Định lý viet và ứng dụng giải 16 dạng bài tập quan trọng

Định lý Viet là một kiến thức quan trọng ở bậc THCS mà bạn cần phải nhớ khi muốn học tốt toán. Không chỉ có trong bài kiểm tra, thi học kì mà còn xuất hiện nhiều trong đề thi học sinh giỏi, thi vào 10. Do đó, hôm nay ToanHoc.org gửi tới bạn nội dung định lý Viet thuận, định lý viet đảo, hệ thức viet và những ứng dụng của nó. Mời bạn theo dõi ngay sau đây

1. Định lý viet bậc 2

Định lý Viet thuận: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) thì $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

Định lý Viet đảo: Nếu có 2 số x1, x2 thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.$ thì chúng là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn: t2 – St + P = 0 (điều kiện để tồn tại 2 số x1, x2 là S2 – 4P ≥ 0)

Áp dụng: Nhờ định lý Viet, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc 2 thì có thể suy ra nghiệm kia.

Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm điều kiện để pt có hai nghiệm $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta \ge 0 \end{array} \right.$

2. Các dạng bài tập định lý Viet

Dạng 1. Dựa định lý Viet để tính nhẩm nghiệm

Thường thì khi gặp bài toán giải phương trình bậc 2, nhiều bạn dùng ngay biệt thức Δ để suy ra những nghiệm x1, x2 ( nếu có ). Tuy nhiên dựa vào hệ thức Viet ta có một cách tính nhẩm nhanh hơn

Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau

a ) ( USD \ sqrt 3 USD – 1 ) x2 – 4 x – ( USD \ sqrt 3 USD – 5 ) = 0
b ) ( m + 4 ) x2 – ( 2 m + 3 ) x + m – 1 = 0 với m ≠ 1
Lời giải
a ) ( USD \ sqrt 3 USD – 1 ) x2 – 4 x – ( USD \ sqrt 3 USD – 5 ) = 0
Ta thấy : a + b + c = ( USD \ sqrt 3 USD – 1 ) – 4 – ( ( USD \ sqrt 3 USD – 5 ) = 0 => PT có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = USD \ frac { { – \ left ( { \ sqrt 3 – 5 } \ right ) } } { { \ sqrt 3 – 1 } } USD
b ) ( m + 4 ) x2 – ( 2 m + 3 ) x + m – 1 = 0 với m ≠ 1
Ta thấy a – b + c = ( m + 3 ) – ( 2 m + 3 ) + ( m – 1 ) = 0 => PT có 2 nghiệm là x1 = – 1 và x2 = USD \ frac { { – \ left ( { m – 1 } \ right ) } } { { m + 4 } } = \ frac { { 1 – m } } { { m + 4 } } USD

Nhận xét: Qua ví dụ thứ 2, bạn đồng ý với mình rằng phương pháp này giúp giải pt đặc biệt trở nên siêu nhanh!

Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm

Nếu ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1, x2 thì ta hoàn toàn có thể biểu lộ những biểu thức đối xứng giữa những nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1. x2 .

Ví dụ:

Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải.

Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tích

Dựa vào định lý Viet hòn đảo, ta có :

Ví dụ: Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a .

Lời giải
Gọi những size của hình chữ nhật là x, y với x, y > 0

Dạng 4. Phân tích tam thức bâc hai thành nhân tử

Giả sử ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) có Δ ≥ 0

Ví dụ: Phân tích 3×2 + 5x – 8 thành nhân tử

Giải
Nhận xét : 3×2 + 5 x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = USD \ frac { c } { a } = \ frac { { – 8 } } { 3 } = – \ frac { 8 } { 3 } USD
Khi này tam thức 3×2 + 5 x – 8 = ( x – 1 ) ( x + USD \ frac { 8 } { 3 } USD )

Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có một nghiệm x = x1 cho trước. Tìm nghiệm thứ hai

Tìm điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước ta hoàn toàn có thể làm theo 1 trong 2 cách sau

Cách 1:

• Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm Δ ≥ 0 (Δ ≥ 0 ) (*)
• Bước 2: Thay x = x1 vào phương trình đã cho tìm giá trị của tham số
• Bước 3: Đối chiếu giá trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận

Cách 2:

• Bước 1. Thay x = x1 vào phương trình đã cho tìm được giá trị của tham số.
• Bước 2. Thay giá trị tìm được của tham số vào phương trình và giải phương trình

Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có Δ < 0 thì Tóm lại không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước . Để tìm nghiệm thứ hai ta hoàn toàn có thể làm như sau

• Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm được vào phương trình rồi giải phương trình.
• Cách 2: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.
• Cách 3: Thay giá trị của tham số tìm được vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai.

Ví dụ: Với giá trị nào của k thì:

a ) Phương trình 2×2 + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm kia
b ) Phương trình ( k – 5 ) x2 – ( k – 2 ) x + 2 k = 0 có một nghiệm x = – 2. Tìm nghiệm kia
c ) Phương trình kx2 – kx – 72 có một nghiệm x = – 3. Tìm nghiệm kia ?
Lời giải

Dạng 6. Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn hệ một điều kiện cho trước.

“ Điều kiện cho trước ” ở đây hoàn toàn có thể là những nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn nhu cầu một đẳng thức hoặc bất đẳng thức hoặc để một biểu thức của những nghiệm của phương trình bậc hai đạt gtln, gtnn v.v … .

Chú ý: Sau khi tìm được tham số ta phải đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm.

Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 – x2 = 4

Lời giải

Dạng 7. Lập phương trình bậc trình bậc hai một ẩn khi biết hai nghiệm của nó hoặc hai nghiệm có liên quan tới hai nghiệm của một phương trình đã cho

Để lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là α và β ta cần phải tính α + β và α. β, vận dụng định lý vi-ét hòn đảo ta có phương trình cần lập là :
x2 – ( α + β ) x + α. β = 0

Ví dụ: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 7x + 3 = 0.Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2×1 – x2 và 2×2 – x1.

Lời giải

Dạng 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số

Để tìm hệ thức liên hệ giữa những nghiệm không phụ thuộc vào váo tham số trong phương trình bậc 2 ta làm như sau

Ví dụ: Cho phương trình 8×2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm với hai số – 1 và 1.

Lời giải
Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có

Dạng 9. Chứng minh hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc hai phương trình bậc 2

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu a1, a2 là các nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và b1, b2 là các nghiệm của phương trình x2 + qx + 1 = 0 thì

( a1 – b1 ) ( a2 – b1 ) ( a1 + b2 ) ( a2 + b2 ) = q2 – p2 .
Lời giải

Dạng 10. xét dấu các nghiêm của phương trình bậc 2, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước

Sử dụng định lý vi-ét ta hoàn toàn có thể xét dấu những nghiệm của phương trình bậc 2 : ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0 ) dựa trên những tác dụng sau :

Ngoài ra vận dụng định lý Vi-ét ta hoàn toàn có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc 2 với một số ít cho trước .

Ví dụ: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Lời giải

Dạng 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đương

Ví dụ: Xác định m để hai phương trình sau tương đương với nhau:

x2 + 2x – m = 0 (1)
2×2 + mx + 1 = 0 (2)

Lời giải

Dạng 12. Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải các bài toán số học

Ví dụ: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x3 + y3 + 1 = 3xy

Lời giải

Dạng 13. Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải phương trình, hệ phương trình

Ví dụ: Giải phương trình $\sqrt {1 – x} + \sqrt {4 + x} = 3$

Lời giải

Dạng 14. Ứng dụng của định lý Viet vào các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm gtln, gtnn

Học sinh đã được làm quen với bất đẳng thức Cô-si, tuy nhiên ta hoàn toàn có thể chứng tỏ bất đẳng thức này dựa vào định lý Vi-ét :
Giả sử x1 + x2 = S không đổi, còn P. = x1. x2 đổi khác. Từ điều kiện kèm theo
S2 ≥ 4P => USD P. \ le \ frac { { { S ^ 2 } } } { 4 } \ Rightarrow MaxP = \ frac { { { S ^ 2 } } } { 4 } \ Leftrightarrow { x_1 } = { x_2 } = \ frac { S } { 2 } USD
Vậy nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
Giả sử x1 > 0, x2 > 0 và x1x2 = P. không đổi còn x1 + x2 = S đổi khác. Từ điều kiện kèm theo
USD \ begin { array } { l } { S ^ 2 } – 4P \ ge 0 \ Rightarrow \ left ( { S – 2 \ sqrt P } \ right ) \ left ( { S + 2 \ sqrt P } \ right ) \ ge 0 \ \ S – 2 \ sqrt P. \ ge 0 \ Rightarrow S \ ge 2 \ sqrt P \ end { array } USD
Vậy USD S = 2 \ sqrt P \ Leftrightarrow { x_1 } = { x_2 } = \ sqrt P. USD
Vậy hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

Ví dụ: Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Hãy tìm GTNN của F = x3 + y3

Lời giải

Nhận xét: để giải bài toán trên có rất nhiều cách giải như biến đổi biểu thức F chỉ có một biến, đổi biến số. Tuy nhiên vận dung định lý Viet cho ta một cách giải mới như sau:

Dạng 15. Vận dung định lý Viet trong mặt phẳng tọa độ

Vận dung định lý Viet ta hoàn toàn có thể giải một số ít dạng toán trong mặt phẳng tọa độ như khảo sát hàm số, viết phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối của đường thẳng và parabol

Ví dụ: Cho (P): y = – x2 và đường thẳng (D) có hệ số góc là a đi qua điểm M( – 1; – 2).

a ) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì ( D ) luôn cắt ( P. ) tại hai điểm phân biệt A và B
b ) Xác định a để A, B nằm về hai phía trục tung
Lời giải

Dạng 16. Ứng dụng của định lý Viet trong các bài toán hình học

Ta đã biết một trong những giải pháp giải những bài toán hình học là “ giải pháp đai số ”, chiêu thức này vận dụng rất có hiệu suất cao trong những dạng bài tập tính độ dài đoạn thẳng, một số ít bài toán cực trị hình học. phối hợp với đinh lý Viet sẽ cho ta những giải thuật hay và mê hoặc .

Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và hai điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên cạnh BC và CD sao cho  $\widehat {MAN} = {45^0}.$. Tìm GTNN và GTLN của diện tích tam giác ΔAMN

Lời giải

File bài tập có lời giải

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật