Hệ có chứa một phường trình đẳng cấp (thuần nhất)

I. Nhận diện hệ phương trình có tính đẳng cấp:

Hệ phương trình có chứa một phương trình đẳng cấp ( bậc của những số hạng như nhau ) dạng \ ( ax ^ 2 + bxy + cy ^ 2 = 0 \ )Hoặc hoàn toàn có thể cộng, trừ đại số để Open một phương trình đẳng cấp ( làm cho thông số tự do bằng 0 )

II. Phương pháp giải:

– Xét riêng trường hợp y = 0 để tìm x- Xét y khác 0, chia phương trình đẳng cấp cho y2, đặt t = x / y, được phương trình chỉ chứa t, tìm được t thay vào x / y = t và tích hợp phương trình còn lại để tìm x và y

III. Các ví dụ:

1 ) Ví dụ1 : Giải hệ pt : \ ( \ begin { cases } x ^ 2-2 xy + 3 y ^ 2 = 9 \ \ 2 x ^ 2-13 xy + 15 y ^ 2 = 0 \ end { cases } \ )GiảiTa thấy phương trình thứ hai của hệ là dạng đẳng cấp bậc 2 .- Xét trường hợp y = 0, thay vào hệ ta có : \ ( \ begin { cases } x ^ 2 = 9 \ \ 2 x ^ 2 = 0 \ end { cases } \ ), không sống sót x .- Xét trường hợp y khác 0, chia cả hai vế phương trình thứ hai cho y2, ta có :\ ( 2 \ left ( \ frac { x } { y } \ right ) ^ 2-13 \ frac { x } { y } + 15 = 0 \ )Đặt t = x / y, thay vào ta có : \ ( 2 t ^ 2-13 t + 15 = 0 \ ), giải ra ta có t = 5 hoặc t = 3/2Với t = 5 => x = 5 y, thay vào pt đầu của hệ ta được \ ( y ^ 2 = \ frac { 1 } { 2 } \ Rightarrow y = \ pm \ frac { \ sqrt { 2 } } { 2 } \ ) \ ( \ Rightarrow x = \ pm \ frac { 5 \ sqrt { 2 } } { 2 } \ )Với t = 3/2 => x = 3/2 y, thay vào pt đầu ta được \ ( y ^ 2 = 4 \ Rightarrow y = \ pm2 \ ) ; \ ( \ Rightarrow x = \ pm3 \ )Vậy những nghiệm của hệ là : \ ( \ left ( \ frac { 5 \ sqrt { 2 } } { 2 } ; \ frac { \ sqrt { 2 } } { 2 } \ right ) ; \ left ( \ frac { – 5 \ sqrt { 2 } } { 2 } ; \ frac { – \ sqrt { 2 } } { 2 } \ right ) ; \ left ( 3 ; 2 \ right ) ; \ left ( – 3 ; – 2 \ right ) \ )2 ) Ví dụ 2 :Cho hệ pt : \ ( \ begin { cases } 3 x ^ 2 + 2 xy + y ^ 2 = 11 \ \ x ^ 2 + 2 xy + 3 y ^ 2 = 17 + m \ end { cases } \ )a ) Giai hệ khi m = 0

    b) Tìm m để hệ có nghiệm

Giải : Lấy pt thứ nhất nhân với 17 + m, phương trình thứ hai nhân với 11 thì ta được một phương trình đẳng cấp so với x và y :\ ( \ left ( 40 + 3 m \ right ) x ^ 2 + 2 \ left ( 6 + m \ right ) xy + \ left ( m-16 \ right ) y ^ 2 = 0 \ ) ( pt3 )a ) Với m = 0, giải tựa như ví dụ 1, từ ( pt3 ) tìm được x / y = 1/2 hoặc x / y = – 4/5, phối hợp với pt đầu của hệ ta tìm được 4 nghiệm là :\ ( \ left ( 1,2 \ right ) ; \ left ( – 1, – 2 \ right ) ; \ left ( \ frac { 4 \ sqrt { 3 } } { 3 } ; \ frac { – 5 \ sqrt { 3 } } { 3 } \ right ) ; \ left ( \ frac { – 4 \ sqrt { 3 } } { 3 } ; \ frac { 5 \ sqrt { 3 } } { 3 } \ right ) \ )3 ) Ví dụ 3 :Giải hệ : \ ( \ begin { cases } x ^ 3 + y ^ 3 = 1 \ \ x ^ 2 y + 2 xy ^ 2 + y ^ 3 = 2 \ end { cases } \ )Lấy pt đầu nhân với 2, rồi trừ pt thứ hai cho pt thứ nhất ta được :\ ( x ^ 2 y + 2 xy ^ 2 + y ^ 3-2 \ left ( x ^ 3 + y ^ 3 \ right ) = 0 \ )Hay là : \ ( – 2 x ^ 3 + x ^ 2 y + 2 xy ^ 2 – y ^ 3 = 0 \ ) ( * )pt ( * ) là đẳng cấp so với x và y .Xet y = 0 thì pt thứ hai của hệ không thỏa mãn nhu cầu ( vì 0 = 2 )Với y khác 0, chia cả hai vế của ( * ) cho y3 và đặt t = x / y ta có :\ ( – 2 t ^ 3 + t ^ 2 + 2 t – 1 = 0 \ )Hay là : \ ( – \ left ( 2 t – 1 \ right ) \ left ( t + 1 \ right ) \ left ( t-1 \ right ) = 0 \ ), Suy ra t = 1/2 hoặc t = 1 hoặc t = – 1=> x / y = 1/2 hoặc x / y = 1 hoặc x / y = – 1Kết hợp với pt đầu của hệ, ta tìm được những nghiệm là :

         \(\left(\frac{1}{\sqrt[3]{2}};\frac{1}{\sqrt[3]{2}}\right);\left(\frac{\sqrt[3]{3}}{3};\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}\right)\)

TÀI LIỆU THAM KHẢOgiải pháp giải hệ phương trình

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp