Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích cực hay

Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh động những công thức lượng giác : Công thức cộng ; công thức nhân đôi ; công thức hạ bậc ; công thức đổi khác tổng thành tích ; tích thành tổng …

+ Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: A.B=0

Giải từng phương trình A = 0 ; B = 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 1+ cosx + cos2 x+ cos3x – sin2 x=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : 1 + cosx + cos2 x + cos3x – sin2 x = 0⇒ ( 1 – sin2 x ) + cos2 x + ( cosx + cos3x ) = 0⇒ cos2 x + cos2 x + 2.cos 2x.cos x = 0⇒ 2 cos2 x + 2cos2x.cosx = 0⇒ 2 cosx. ( cosx + cos2x ) = 0

Chọn B

Ví dụ 2: Phương trình sin3x – 4sinx. cos2x = 0 có các nghiệm là:

A.x = k2πB.x = π / 2 + kπC.x = kπD. x = π / 2 + k2π

Lời giải

Ta có : sin 3 x – 4 sinx. cos2x = 0⇒ sin3x – 2 [ sin3x + sin ( – x ) ] = 0⇒ sin3x – 2 sin3x + 2 sinx = 0 ( vì sin ( – x ) = – sinx )⇒ 2 sinx = – sin3x⇒ 2 sinx = 4 sin3 x – 3 sinx⇒ 2 sinx – 4 sin3 x + 3 sinx = 0⇒ 5 sinx – 4 sin3 x = 0⇒ sinx ( 5 – 4 sin2 x ) = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x = kπChọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Giải phương trình: ( -sinx + cosx) ( 1+ sinx) = cos2 x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : ( – sinx + cosx ). ( 1 + sinx ) = cos2x⇒ ( – sinx + cosx ). ( 1 + sinx ) – cos2 x = 0⇒ ( – sinx + cosx ). ( 1 + sinx ) – ( 1 – sin2 x ) = 0⇒ ( – sinx + cosx ). ( 1 + sinx ) – ( 1 – sinx ). ( 1 + sinx ) = 0⇒ ( 1 + sinx ). ( – sinx + cosx – 1 + sinx ) = 0⇒ ( 1 + sinx ). ( cosx – 1 ) = 0

Chọn D .

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2+ sin2x – 2cos2 x= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : 2 + sin2x – 2 cos2 x = 0⇒ sin 2 x + ( 2-2 cos2 x ) = 0⇒ 2sinx.cosx + 2 sin2 x = 0⇒ 2 sinx ( cosx + sinx ) = 0

Chọn A

Ví dụ 5: Giải phương trình:cos2 4x + sin22x= 1

A.

B.

C. Cả A và B đúngD. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : cos2 4 x + sin2 2 x = 1⇒ cos24x + sin2 2 x – 1 = 0⇒ cos2 4 x – cos2 2 x = 0⇒ ( cos 4 x – cos2x ). ( cos4x + cos2x ) = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Phương trình 4cosx – 2cos 2x – cos4x= 1 có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : 4 cosx – 2 cos2x – cos4x = 1⇒ 4 cosx – 2 cos 2 x – ( 2 cos22x – 1 ) – 1 = 0⇒ 4 cosx – 2 cos2x – 2 cos2 2 x = 0⇒ 4 cos x – 2 cos2x ( 1 + cos2x ) = 0⇒ 4 cosx – 2 cos2x. 2 cos2 x = 0⇒ 4 cosx. ( 1 – cos 2 x. cosx ) = 0⇒ 4 cosx. [ 1 – ( 2 cos2 x-1 ). cos x ] = 0⇒ 4 cos x. [ 1 – 2 cos3 x + cosx ] = 0

Chọn A .

Ví dụ 7: Phương trình cosx – 1+ 2sinx – sin2x= 0 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : cosx – 1 + 2 sinx – sin2x = 0⇒ ( cosx – sin2x ) + ( 2 sinx – 1 ) = 0⇒ ( cosx – 2. sinx. cosx ) + ( 2 sinx – 1 ) = 0⇒ cosx ( 1 – 2 sinx ) – ( 1 – 2 sinx ) = 0⇒ ( cosx – 1 ). ( 1-2 sinx ) = 0

Chọn C.

Ví dụ 8: Giải phương trình: sin3x – 1= 2sinx.cos2x – cos2x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sin3x – 1 = 2 sinx. cos2x – cos2x⇒ sin 3 x – 1 = sin3x + sin ( – x ) – cos2 x⇒ sin 3 x – 1 = sin3x – sin x – cos 2 x⇒ ( sin3x – sin3x ) + ( cos2x – 1 ) + sinx = 0⇒ – 2 sin2x + sin x = 0⇒ sinx ( – 2 sinx + 1 ) = 0

Chọn B .

