Bạn đang đọc: Hệ phương trình đối xứng loại 2 – http://wp.ftn61.com
Nội dung bài viết Hệ phương trình đối xứng loại 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2. Định nghĩa. Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng f(x, y) = 0, f(y, x) = 0. Nếu hệ phương trình có nghiệm là (a, b) thì nó cũng có nghiệm (b, a). Dạng 1. Giải hệ phương trình đối xứng loại 2. Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2: f(x, y) − f(y, x) = 0 ⇔ (x − y)h(x, y) = 0 ⇔ x = y, h(x, y) = 0. Thường thì h(x, y) là những phương trình dễ dàng tìm ra mối liên hệ giữa x và y; hoặc h(x, y) là phương trình vô nghiệm. Ví dụ 1. Giải hệ phương trình x2 − 2018x = 2017y, y2 − 2018y = 2017x. Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được: y = x, y = −x + 1. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với x = y = 0, x = y = 4035. Kết luận, hệ phương trình có bốn nghiệm: (0; 0), (4035; 4035).
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số thỏa điều kiện cho trước. Dựa vào tính chất nghiệm của hệ phương trình đối xứng để tìm tham số. Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất. Vì hệ phương trình đối xứng nên giả sử nghiệm của hệ là (x; y) thì (y; x) cũng là nghiệm của hệ, vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì x = y. Suy ra (1) trở thành x − 2x = m ⇔ −x = m ⇔ x = −m. Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì x = y = −m khác 0, suy ra m khác 0. Thử lại, với m khác 0, x khác 0, y khác 0 thì hệ phương trình tương đương. Lấy (1) trừ (2) ta được x2 − y, 2 = m(y − x) ⇔ (x − y)(x + y + m) = 0. Giải (II): Từ hệ (II) ta được phương trình 3×2 + 3mx + m2 = 0. Có ∆ = −3m2 < 0, ∀m khác 0. Nên hệ phương trình (II) vô nghiệm. Kết luận, hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m khác 0.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN. Bài 1. Giải hệ phương trình. Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được (x − y) = 0 ⇔ y = x. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với y = x = 0. Bài 3. Giải hệ phương trình. Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được (x − y)(x2 + 2xy + y2 + 1) = 0. Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với y = x. Kết luận, hệ phương trình có ba nghiệm. Bài 6. Cho hệ phương trình √x + 2 + 7 − y = m, y + 2 + √7 − x = m. a) Giải hệ phương trinh trên với m = 3. b) Tìm điều kiện của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. Lấy (1) trừ (2) vế theo vế. Với x = y = −2, hệ phương trình trở thành √9 = m. Với x = y = 7, hệ phương trình trở thành √9 = m. a) Với m = 3, hệ phương trình có hai nghiệm (x; y) bằng (−2; −2), (7; 7). b) Ta xét các trường hợp sau: Trường hợp 1. m = 3, hệ phương trình có hai nghiệm, loại. Trường hợp 2. m < 9 hệ phương trình vô nghiệm, loại. Trường hợp 3. m − 9 ≥ 0 ⇔ m ≥ 9 thì (4) ta được ∆ = 25 + (−m2 + 18m − 25) = −m2 + 18m. Để (4) có nghiệm duy nhất thì m = 0 (loại) hoặc m = 18. Với m = 18 phương trình (4) có nghiệm x = 5 (thỏa điều kiện). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi m = 18.
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận