.1) dưới dạng: 𝑦 = 𝑥2𝑒𝛼𝑥 𝑄(𝑥) Ví dụ: Giải phương trình: 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦 = 1 + 𝑥 Giải Bước 1: Tìm nghiệm tổng quát của phương trình trình thuần nhất Xét phương trình đặc trưng: Hướng dẫn giải bt phương trình vi phân thường_CBM_Uneti 2009 26 𝑘2 − 2𝑘 + 1 = 0 Có nghiệm kép 𝑘 = 1 nên nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 𝑦
Để lại một bình luận