Ví dụ 9. Giải phương trình : cot2x + 3tan 3x = 2tan2x

A. x = π / 4 + kπB. x = kπC.x = π / 2 + kπD. Vô nghiệm

Lời giải

Điều kiện:

Ta có ; cot2x + 3 tan3 x = 2 tan2x⇒ ( cot2x + tan 3 x ) + ( 2 tan3x – 2 tan2x ) = 0

⇒ cosx. cos2x + 2 sinx. sin2x = 0⇒ ( cosx. cos2x + sinx. sin2x ) + sinx. sin2x = 0⇒ cosx + sinx. 2sinx.cosx = 0⇒ cosx. ( 1 + 2 sin2 x ) = 0⇒ cosx = 0 ( vì 1 + 2 sin2 x > 0 với mọi x )⇒ x = π / 2 + kπKết hợp với điều kiện kèm theo suy ra phương trình đã cho vô nghiệmChọn D .

Ví dụ 10. Giải phương trình: 4cos5x.sinx – 4sin5 x.cosx = cos22x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : 4cos5x.sinx – 4 sin5 x.cosx = cos22x⇒ 4cosx.sinx. ( cos4 x – sin4 x ) = cos2 2 x⇒ 4.cosx.sinx. ( cos2 x – sin2 x ). ( cos2 x + sin2 x ) – cos2 2 x = 0⇒ 2 sin2x. cos2x. 1 – cos2 2 x = 0⇒ cos2x ( 2 sin2x – cos2x ) = 0

Chọn B

Ví dụ 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos4x – cos2x+ 2sin6 x=0

A. x = π / 2 B.x = π C. x = π / 3 D.x = π / 4

Lời giải

Ta có : cos4x – cos2x + 2 sin6 x = 0⇒ ( 1 – sin2 x ) 2 – ( 1 – 2 sin2 x ) + 2 sin6 x = 0⇒ 1 – 2 sin2 x + sin4 x – 1 + 2 sin2x + 2 sin6 x = 0⇒ sin4 x + 2 sin6 x = 0⇒ sin4 x. ( 1 + 2 sin2 x ) = 0⇒ sin4 x = 0 ( vì 1 + 2 sin2 x > 0 với mọi x )⇒ sinx = 0 ⇒ x = kπ⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = π ( khi đó k = 1 )Chọn B

Ví dụ 12. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos2x + cos22x+ cos23x = 1

A. x = π / 3 B. x = π / 4 C. x = π / 6 D. x = π / 2

Lời giải

Ta có : cos2x + cos22x + cos23x = 1

⇒ 1 + cos2x + 1 + cos4x + 1 + cos 6 x = 2⇒ ( cos 2 x + cos 6 x ) + cos4x + 1 = 0⇒ 2 cos4x. cos2x + 2 cos2 2 x = 0⇒ 2 cos 2 x. ( cos 4 x + cos2x ) = 0⇒ 2 cos2x. 2. cos3x. cosx = 0

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x = π / 6Chọn C .

Ví dụ 13. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

A. x=

B. x=

C. x=

D. x=

Lời giải

Chọn D .

Ví dụ 14. Giải phương trình: sin22x + sin2 4x= cos2 2x+ cos2 4x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có : sin22x + sin2 4 x = cos2 2 x + cos2 4 x⇒ ( sin2 2 x – cos22x ) + ( sin24x – cos24x ) = 0⇒ – cos4x – cos8x = 0⇒ cos4x + cos 8 x = 0⇒ 2.cos 6 x. cos2x = 0

Chọn B .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình sin2x. ( cotx + tan2x) = 4cos2 x

A .

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 2:Giải phương trình: cos3 x- sin3 x= 1- 2sin2 x

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Do 1 – 2 sin2 x = sin2 x + cos2 x – 2 sin2 x = cos2 x – sin2 xNên : cos2 x – sin2 x = 1 – 2 sin2 x⇒ ( cosx – sinx ). ( cos2 x + cosx. sinx + sin2 x ) = cos2 x – sin2 x⇒ ( cosx – sinx ). ( 1 + cosx. sinx ) – ( cos2 x – sin2 x ) = 0⇒ ( cosx – sinx ). ( 1 + cosx. sinx ) – ( cosx – sinx ). ( cosx + sinx ) = 0⇒ ( cosx – sinx ). ( 1 + cosx. sinx – cosx – sinx ) = 0⇒ ( cosx – sinx ). [ ( 1 – cosx ) – ( – cosx. sinx + sinx ) = 0⇒ ( cosx – sinx ). [ ( 1 – cosx ) – sinx ( 1 – cosx ) ] = 0⇒ ( cosx – sinx ). ( 1 – cosx ) ( 1 – sinx ) = 0

Chọn A.

Câu 3:Giải phương trình: 1+ sinx+ cosx + tanx =0

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Điều kiện : cosx ≠ 0

Chọn B

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình 2sin2x – 2sinx = cot x – 1.

A. x=

B. x=

C. x=

D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải
Điều kiện : sinx ≠ 0Ta có : 2 sin2x – 2 sinx = cot x – 1⇒ 2 sin2x – 2 sinx – cotx + 1 = 0

+ Nếu 2 cosx. sinx + cosx – sinx = 0 hay sinx – cosx – 2 sinx. cosx = 0 ( * )

Chọn A.

Câu 5:Giải phương trình sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Ta có : sin3 x + cos3x = 2 sin5 x + 2 cos5x .⇒ ( sin3 x – 2 sin5x ) + ( cos3 x – 2 cos5 x ) = 0⇒ sin3 x ( 1 – 2 sin2 x ) + cos3 x. ( 1 – 2 cos2 x ) = 0⇒ sin3 x. cos2x + cos3 x. ( – cos2x ) = 0⇒ cos 2 x. ( sin3 x – cos3x ) = 0⇒ cos2x. ( sinx – cosx ). ( sin2 x + sinx.cosx + cos2x ) = 0⇒ cos 2 x. ( sinx – cosx ). ( 1 + sinx.cosx ) = 0

Chọn B.

Câu 6:Giải phương trình: tanx + tan 2x = – sin3x. cos2x

A. x = kπ / 6B. x = kπ / 4C. x = kπ / 3D. Cả A và B đúng
Hiển thị lời giải

Chọn C.

Câu 7:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn D.

Câu 7:Phương trình 2√2.sin 5x. cos 3x = sin4x + 2√2 sin3x. cos 5x có nghiệm là:

A. x = kπ / 2B. x = kπ

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 8:Giải phương trình cosx – sinx = sin2x – 2cos2 x :

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Ta có : cosx – sinx = sin2x – 2 cos2x⇒ cosx – sinx – ( sin2x – 2 cos2 x ) = 0⇒ ( cosx – sinx ) – ( 2.sinx.cosx – 2 cos2 x ) = 0⇒ ( cosx – sinx ) – 2 cosx ( sinx – cosx ) = 0⇒ ( cosx – sinx ). ( 1 – 2 cosx ) = 0

Chọn C .

Câu 9:Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: sin2 x+ sin22x + sin23x=2 là.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn A.

Câu 10:Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Chọn B.

Câu 10:Phương trình có bao nhiêu họ nghiệm ?

A. 2B. 3C. 4D. 1
Hiển thị lời giải

Kết hợp điều kiện kèm theo suy ra phương trình đã cho có ba họ nghiệmChọn B

Câu 11:Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.Đáp án khác
Hiển thị lời giải

Chọn D

Câu 12:Giải phương trình : sin23x + cos26x = sin2 5x +cos2 4x

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

⇒ 1 – cos 6 x + 1 + cos12x = 1 – cos10x + 1 + cos 8 x⇒ – cos 6 x + cos12x = – cos10x + cos 8 x⇒ ( cos12x + cos10x ) – ( cos8x + cos6x ) = 0⇒ 2.cos 11x.cosx – 2 cos7x. cos x = 0⇒ 2 cosx. ( cos11x – cos7x ) = 0

Chọn A.

Câu 12:Giải phương trình :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
+ Ta có : cosx + cos2x + cos3x = ( cosx + cos 3 x ) + cos2x= 2 cos 2x.cosx + cos2x = cos2x. ( 2 cosx + 1 )

Câu 13:Giải phương trình: sin2x + cosx + 1+ 3sin2 x – cos2 x + 2sinx= 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác
Hiển thị lời giải
Ta có : sin2x + cosx + 1 + 3 sin2 x – cos2 x + 2 sinx = 0⇒ ( sin2x + 2 sinx ) + ( cosx + 1 ) + ( 3 sin2 x – cos2x ) = 0⇒ ( 2 sinx. cosx + 2 sinx ) + ( cosx + 1 ) + ( 3 sin2 x + sin2 x – 1 ) = 0⇒ 2 sinx. ( cosx + 1 ) + ( cosx + 1 ) + ( 4 sin2 x – 1 ) = 0⇒ ( 2 sinx + 1 ). ( cosx + 1 ) + ( 2 sinx – 1 ). ( 2 sinx + 1 ) = 0⇒ ( 2 sinx + 1 ). ( cosx + 1 + 2 sinx – 1 ) = 0⇒ ( 2 sinx + 1 ). ( cosx + 2 sinx ) = 0

Chọn C .

Câu 14:Phương trình: 5sinx+ 5cosx + sin3x = cos3x + √3 (2+ sin2x) có bao nhiêu họ nghiệm?

A. 1B. 2C. 3D. 4
Hiển thị lời giải

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm .Chọn B.

Câu 15:Giải phương trình

A.

B.

C.

D. Cả A và B đều đúng
Hiển thị lời giải

Chọn C.
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k5: fb.com/groups/hoctap2k5/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp