Hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức nâng cao và có dạng bài tập hình học liên quan đến công thức lượng giác. Đối với các bạn học sinh lớp 9, đây là một trong số những kiến thức nền cơ bản được học và sẽ áp dụng để giải bài tập toán học cấp 3. Vậy hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm có những phần kiến thức cơ bản nào? Và làm thế nào để có thể ghi nhớ, vận dụng kiến thức đó để giải bài tập tốt hơn? 

Bài viết bên dưới đây sẽ tổng hợp kiến thức quan trọng về hệ thức lượng trong tam giác vuông đầy đủ nhất.

1. Các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong một tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, dựa theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có 3 dạng hệ thức tương quan như sau :

a ) Hệ thức về cạnh trong tam giác vuông
b2=ab‘ c2=ac‘ a2=b2+c2b ) Hệ thức về đường cao trong tam giác vuông
h2=b‘c‘  a.h = b.c  1h2=1b2+1c2

c) Hệ thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông

b = a.sinB;                                  c = a.sinC b = a.cosC;                                c = a.cosB b = c. tanB;                                c = b.tanC  b = c.cotC;                                 c = b.cotCd ) Những tín hiệu cơ bản giúp nhận ra một tam giác vuông

• Nếu trong một tam giác bất kể, đường trung tuyến ứng với cạnh của tam giác đó bằng 50% cạnh đó thì hoàn toàn có thể Tóm lại là tam giác vuông .
• Cách vẽ tam giác vuông chỉ với 2 bước cơ bản dùng thước kẻ và compa :

B1 : trên mặt phẳng cho sẵn, vẽ một nửa đường tròn tâm O với đường kính BC .B2 : Chọn một điểm A bất kể nằm trên nửa đường tròn tâm O ta được ΔABC vuông tại A .

2. Các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

3. Các dạng bài tập liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông

3.1 Dạng bài toán 1: Tính độ dài một đoạn thẳng trong tam giác vuông

• Xác định độ dài của cạnh huyền
• Áp dụng hệ thức về độ dài cạnh và đường cao .
• Sử dụng tỉ lệ thức để tính

3.2 Dạng bài toán 2: Tìm độ dài các cạnh trong tam giác bằng phương pháp dựng đoạn pytago; dựng đoạn trung bình nhân 

1. Dựng đoạn thẳng Pytago

Loại 1: Cho hai đoạn thẳng bất kỳ a và b. Ta sẽ vẽ đoạn thẳng

x=a2+b2từ đó có
x2=a2+b2Vậy ta sẽ dựng được tam giác vuông với a và b là 2 cạnh góc vuông ; cạnh huyền bằng x .Loại 2 : Cho hai đoạn thẳng bất kể a và b. Dựng đoạn thẳng sao cho
y=a2–b2( với a > b ) từ đó có
y2+b2=a2Vậy ta sẽ dựng được tam giác vuông có cạnh huyền là a, cạnh góc vuông thứ nhất là b và cạnh còn lại là y2. Dựng đoạn trung bình nhânCho trước hai đoạn thẳng a và b. Dựng đoạn thẳng x = √ abDựng tam giác ABC vuông tại A, với độ dài cạnh huyền BC = a + b, suy ra đường cao tương ứng với cạnh huyền đó là x với Bảo hành = a và HC = b

3.3 Dạng bài toán 3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh các hệ thức hình học

Bước 1. Trong tam giác vuông chứa những đoạn thẳng có trong hệ thức, vận dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính những cạnh còn lại .Bước 2. Liên kết những giá trị đã tính được và dữ kiện đã cho để Tóm lại hệ thức đã cho luôn đúng .

4. Bài tập vận dụng:

Bài tập : Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tìm x và y :

Ta có tam giác vuông nhỏ với cạnh huyền bằng 10; cạnh góc vuông bằng 8. Áp dụng hệ thức về cạnh 

a2=c‘2+h2 ⇒102=82+h2⇒h2=36⇒h=6Ta có tam giác vuông to, vận dụng hệ thức về đường cao :
h2=b‘c‘⇒36=8x⇒x=4.5Ta có tam giác vuông to, vận dụng hệ thức về cạnh :
c2=b‘2+a2⇒(8+4.5)2=102+y2⇒y2=56.25⇒y=7.5Vậy x = 4.5 và y = 7.5

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật