Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)

A. Phương pháp viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm

Quảng cáo

Cho đường tròn ( C ) đi qua ba điểm A ; B và C. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm :1 / Bước 1 : Gọi phương trình đường tròn là ( C ) : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( * )( với điều kiện kèm theo a2 + b2 – c > 0 ) .2 / Bước 2 : Do điểm A ; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A ; B và C vào ( * ) ta được phương trình ba phương trình ẩn a ; b ; c .3 / Bước 3 : giải hệ phương trình ba ẩn a ; b ; c ta được phương trình đường tròn .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1) ; B( 2; 5) và C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x – y + 3 = 0.
   B. x + y – 3 = 0
   C. x – y – 3 = 0
   D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn ( C ) có dạng :x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )

⇒ I( 0; 3)

Vậy tâm đường tròn là I ( 0 ; 3 ) .Lần lượt thay tọa độ I vào những phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳngx – y + 3 = 0 thỏa mãn nhu cầu .

Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A( 0; 4); B( 2; 4) và C( 4; 0)

A. (0; 0)
   B. (1; 0)
   C. (3; 2)
   D. (1; 1)

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn ( C ) có dạng :x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên

Vậy tâm I ( 1 ; 1 )

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 4); B(3; 4); C(3; 0).

A. 5
   B. 3
   C. √6,25
   D. √8

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn ( C ) có dạng :x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )

Do 3 điểm A; B; C thuộc (C) nên

Vậy bán kính R =
= √6,25.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A(-2; 4); B(5; 5) và C(6; -2). Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

A. x2 + y2 – 2x – y + 20 = 0
   B. (x – 2)2 + (y – 1)2 = 20

C. x2 + y2 – 4x – 2y + 20 = 0
   D. x2 + y2 – 4x – 2y – 20 = 0

Lời giải

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là ( C ) : x2 + y2 + 2 ax + 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )Do ba điểm A ; B và C thuộc đường tròn là :

Vậy đường tròn ( C ) cần tìm : x2 + y2 – 4 x – 2 y – 20 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A(1; -2); B(-3; 0); C(2; -2). Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( C). Tính bán kính đường tròn đó?

A. 5
   B. 6
   C.
   D. √37

Lời giải

Gọi tam giác nội tiếp đường tròn ( C ) có phương trình làx2 + y2 + 2 ax + 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )Do ba điểm A ; B và C thuộc đường tròn là :

⇒ Bán kính đường tròn ( C) là R =

Chọn C.

Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A( 2; 1); B( 2; 5) ; C( -2; 1) thuộc đường thẳng có phương trình

A. x – y + 3 = 0
   B. x – y – 3 = 0
   C. x + 2y – 3 = 0
   D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình ( C ) có dạng : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 + c > 0 ). Tâm I ( a ; b )

⇒ I(0; 3)

Lần lượt thế tọa độ I vào những phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳngx – y – 3 = 0

Chọn B.

Quảng cáo

Ví du 7: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 3; 4) và C(-1; 2). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A.
   B. 2√2
   C. √10
   D.

Lời giải

Ta có: AB→( 1; 3)và AC→(-3; 1 )

⇒ AB→. AC→ = 1.(-3) + 3.1 = 0

⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A .⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC .+ Tọa độ tâm I – trung điểm của BC là :

⇒ Khoảng cách OI =
= √10

Chọn C.

Ví dụ 8 : Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A(1 ; 0) ; B( 3 ; 4) ?

A. x2 + y2 + 8x – 2y – 9 = 0
   B. x2 + y2 – 3x – 16 = 0

C. x2 + y2 – x + y = 0
   D. x2 + y2 – 4x – 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ hai điểm A và B vào những giải pháp :

Điểm B( 3; 4) không thuộc đường tròn A.

Điểm A ( 1 ; 0 ) không thuộc đường tròn B .Điểm B ( 3 ; 4 ) không thuộc đường tròn C .Điểm A ; B cùng thuộc đường tròn D .

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gọi I( a; b) tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(1; 2) ;B( 0;4) và C(- 2; -1).
Tính a + b

A. -2
   B. 0
   C. 2
   D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn ( C ) cần tìm có dạng :x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )Do A, B, C thuộc đường tròn nên :

Vậy tâm đường tròn là I ( 1 ; 1 ) và a + b = 0

Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A( -2; 4); B( 1; 0) và C ( 2;- 3)

A.
   B.
   C. √10
   D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn ( C ) đi qua 3 điểm A ; B và C là :x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )Do A ; B và C thuộc đường tròn ( C ) nên :

Vậy bán kính đường tròn ( C): =
=

Câu 3: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A(0; 5) ;B( 3; 4) và C( -4; 3).

A. (-6; -2)
   B. (-1; -1)
   C. (3; 1)
   D. (0; 0)

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là( C ) : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )

Do ba điểm A, B và C thuộc ( C) nên

Vậy tâm của đường tròn ( C ) là I ( 0 ; 0 ) .

Câu 4: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A(0 ; 0) ; B(0 ; 6) ; C( 8 ;0) .

A. 6
   B. 5
   C. 10
   D. √5

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là 🙁 C ) : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( a2 + b2 – c > 0 )

Do 3 điểm đó thuộc ( C) nên

⇒ bán kính R =
= 5

Câu 5: Đường tròn đi qua 3 điểm O(0; 0) ;A(a; 0) và B(0; b) có phương trình là

A. x2 + y2 – 2ax – by = 0
   B. x2 + y2 – ax – by + xy = 0

C. x2 + y2 – ax – by = 0
   D. x2 + y2 – ay + by = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : OA→( a; 0); OB→( 0; b) ⇒ OA→.OB→ = a.0 + 0.b = 0

⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau .

⇒ tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là trung điểm
I(
;
) và bán kính R =

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O ; A ; B là

⇔ x2 + y2 – ax – by = 0

Câu 6: Đường tròn đi qua 3 điểm A(11; 8) ; B(13; 8); C(14; 7) có bán kính R bằng

A. 2
   B. 1
   C. √5
   D. √2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng :x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 ( với a2 + b2 – c > 0 ) .Đường tròn đi qua 3 điểm A ( 11 ; 8 ) ; B ( 13 ; 8 ) và C ( 14 ; 7 ) nên ta có :

Ta có R =
= √5

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A : B và C có nửa đường kính là R = √ 5 .

Câu 7: Đường tròn đi qua 3 điểm A(1;2) ; B(-2; 3); C(4; 1) có tâm I có tọa độ là

A. (0; -1)
   B. (0; 0)

C. Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho.
   D. (3;
)

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: AB→ (3; -1), BC→ (6; -2) ⇒ BC→ = 2AB→

⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng .Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C .

Câu 8: Cho tam giác ABC có A(2; 1); B( 5; 5) và C(1; 8). Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A.
   B.
   C.
   D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: AB→( 3; 4) và BC→( -4; 3)

⇒ AB→.BC→ = 3.(-4) + 4.3 = 0

⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B .⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC .+ Tọa độ tâm I – trung điểm của AC là :

⇒ Khoảng cách OI =

Chuyên đề Toán 10 : rất đầy đủ triết lý và những dạng bài tập có đáp án khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp