Giải phương trình bậc 3

Lý thuyết phương trình bậc 3

1. Giải phương trình bậc ba biết trước một nghiệm

Khi một phương trình bậc ba đã nhẩm được một nghiệm “ đẹp ” ( ví dụ điển hình là $ { x_0 } $ ) thì việc giải nó đơn thuần là dùng sơ đồ Hooc-ne để nghiên cứu và phân tích phương trình bậc ba thành dạng phương trình tích :$ \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) ( a { x ^ 2 } + bx + c ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = { x_0 } \ \ a { x ^ 2 } + bx + c = 0 \ end { array } \ right. $

Về vấn đề “nhẩm nghiệm đẹp” thì máy tính bỏ túi sẽ hỗ trợ đắc lực cho chúng ta. Còn về việc trình bày thì chúng ta cần trình bày các bước chủ yếu: phân tích thành nhân tử và “ghi kết quả”. Cụ thể:

Ví dụ 1 : Giải những phương trình sau trên tập số thực :a ) $ { x ^ 3 } + { x ^ 2 } = 12 USD .b ) USD 2 { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 13 x + 6 = 0 USD .c ) USD 2 { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + 4 x + 4 = 0 USD .d ) $ { x ^ 3 } – x – 4 \ sqrt 5 = 0 USD .Phân tích và giải thuật :a ) Nhập vào máy tính thì ta thấy, phương trình có nghiệm thực duy nhất USD x = 2 USD. Lúc đó, sử dụng sơ đồ Hooc-ne ( hoặc phép chia đa thức ), ta nghiên cứu và phân tích được :USD { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 12 = \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x + 6 } \ right ) USD .Trình bày :USD \ begin { array } { l } { x ^ 3 } + { x ^ 2 } = 12 \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x + 6 } \ right ) = 0 \ \ \ left [ \ begin { array } { l } x = 2 \ \ { x ^ 2 } + 3 x + 6 = 0 \ end { array } \ right. \ end { array } $ ( vô nghiệm ) $ \ Leftrightarrow x = 2. $Câu hỏi đặt ra là : Với chiếc máy tính thì tất cả chúng ta hoàn toàn có thể tăng vận tốc làm bài lên mà không cần sử dụng sơ đồ Hooc-ne không ? Câu vấn đáp là có .Đầu tiên bấm máy tính, ta được ba nghiệm : một nghiệm thực $ { x_1 } = 2 USD cùng với hai nghiệm phức :USD { x_2 } \ approx – 1,5 + 1,936491673 i USD và $ { x_3 } \ approx – 1,5 – 1,936491673 i USD .Ta sẽ nghiên cứu và phân tích $ { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 12 USD dưới dạng :USD { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 12 = \ left ( { x – 2 } \ right ) ( a { x ^ 2 } + bx + 0 ) USDUSD \ Rightarrow { x_2 } $ và $ { x_3 } $ là hai nghiệm phức của đa thức $ a { x ^ 2 } + bx + c USD. Ta sẽ tìm nhanh những thông số $ a, b, c USD bằng một số ít thủ pháp :– Hệ sổ USD a USD : Khi khai triển $ \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { a { x ^ 2 } + bx + c } \ right ) USD thì chỉ có $ a { x ^ 3 } $ là chứa $ { x ^ 3 } USD. Mặt khác ở $ { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 12 USD thì thông số của $ { x ^ 3 } $ bằng USD 1 \ Rightarrow a = 1 USD .– Hệ số USD b USD : Tam thức $ a { x ^ 2 } + bx + c USD có hai nghiệm phức thì cũng thỏa mãn nhu cầu định lí Viét $ \ to USD vận dụng ta được :USD { x_2 } + { x_3 } = \ frac { { – b } } { a } $USD \ Leftrightarrow ( – 1,5 + 1,936491673 i ) + ( – 1,5 – 1,936491673 i ) = \ frac { { – b } } { 1 } \ Rightarrow b = 3 $ .– Hệ số USD c USD : Khi khai triển $ \ left ( { x – 2 } \ right ) ( a { x ^ 2 } + bx + c ) USD thì chỉ có $ \ left ( { – 2 c } \ right ) USD là thông số tự do $ \ Rightarrow – 2 c = – 12 \ Rightarrow c = 6 USD. Tóm lại, với phương trình bậc ba mà chỉ có một nghiệm thực duy nhất $ { x_0 } $ ( nghiệm đơn ) thì việc nghiên cứu và phân tích thành nhân tử của nó dựa trên đổi khác cơ bản sau :USD a { x ^ 3 } + a { x ^ 2 } + cx + d = a \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + b’x + c ’ } \ right ) USD( thông số trước $ { x ^ 2 } $ ta lấy bằng 1 luôn ) .Lúc đó, do thông số trước $ { x ^ 2 } $ là 1 nên nếu sử dụng định lí Viét cho hai nghiệm phức $ { x_2 }, { x_3 } $ của phương trình thì USD b ’ = – 2 k USD, trong đó USD k USD là phần thực của số phức $ { x_2 } $ hoặc $ { x_3 } $ ( trong bài toán trên thì $ k = – 1,5 $ ). Còn thông số tự do USD c ’ $ thì thỏa mãn nhu cầu :USD a. ( – { x_0 } ). c ’ = d \ Rightarrow c ’ = \ frac { d } { { a. ( – { x_0 } ) } } ( { x_0 } \ ne 0 ). $Để nắm vững kĩ năng này thì những bạn hoàn toàn có thể đi làm thêm những phương trình sau 🙁 1 ) USD 2 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 4 = 0 USD .( 2 ) USD 3 { x ^ 3 } + 17 { x ^ 2 } + 46 x + 24 = 0 USD .( 3 ) USD 10 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 89 x – 18 = 0 USD .( 4 ) USD 5 { x ^ 3 } + 10 { x ^ 2 } – 25 x + 60 = 0 USD .Giải 🙁 1 ) : Hệ số USD a = 2, d = 4 USD, dùng máy tính bấm ra nghiệm thực duy nhất $ { x_0 } = – 2 $ và hai nghiệm phức còn lại đều có phần thực là USD k = 0,25 = \ frac { 1 } { 4 } \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b ’ = – 2 k = \ frac { { – 1 } } { 2 } \ \ c ’ = \ frac { d } { { a. \ left ( { – { x_0 } } \ right ) } } = \ frac { 4 } { { 2. \ left ( { – \ left ( { – 2 } \ right ) } \ right ) } } = 1 \ end { array } \ right. \ Rightarrow $USD 2 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 4 = 2 \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { 1 } { 2 } x + 1 } \ right ) USDTrình bày : ( 1 ) USD 2 \ left ( { x + 2 } \ right ) ( { x ^ 2 } – \ frac { 1 } { 2 } + 1 ) = 0 \ Leftrightarrow x = – 2 USD .( 2 ) : Hệ số USD a = 3, d = 24 USD, nghiệm thực $ { x_0 } = \ frac { { – 2 } } { 3 } $ và hai nghiệm phức đều có phần thực là USD k = \ frac { { – 5 } } { 2 } $USD \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b ’ = – 2. \ frac { { – 5 } } { 2 } = 5 \ \ c ’ = \ frac { { 24 } } { { 3. \ left ( { – \ frac { { – 2 } } { 3 } } \ right ) } } = 12 \ end { array } \ right. \ Rightarrow $ nghiên cứu và phân tích được :USD 3 { x ^ 3 } + 17 { x ^ 2 } + 46 x + 24 = 0 = 3 \ left ( { x + \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) ( { x ^ 2 } + 5 x + 12 ) USD .$ \ left ( 3 \ right ) \ Leftrightarrow 10 \ left ( { x – \ frac { 1 } { 5 } } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } + 9 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { 5 } $ .$ \ left ( 4 \ right ) \ Leftrightarrow 5 \ left ( { x + 4 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 2 x + 3 } \ right ) \ Leftrightarrow x = – 4 USD .b ) Bấm máy tính cho ta ba nghiệm $ { x_1 } = 2 ; { x_2 } = \ frac { 1 } { 2 } $ và $ { x_3 } = – 3 USD. Khi có ba nghiệm phân biệt thi ta nghiên cứu và phân tích luôn bằng cách đưa thông số USD a = 2 USD ra ngoài, còn những tích là $ \ left ( { x – { x_i } } \ right ) USD ( với $ { { x_i } } $ là nghiệm của phương trình ) : USD 2 { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 13 x + 6 = 0 \ Leftrightarrow 2 \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { x – \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = 2 \ vee x = \ frac { 1 } { 2 } \ vee x = – 3 $ .Bạn đọc hoàn toàn có thể tự nâng cao kĩ năng bằng cách thử những nghiên cứu và phân tích sau :+ ) $ { x ^ 3 } – 7 x + 6 = 0 $ ( nghiệm $ { x_1 } = 1 ; { x_2 } = 2 ; { x_3 } = – 3 USD, thông số USD a = 1 $ )USD \ Leftrightarrow \ left ( { x – l } \ right ) \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) = 0 USD .+ ) USD 15 { x ^ 3 } – 53 { x ^ 2 } – 30 x + 8 = 0 $ ( nghiệm $ { x_1 } = 4 ; { x_2 } = \ frac { 1 } { 5 } ; { x_3 } = \ frac { { – 2 } } { 3 } $, thông số USD a = 15 $ )USD \ Leftrightarrow 15 \ left ( { x – 4 } \ right ) \ left ( { x – \ frac { 1 } { 5 } } \ right ) \ left ( { x + \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) = 0 USD+ ) USD – 7 { x ^ 3 } – \ frac { { 41 } } { 2 } { x ^ 2 } + 3 x + \ frac { 9 } { 2 } = 0 $ ( nghiệm $ { x_1 } = – 3 ; { x_2 } = \ frac { 1 } { 2 } ; { x_3 } = \ frac { { – 3 } } { 7 } $, thông số $ a = – 7 $ )USD – 7 \ left ( { x + 3 } \ right ) \ left ( { x – \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ left ( { x + \ frac { 3 } { 7 } } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = – 3 \ vee x = \ frac { 1 } { 2 } \ vee x = \ frac { { – 3 } } { 7 } $ .c ) Bấm máy chỉ cho ta hai nghiệm thực là $ { x_1 } = 2 $ và $ { x_2 } = \ frac { { – 1 } } { 2 } USD. Phương trình bậc ba mà bấm máy chỉ có hai nghiệm $ \ Rightarrow $ một trong hai nghiệm là nghiệm kép. Vì vậy nên nếu phương trình bậc ba chỉ có hai nghiệm $ { x_1 }, { x_2 } $ ( trong đó $ { x_2 } $ là nghiệm kép ) thì ta sẽ nghiên cứu và phân tích được thành dạng :USD a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + cx + d = 0 ( ad \ ne 0 ) \ Leftrightarrow a ( x – { x_1 } ) { ( x – { x_2 } ) ^ 2 } = 0 \ Leftrightarrow x = { x_1 } \ vee x = { x_2 } $ .( ta không xét trường hợp USD d = 0 $ vì trường hợp đó nghiên cứu và phân tích nhân tử quá đơn thuần ) .Vậy câu hỏi của tất cả chúng ta là làm thế nào để biết được nghiệm nào là nghiệm kép để nghiên cứu và phân tích nhanh gọn ? Với bài này, $ { x_1 } = 2 $ và $ { x_2 } = \ frac { { – 1 } } { 2 } $ là hai nghiệm, trong đó có một nghiệm kép $ \ Rightarrow $ sẽ có hai cách nghiên cứu và phân tích, và trong đó có một cách nghiên cứu và phân tích sai :– Nếu $ { x_1 } $ là nghiệm kép USD \ Rightarrow 2 { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + 4 x + 4 = 2 { ( x – 2 ) ^ 2 } \ left ( { x + \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) \ to USD muốn kiểm tra nghiên cứu và phân tích này có đúng hay không thì ta chỉ cần kiểm tra xem thông số tự do ở trong nghiên cứu và phân tích này đã đúng chưa. Thật vậy vế phải có thông số tự do là USD 2. { \ left ( { – 2 } \ right ) ^ 2 }. \ frac { 1 } { 2 } = 4 \ to USD chính bằng thông số ở vế phải là USD 4 \ to USD nghiên cứu và phân tích này là đúng .– Nếu $ { x_2 } $ là nghiệm kép $ \ Rightarrow 2 x – 7 { x ^ 2 } + 4 x + 4 = 2 \ left ( { x – 2 } \ right ) { \ left ( { x + \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } \ to USD kiểm tra thấy thông số tự do ở vế trái là USD 2 \ left ( { – 2 } \ right ) { \ left ( { \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = – 1 \ ne 4 \ to USD đây là nghiên cứu và phân tích sai. Nói chung khi thử một trường hợp nếu thấy nó đúng thì ta ghi vào giấy luôn, còn nếu nó sai thì chắc như đinh trường hợp còn lại sẽ đúng .Hoặc một cách để kiểm tra khi phương trình bậc ba USD a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + cx + d = 0 \ left ( { ad \ ne 0 } \ right ) USD có hai nghiệm $ { x_1 }, { x_2 } $ xem nghiệm nào là nghiệm kép thì ta chỉ cần thử xem hệ thức $ a { x_1 } x_2 ^ 2 = – d USD có đúng không, nếu đúng thì $ { x_2 } $ là nghiệm kép, còn nếu sai thì $ { x_1 } $ là nghiệm kép .Một vài ví dụ nữa để chứng tỏ sự đúng đắn của cách nghiên cứu và phân tích này :+ ) $ { x ^ 3 } – 5 { x ^ 2 } + 8 x – 4 = 0 USD .Phương trình chỉ có hai nghiệm $ { x_1 } = 1 ; { x_2 } = 2 \ to USD kiểm tra $ a { x_1 } { x_2 } = { 1.1.2 ^ 2 } = 4 = – d USD, đúng $ \ Rightarrow { x_2 } $ là nghiệm kép $ \ to USD nghiên cứu và phân tích được : $ { x ^ 3 } – 5 { x ^ 2 } + 8 x – 4 = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { x – 1 } \ right ) { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } = 0 USD .+ ) USD 2 { x ^ 3 } + 11 { x ^ 2 } + 20 x + 12 = 0 USD .Phương trình có chỉ hai nghiệm $ { x_1 } = – 2 ; { x_2 } = \ frac { { – 3 } } { 2 } \ to USD kiểm tra $ a { x_1 } x_2 ^ 2 = 2. \ left ( { – 2 } \ right ). { \ left ( { \ frac { { – 3 } } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = – 9 \ ne – d \ Rightarrow { x_1 } $ là nghiệm kép $ \ to USD nghiên cứu và phân tích được USD 2 { x ^ 3 } + 11 { x ^ 2 } + 20 x + 12 = 0 \ Leftrightarrow 2 { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 2 } \ left ( { x + \ frac { 3 } { 2 } } \ right ) = 0 USD .d ) Nếu để phương trình này mà bấm máy tính thì sẽ ra số lẻ : nghiệm USD x \ approx 2,236067977 USD. Vậy có cách nào để chuyển phương trình đã cho thành phương trình có nghiệm “ đẹp ” hơn ?Ta quan tâm trong phương trình đã cho những tín hiệu sau :– Hệ số trước $ { x ^ 3 } $ và $ { x } $ nói chung là “ đẹp ”, không chứa căn .– Phương trình không có $ { x ^ 2 } $, còn thông số tự do thì chứa căn, đơn cử là chứa $ \ sqrt 5 USD .Như vậy nếu ta đặt USD x = t \ sqrt 5 $ thì phương trình đã cho trở thành :USD \ begin { array } { l } { \ left ( { t \ sqrt 5 } \ right ) ^ 2 } – \ left ( { t \ sqrt 5 } \ right ) – 4 \ sqrt 5 = 0 \ Leftrightarrow 5 { t ^ 3 } \ sqrt 5 – t \ sqrt 5 – 4 \ sqrt 5 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 5 { t ^ 3 } – t – 4 = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { t – 1 } \ right ) \ left ( { 5 { t ^ 2 } + 5 t + 4 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = 1 \ Rightarrow x = \ sqrt 5 \ end { array } $Vậy tín hiệu nào đã đưa ta đến hướng đặt USD x = t \ sqrt 5 USD. Muốn vậy hãy nhìn vào lợi thế có được khi đặt như vậy : USD x = t \ sqrt 5 \ Rightarrow { x ^ 3 } = 5 { t ^ 3 }. \ sqrt 5 \ Rightarrow $ phương trình rút gọn được $ \ sqrt 5 USD, lúc đó phương trình ẩn USD t USD có hệ sổ toàn là thông số hữu tỷ, nên năng lực hiển thị nghiệm đẹp trên máy tính của phương trình ẩn USD t $ là cao hơn so với phương trình ẩn USD x USD ( do phương trình ẩn USD x USD còn chứa căn ) .Từ đó rút ra “ tín hiệu ” : Khi phương trình chứa một lượng là $ \ sqrt k USD ở những thông số thì nếu $ \ sqrt k USD chỉ Open ở những số hạng có mũ lẻ ( tức là $ { x ^ 3 } $ và USD x USD ) ( hoặc chỉ Open ở những số hạng có mũ chẵn gồm có $ { x ^ 2 } $ và thông số tự do ) thì ta dùng phép đặt USD x = t \ sqrt k USD để đưa phương trình về phương trình ẩn USD t $ với những thông số đều là những số hữu tỷ .Dâu hiệu này còn có thê được lan rộng ra cho những phương trình bậc cao hơn, vậy nên những bạn nên chú ý quan tâm. Chúng ta sẽ rèn luyện dạng này ở phần bài tập .2. Cách giải 1 số ít dạng phương trình bậc ba đặc biệt quan trọng :Câu hỏi đặt ra là : Trong khi nhu yếu bài toán là tìm nghiệm đúng chuẩn của phương trình, nếu phương trình bậc ba không nhẩm được nghiệm đẹp thì sao ?Trong mục này sẽ đề cập đến một sổ dạng phương trình bậc ba đặc biệt quan trọng mà khi bấm máy tính, ta chẳng thu được nghiệm nào “ đẹp ” cả .Dạng 1 : Nhóm lập phương, đưa phương trình về dạng :USD { \ left ( { ax + b } \ right ) ^ 3 } = { ( cx + d ) ^ 3 } $ ( đưa về hai vế lũy thừa cùng bậc ) .Nền tảng để nhóm lập phương đó là hằng đẳng thức bậc ba :USD \ begin { array } { l } { ( a + b ) ^ 3 } = { a ^ 3 } + 3 { a ^ 2 } b + 3 a { b ^ 2 } + { b ^ 3 }. \ \ { ( a – b ) ^ 3 } = { a ^ 3 } – 3 { a ^ 2 } b + 3 a { b ^ 2 } – { b ^ 3 }. \ end { array } $Thường thì tỉ lệ những thông số sẽ giúp ta để có cách nhóm tương thích .Ví dụ 2 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 4 = 0 USD .Giải : Phương trình đã cho tương tự với :USD { ( x + 1 ) ^ 3 } = – 3 \ Leftrightarrow x + 1 = – \ sqrt 3 \ Leftrightarrow x = – 1 – \ sqrt [ 3 ] { 3 } $Nhận xét : Tỉ lệ những thông số USD 1 : 3 : 3 $ trong phương trình đã giúp ta liên tưởng đến việc nhóm hằng đẳng thức $ { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 3 } $ .Ví du 3 : Giải phương trình $ \ left ( { x + \ sqrt [ 3 ] { 2 } } \ right ) = { \ left ( { 2 x – 1 } \ right ) ^ 3 } $ .Giải : Phương trình ở dạng đơn thuần, ta chỉ cần dùng biển đổi thường thì $ { a ^ n } = { b ^ n } \ Leftrightarrow a = b USD ( quan tâm USD n $ lẻ ) là hoàn toàn có thể xử lý được :USD { \ left ( { x + \ sqrt [ 3 ] { 2 } } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { 2 x – 1 } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow x + \ sqrt [ 3 ] { 2 } = 2 x – 1 \ Leftrightarrow x = 1 + \ sqrt [ 3 ] { 2 } $ .Chính vì việc giải phương trình dựa trên nền tảng đổi khác :USD { \ left ( { ax + b } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { cx + d } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow ax + b = cx + d USDnên phương trình bậc ba đã cho chỉ có một nghiệm $ \ to USD đây là một tín hiệu cho tất cả chúng ta khi “ bấm máy tính ” thấy chỉ có một nghiêm thực. Khi có 2 nghiệm hoặc 3 nghiệm thì ta không nghĩ đến cách nhóm bình phương này nữa ! .Ví dụ 4 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } + 3 ( 1 + \ sqrt [ 3 ] { 4 } ) { x ^ 2 } + 3 ( \ sqrt [ 3 ] { 2 } – l ) x + 2 = 0 USD .Phân tích và giải thuật : Phương trình có hình thức “ khá là xấu xí ” khi chứa đến hai căn bậc ba, đó là $ \ sqrt [ 3 ] { 4 } $ và $ \ sqrt [ 3 ] { 2 } $, trong đó $ \ sqrt [ 3 ] { 4 } = { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 2 } } \ right ) ^ 2 } USD. Từ nhận dạng này và đặc thù của hẳng đẳng thức, chứng ta sẽ nhóm hằng đẳng thức dạng $ { ( ax + b ) ^ 3 } USD. Như vậy hai số hạng ta đưa ra để thực thi điều này đó là hai số hạng chứa căn bậc ba : USD 3 { x ^ 2 } \ sqrt [ 3 ] { 4 } $ và USD 3 x \ sqrt [ 3 ] { 2 } USD. Cụ thể :USD { \ left ( { ax + b } \ right ) ^ 3 } = { ( ax ) ^ 3 } + 3 ( { a ^ 2 } b ) { x ^ 2 } + 3 ( { b ^ 2 } a ) x + { b ^ 3 } = … + 3 \ sqrt [ 3 ] { 4 } { x ^ 2 } + 3 \ sqrt [ 3 ] { 2 } x + … USDUSD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } 3 { a ^ 2 } b = 3 \ sqrt [ 3 ] { 4 } \ \ 3 { b ^ 2 } a = 3 \ sqrt [ 3 ] { 2 } \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } { a ^ 2 } b = \ sqrt [ 3 ] { 4 } \ \ { b ^ 2 } a = \ sqrt [ 3 ] { 2 } \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } { a ^ 2 } b. { b ^ 2 } a = \ sqrt [ 3 ] { 2 } \ \ a.ab = \ sqrt [ 3 ] { 4 } \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a = \ sqrt [ 3 ] { 2 } \ \ b = 1 \ end { array } \ right. $Vậy ta cần nhóm hằng đẳng thức $ { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 2 } + l } \ right ) ^ 3 } = 2. { x ^ 3 } + 3 \ sqrt [ 3 ] { 4 } { x ^ 2 } + 3 \ sqrt [ 3 ] { 2 } x + 1 \ to USD ta sẽ nhóm trong phương trình lượng này :USD \ begin { array } { l } { x ^ 3 } + 3 \ left ( { 1 + \ sqrt [ 3 ] { 4 } } \ right ) { x ^ 2 } + 3 \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 2 } – 1 } \ right ) x + 2 = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { 2 { x ^ 3 } + 3 \ sqrt [ 3 ] { 4 } { x ^ 2 } + 3 \ sqrt [ 3 ] { 2 } x + 1 } \ right ) \ left ( { – { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 3 x + 1 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 2 } x + 1 } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow \ sqrt [ 3 ] { 2 } x + 1 = x – 1 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 2 } x – 1 } \ right ) x = – 2 \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } \ end { array } $Nhận xét : Do tính “ lẻ ” của những căn thức nên ở dạng này, tất cả chúng ta thuận tiện dùng chiêu thức thông số bất định để tìm ra được cách nhóm hằng đẳng thức !Vi dụ 5 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 9 x – 9 = 0 USD .Phân tích và giải thuật : ( Đây là dạng hay gặp nhât trong những dạng phương trình bậc ba này đó là phương trình chỉ gồm những thông số là số hữu tỷ ( và thường là sổ nguyên ), đồng thời dựa vào ba số hạng bậc nhỏ hơn 3 là hoàn toàn có thể nhóm được hằng đẳng thức ). Ta quan tâm nhất là dạng này !Ở dạng này thì ta sẽ chỉ sử dụng những số hạng có bậc bé hơn 3 để nhóm hằng đẳng thức $ { ( ax + b ) ^ 3 } $, đơn cử :USD \ begin { array } { l } { ( ax + b ) ^ 3 } = { a ^ 3 } { x ^ 3 } + 3 { a ^ 2 } b { x ^ 2 } + 3 a { b ^ 2 } x + { b ^ 3 } = … – 3 { x ^ 2 } + 9 x – 9 \ \ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } 3 { a ^ 2 } b = – 3 \ \ 3 a { b ^ 2 } = 9 \ \ { b ^ 3 } = – 9 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b = – \ sqrt [ 3 ] { 9 } \ \ { a ^ 2 } \ sqrt [ 3 ] { { – 9 } } = – 3 \ \ a. \ sqrt [ 3 ] { { 81 } } = 3 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b = – \ sqrt [ 3 ] { 9 } \ \ a = \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } \ end { array } \ right. \ end { array } $USD \ to USD Cần nhóm hằng đẳng thức $ { \ left ( { \ frac { x } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } – \ sqrt [ 3 ] { 9 } } \ right ) ^ 3 } $ thì toàn bộ những số hạng có bậc bé hơn 3 sẽ được nhóm vào một hằng đẳng thức bậc ba, còn lại chỉ là $ { x ^ 3 } $ nên chắc như đinh sẽ đưa được phương trình về dạng $ { ( ax + b ) ^ 3 } = c { x ^ 3 } \ to USD trọn vẹn giải được :Phương trình đã cho tương tự với :$ \ left ( { \ frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 9 } \ right ) + \ frac { 2 } { 3 } { x ^ 3 } = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { \ frac { x } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } – \ sqrt [ 3 ] { 9 } } \ right ) ^ 3 } = \ frac { { – 2 } } { 3 } { x ^ 3 } \ Leftrightarrow \ frac { x } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } – \ sqrt [ 3 ] { 9 } = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 2 } { 3 } x } } \ Leftrightarrow x = \ frac { 3 } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } $Nhận xét : Việc tìm thông số USD b USD là đơn thuần nhất, ta chỉ cần lấy căn bậc ba của thông số tự do .Ví dụ 6 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } – { x ^ 2 } – x – \ frac { 1 } { 3 } = 0 USD .Phân tích và giải thuật : Ý tưởng tựa như, nhưng để những thông số “ dương ” hơn thì tiên phong ta nên chuyển vế một chút ít :USD { x ^ 3 } = { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } $Giờ ta sẽ cộng thêm một lượng USD k { x ^ 3 } $ nào đó vào vế phải để thu được hằng đẳng thức bậc ba, tiềm năng là thu được phương trình tương tự ở dạng :$ \ left ( { 1 + k } \ right ) { x ^ 3 } = k { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } $, trong đó vế phải là một lập phương $ { ( ax + b ) ^ 3 } $ thì hoàn toàn có thể thuận tiện giải được phương trình này. Ta tiến hành sáng tạo độc đáo này một cách đơn cử :USD \ begin { array } { l } { x ^ 3 } = { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } \ \ k { x ^ 3 } \ \ { ( ax + b ) ^ 3 } = { a ^ 3 } { x ^ 3 } + 3 { a ^ 2 } b { x ^ 2 } + 3 a { b ^ 2 } x + { b ^ 3 } = … + { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } \ \ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } 3 { a ^ 2 } b = 1 \ \ 3 a { b ^ 2 } = 1 \ \ { b ^ 2 } = \ frac { 1 } { 3 } \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b = \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } \ \ 3 { a ^ 2 }. \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } = 1 \ \ 3 a. { \ left ( { \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } } \ right ) ^ 2 } = 1 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b = \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } \ \ a = \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } \ end { array } \ right. \ end { array } $USD \ to USD Cần nhóm hằng đẳng thức $ { \ left ( { \ frac { x } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } + \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } } \ right ) ^ 3 } $, tức là vế phải cần cộng thêm một lượng $ \ frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } $ là. Ta đi đến lời giải :Phương trình đã cho tương tự với :USD \ frac { 4 } { 3 } { x ^ 3 } = \ frac { { { x ^ 3 } } } { 3 } + { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 4 } { 3 } } } x } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { \ frac { x } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } + \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 4 } { 3 } } } x = \ frac { x } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } + \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 4 } – 1 } } $Nhận xét : Ở Ví dụ 5 và Ví dụ 6 thì khi nhóm hằng đẳng thức ta thấy hơi “ cứng ”. Sau đây là những giải thuật đẹp hơn, từ đó tất cả chúng ta đi đến nhận xét chung :Ví dụ 5 : $ { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 9 x – 9 = 0 \ Leftrightarrow 3 { x ^ 3 } – 9 { x ^ 2 } + 27 x – 27 = 0 USDUSD \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 3 } – 9 { x ^ 2 } + 27 x – 27 } \ right ) + 2 { x ^ 3 } = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { x – 3 } \ right ) ^ 3 } = – 2 { x ^ 3 } \ \ \ Leftrightarrow x – 3 = \ sqrt [ 3 ] { 2 } \ Leftrightarrow x = \ frac { 3 } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } \ end { array } $Ví dụ 6 : $ \ begin { array } { l } { x ^ 3 } – { x ^ 2 } – x – \ frac { 1 } { 3 } = 0 \ Leftrightarrow 3 { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } – 3 x – 1 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 4 { x ^ 3 } = { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 \ Leftrightarrow 4 { x ^ 3 } = { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 3 } \ \ \ Leftrightarrow \ sqrt [ 3 ] { 4 } x = x + l \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { 4 } – 1 } } \ end { array } $Vậy để quy trình biến hóa đẹp hơn, ở Ví dụ 5 tất cả chúng ta đã nhân hai vế lên một lượng là 3. Lúc này thì thông số tự do trở thành $ – 27 = { \ left ( { – 3 } \ right ) ^ 3 } $, là một lập phương. Còn ở Ví dụ 6 tất cả chúng ta đã nhận thêm một lượng là 3 để thông số tự do trở thành $ \ left ( { – 1 } \ right ) = { \ left ( { – 1 } \ right ) ^ 3 } $, cũng là một lập phương .USD \ Rightarrow $ Kinh nghiệm rút ra khi thiếuUSD { x ^ 3 } – 21 { x ^ 2 } – 15 x – 19 = 0 USDỞ phương trình này thì việc nhóm những số hạng có bậc bé hơn 3 không khả thi .Ý tưởng của ta là sử dụng giải pháp thông số bất định để thêm bớt hai vế để thu hằng đẳng thức :USD ( 1 + a ) { x ^ 3 } + ( b – 21 ) { x ^ 2 } + \ left ( { c – 15 } \ right ) x + \ left ( { d – 19 } \ right ) = ax + bx + cx + d \ left ( * \ right ) USD .( thêm vào hai vế một lượng là USD a { x ^ 3 } + bx { \ rm { } } + cx + d USD, trong đó USD a, b, c, d USD sẽ là những số ta cần đi tìm ) .Ta chú ý rằng, nếu hai vế đều là những lập phương thì phương trình đã cho phải có dạng :USD \ begin { array } { l } { \ left [ { x. \ sqrt [ 3 ] { { 1 + a } } + \ sqrt [ 3 ] { { d – 19 } } } \ right ] ^ 3 } = { \ left [ { x \ sqrt [ 3 ] { a } + \ sqrt [ 3 ] { d } } \ right ] ^ 3 } \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { 1 + a } \ right ) { x ^ 3 } + 3 { \ left ( { x \ sqrt [ 3 ] { { 1 + a } } } \ right ) ^ 2 } \ sqrt [ 3 ] { { d – 19 } } + 3 x \ sqrt [ 3 ] { { 1 + a } }. { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { d – 19 } } } \ right ) ^ 2 } + \ left ( { d – 19 } \ right ) = a { x ^ 3 } + 3 { \ left ( { x \ sqrt [ 3 ] { a } } \ right ) ^ 2 }. \ sqrt [ 3 ] { d } + 3 x \ sqrt [ 3 ] { a }. { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { d } } \ right ) ^ 2 } + d \ left ( { * * } \ right ) \ end { array } $Để ( * ) có dạng hai vế đều là hằng đẳng thức thì ( * ) phải có dạng giống ( * * ), tức là thông số trước $ { x ^ 3 }, { x ^ 2 }, x USD và thông số tự do phải giống hệt ( nhưng ở đây thì thông số trước $ { x ^ 3 } $ và thông số tự do đã bằng nhau rồi )USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } 3 \ sqrt [ 3 ] { { { { \ left ( { 1 + a } \ right ) } ^ 2 } \ left ( { d – 19 } \ right ) } } = b – 21 \ \ 3 \ sqrt [ 3 ] { { \ left ( { 1 + a } \ right ) { { \ left ( { d – 19 } \ right ) } ^ 2 } } } = c – 15 \ \ 3 \ sqrt [ 3 ] { { { a ^ 2 } d } } = b \ \ 3 \ sqrt [ 3 ] { { a { d ^ 2 } } } = c \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } { \ left ( { 1 + a } \ right ) ^ 2 } \ left ( { d – 19 } \ right ) = \ frac { { { { \ left ( { b – 21 } \ right ) } ^ 3 } } } { { 27 } } \ left ( 1 \ right ) \ \ \ left ( { 1 + a } \ right ) { \ left ( { d – 19 } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { c – 15 } } { { 27 } } \ left ( 2 \ right ) \ \ { a ^ 2 } d = \ frac { { { b ^ 3 } } } { { 27 } } \ left ( 3 \ right ) \ \ a { d ^ 2 } = \ frac { { { c ^ 3 } } } { { 27 } } \ left ( 4 \ right ) \ end { array } \ right. $Muốn giải hệ này một cách chuyên nghiệp thì sẽ rất mất thời hạn .– Nhân ( 3 ) và ( 4 ) vế theo vế ta được $ { \ left ( { ad } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { \ frac { { bc } } { 9 } } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow ad = \ frac { { bc } } { 9 } $Thay trở lại ( 3 ), ( 4 ) ta được : USD a = \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 c } } $ và USD d = \ frac { { { c ^ 2 } } } { { 3 b } } $ ( 5 ) .Tương tự nhân ( 1 ) và ( 2 ) vế theo vế ta được $ \ left ( { 1 + a } \ right ) \ left ( { d – 19 } \ right ) = \ frac { { \ left ( { b – 21 } \ right ) \ left ( { x – 15 } \ right ) } } { 9 } USD. Thay trở lại được :USD 1 + a = \ frac { { { { \ left ( { b – 21 } \ right ) } ^ 2 } } } { { 3 \ left ( { c – 15 } \ right ) } } $ và 3 $ d – 19 = \ frac { { { { \ left ( { x – 15 } \ right ) } ^ 2 } } } { { 3 \ left ( { b – 21 } \ right ) } } \ left ( 6 \ right ) USDTừ ( 5 ) và ( 6 ) ta có hệ :USD \ left \ { \ begin { array } { l } 1 + \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 c } } = \ frac { { { { \ left ( { b – 21 } \ right ) } ^ 2 } } } { { 3 \ left ( { c – 15 } \ right ) } } \ \ \ frac { { { c ^ 2 } } } { { 3 b } } – 19 = \ frac { { { { \ left ( { c – 15 } \ right ) } ^ 2 } } } { { 3 \ left ( { b – 21 } \ right ) } } \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } bc \ left ( { b – 21 } \ right ) \ left ( { c – 15 } \ right ) \ ne 0 \ \ 5 { b ^ 2 } – 14 bc – { c ^ 2 } = – 162 c \ \ 19 { b ^ 2 } – 10 bc + 7 { c ^ 2 } = 324 b \ end { array } \ right. $ ( quy đồng ) .Đây là hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng, cách giải xin được trình làng trong cuốn Chinh phục Hệ phương trình trong đề thi vương quốc .Kết quả giải hệ : USD ( b ; c ) = \ left ( { 9 ; – 9 } \ right ), \ left ( { 12 ; 24 } \ right ) USD ( đều là nghiệm đẹp-đã loại cặp nghiệm $ \ left ( { 0 ; 0 } \ right ) USD và $ \ left ( { 21 ; 15 } \ right ) USD ) .Ta chọn một nghiệm, ví dụ điển hình USD b = 9 $ và $ c = – 9 \ Leftrightarrow a = – 3 $ và USD d = 3 USD. Lúc đó thay vào ( * ) ta được phương trình tương tự :USD \ begin { array } { l } \ left ( { 1 – 3 } \ right ) { x ^ 3 } + \ left ( { 9 – 21 } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { – 9 – 15 } \ right ) x + \ left ( { 3 – 19 } \ right ) = – 3 { x ^ 3 } + 9 { x ^ 2 } – 9 x + 3 \ \ \ Leftrightarrow – 2 \ left ( { { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } + 12 x + 8 } \ right ) = – 3 \ left ( { { x ^ 3 } – 3 x + 3 x – 1 } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow 2 { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 3 } = 3 { \ left ( { x – l } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow \ sqrt [ 3 ] { 2 } \ left ( { x + 2 } \ right ) = \ sqrt [ 3 ] { 3 } \ left ( { x – 1 } \ right ) \ Leftrightarrow x = \ frac { { 2 \ sqrt [ 3 ] { 2 } + \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } – \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } \ end { array } $Thử một nghiệm khác để kiểm tra tính đúng đắn :– Với USD b = 12 $ và USD c = 24 \ Leftrightarrow a = 2 $ và USD d = { \ rm { } } 16 USD. Thay vào ( * ) ta được :USD 3 { \ left ( { x – l } \ right ) ^ 3 } = 2 { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 3 } $ ( chẳng qua là đảo ngược của trường hợp trên ) .USD \ Rightarrow USD Chỉ cần chọn một cặp nghiệm để trình diễn vào bài .Qua bài giải sử dụng thông số bất định này thì có lẽ rằng tâm lí nhiều bạn sẽ “ sợ ” phương trình kiểu này, nhưng như đã nói, cách giải này chỉ mang tính trình làng dạng bài chứ năng lực ra trong những đề thi là rất rất ít, đồng thời sau này tất cả chúng ta sẽ xây dụng cách giải tổng quát cho phương trình bậc ba nên không cần phải quá bận tâm giải pháp này !Dạng 2 : Phương pháp đổi biến hữu tỷ .Chúng ta sẽ đi vào những ví dụ trước, sau đó rút ra những đặc thù, tín hiệu khi sử dụng cách giải này ! Tất nhiên máy tính bỏ túi sẽ không can thiệp được khi nghiệm lẻ. Nói ở trong phần này, máy tính bỏ túi chỉ góp một phần nhỏ trong việc xu thế giải toán mà thôi !Ví dụ 8 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } + 3 x + 1 = 0 USD .Giải : Đặt USD x = t – \ frac { 1 } { t } $ ( với USD t \ ne 0 $ thì tập giá trị của USD t – \ frac { 1 } { t } $ là USD R USD. nên luôn hoàn toàn có thể đặt theo kiểu này, lúc đó :USD { x ^ 3 } = { \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } = { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } – 3 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) USDPhương trình đã cho trở thành :USD \ begin { array } { l } { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } – 3 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 3 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 1 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } + 1 } } = 0 \ \ \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + { t ^ 3 } – 1 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } } } \ end { array } $Với hai giá trị này của USD t $ thì ứng với chỉ một giá trị của USD x USD làUSD x = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } – \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } } } = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } $Vậy phương trình có nghiệm duy nhất USD x = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } $Ví dụ 9 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } – 3 x + 4 = 0 USD .Phân tích và giải thuật : Bước đi tiên phong là đi chứng tỏ phương trình vô nghiệm trên $ \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD. Tại sao lại có phần này, và tại sao lại có cơ sở để chứng minh điều này ? Chúng ta sẽ đề cập sau !Để chứng tỏ một phương trình vô nghiệm trên một đoạn $ \ left [ { a ; b } \ right ] $ ( hoặc hoàn toàn có thể là khoảng chừng ) thì ta phải chắc như đinh rằng phương trình đó không có nghiệm trên $ \ left [ { a ; b } \ right ] USD. Vậy muốn chắc như đinh điều này, thì máy tính hoàn toàn có thể trọn vẹn giúp ta. Phương trình trên có nghiệm duy nhất $ { x_0 } \ approx – 2,195823345 $ $ \ Rightarrow $ nó vô nghiệm trên $ \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD ( vì điểm $ { x_0 } \ in \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD ). Tiếp theo, khảo sát hàm số sẽ giúp ta phần còn lại ! ( Phần này dành cho bạn đọc, chỉ cần khảo sát hàm USD f \ left ( x \ right ) = { x ^ 3 } – 3 x + 6 USD trên $ \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD là suy ra được $ f ( x ) USD có tập giá trị là $ \ left [ { 2 ; 6 } \ right ] $ $ \ Rightarrow $ $ f ( x ) \ ge 2 \ forall x \ in R \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD ). ( Ở phần Kĩ năng chứng tỏ phương trình bậc ba vô nghiệm trên một khoảng chừng, sẽ có cách hay hơn cho việc chứng tỏ này ) .Vậy để điều kiện kèm theo để phương trình có nghiệm là :USD x \ notin \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x \ ge 2 \ \ x \ le – 2 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left | x \ right | \ ge 2 USDVới điều kiện kèm theo này, ta hoàn toàn có thể đặt USD x = t + \ frac { 1 } { t } \ left ( { t \ ne 0 } \ right ) USD$ \ left ( { do \ left | { t + \ frac { 1 } { t } } \ right | = \ left | t \ right | + \ left | { \ frac { 1 } { t } } \ right | \ ge 2 \ sqrt { \ left | t \ right |. \ frac { 1 } { { \ left | t \ right | } } } = 2 } \ right ) USD( Ỏ đây đã sử dụng đặc thù về giá trị tuyệt đối : Nếu $ a, b USD cùng dấu thì $ \ left | { a + b } \ right | = \ left | a \ right | + \ left | b \ right | $ và bất đẳng thức Côsi ) .Lúc đó phương trình đã cho trở thành :USD \ begin { array } { l } { \ left ( { 1 + \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } – 3 \ left ( { 1 + \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 4 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } + \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + 4 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + 4 { t ^ 3 } + 1 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = – 2 \ pm 3 \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { – 2 \ pm \ sqrt 3 } } \ end { array } $ .Với hai giá trị này của USD t $ thì chỉ ứng với một giá trị của USD x USD duy nhất là :USD x = \ sqrt [ 3 ] { { – 2 + \ sqrt 3 } } + \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { { – 2 + \ sqrt 3 } } } } = \ sqrt [ 3 ] { { – 2 + \ sqrt 3 } } – \ sqrt [ 3 ] { { 2 + \ sqrt 3 } } $Nhận xét : Vì tất cả chúng ta thực thi phép đổi biến $ { x = t + \ frac { 1 } { t } } $, trong đó $ { \ left | { t + \ frac { 1 } { t } } \ right | \ ge 2 } $ nên nếu muốn có phép đặt này thì ta phải có $ \ left | x \ right | \ ge 2 USD. Đây chính là nguyên do ta cần bảo vệ phương trình vô nghiệm trên $ \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD. Còn nếu phương trình có nghiệm trên $ \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD thì ta sẽ đi ở dạng sau !Qua hai phương trình trên thì ta thấy tín hiệu đổi biển hữu tỷ đó là phương trình khuyết $ { x ^ 2 } $, đồng thời thông số trước $ { x } $ gấp 3 lần ( hoặc gấp ( – 3 ) lần ) thông số trước $ { x ^ 3 } $ .Tổng quát :– Các phương trình có dạng $ { x ^ 3 } – 3 x + a = 0 $ ( hoặc USD k { x ^ 3 } – 3 kx + a = 0 USD ) nếu có nghiệm USD x_0 USD với $ \ left | { { x_0 } } \ right | \ ge 2 $ thì ta tìm nghiệm đó bằng phép đặt USD x = t + \ frac { 1 } { t } USD. Muốn đặt được như thế này thì phải bảo vệ điều kiện kèm theo $ \ left | x \ right | \ ge 2 USD, hoặc đang xét trường hợp $ \ left | x \ right | \ ge 2 USD .– Các phươngtrình có dạng $ { x ^ 3 } + 3 x + a = 0 $ ( hoặc USD k { x ^ 3 } + 3 kx + a = 0 USD ) nếu có nghiệm lẻ ở trong máy tính thì đều hoàn toàn có thể “ hóa giải ” bằng cách đổi biến USD x = t – \ frac { 1 } { t } USD. Lưu ý rằng phương trình dạng này luôn có nghiệm duy nhất, vậy nên dù có tìm được hai giá trị của USD t $ thì cũng chỉ ứng với một giá trị của USD x USD .Do USD f \ left ( x \ right ) = t – \ frac { 1 } { t } \ left ( { t \ ne 0 } \ right ) USD có tập giá trị là $ R $ nên trọn vẹn hoàn toàn có thể đổi biến kiểu này. Đây chính là nguyên do ta không cần chặn USD x USD trước khi triển khai phép đặt .Dang 3 : Phương pháp đổi biến lượng giác .Phương pháp này chỉ vận dụng cho những bạn đã học đến phần phương trình lượng giác .Ví dụ 10 : Giải phương trình USD 4 { x ^ 3 } – 3 x + \ frac { 1 } { 2 } = 0 USD .Phân tích và giải thuật :Máy tính bỏ túi cho ta ba nghiệm :USD { x_1 } \ approx – 0,9396926208 ; { x_2 } \ approx 0,7660444431 ; { x_3 } \ approx 0,1736481777 $ .Nhận xét rằng ba nghiệm này đều có giá trị tuyệt đối bé hơn USD 1 \ to USD hoàn toàn có thể dùng phép lượng giác hóa $ x = cost USD để giải phương trình này. Tại sao ta lại nghĩ đến điều này ? Bởi thông số 4 và – 3 trong phương trình trên : khi đặt USD x = cost USD thì USD 4 { x ^ 3 } – 3 x = 4 co { s ^ 3 } t – 3 \ cos t = cos3x \ to USD phương trình trở thành dạng : USD cos3x + \ frac { 1 } { 2 } = 0 USD, đây là phương trình lượng giác cơ bản. Tất nhiên, tiên phong ta phải đi chứng tỏ phương trình này vô nghiệm khi $ \ left | x \ right | > 1 USD .Để chứng tỏ phương trình vô nghiệm thì công cụ có ích nhất cho ta, so với những hàm đa thức ( đơn cử ở đây là đa thức bậc ba ) đó là khảo sát hàm số. Công việc này quá đơn thuần so với những học viên lớp 12 nhưng sau đây ta sẽ tìm cách “ lách luật ” để không cần dùng đến khảo sát hàm số ! Phương trình đã cho tương tự với :USD 4 { x ^ 3 } – 3 x = \ frac { { – 1 } } { 2 } \ Rightarrow \ left | { 4 { x ^ 3 } – 3 x } \ right | = 1 \ Rightarrow \ left | x \ right |. \ left | { 4 { x ^ 2 } – 3 } \ right | = \ frac { 1 } { 2 } \ left ( * \ right ) USD .Với $ \ left | x \ right | > 1 $ thì $ \ left | { 4 { x ^ 2 } – 3 x } \ right | = \ left | { 4 { { \ left | x \ right | } ^ 2 } – 3 } \ right | > \ left | { 4 – 3 } \ right | = 1 \ Rightarrow \ left | x \ right | \ left | { 4 { x ^ 2 } – 3 } \ right | > 1.1 = 1 > \ frac { 1 } { 2 } $, xích míc ( * ) .Suy ra $ \ left | x \ right | \ le 1 USD. Lúc này ta hoàn toàn có thể đặt USD x = cost USD ( điều kiện kèm theo USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ ), phương trình đã cho trở thành :USD \ begin { array } { l } 4 c { \ rm { o } } { { \ rm { s } } ^ 3 } t – 3 \ cos t + \ frac { 1 } { 2 } = 0 \ Leftrightarrow c { \ rm { os } } 3 t = \ frac { { – 1 } } { 2 } \ \ \ Leftrightarrow 3 t = \ pm \ frac { { 2 \ pi } } { 3 } + k2 \ pi \ left ( { k \ in Z } \ right ) \ Leftrightarrow t = \ ne \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } + \ frac { { k2 \ pi } } { 3 } \ end { array } $Với USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ thì chỉ tìm được ba giá trị của USD t $ thỏa mãn nhu cầu là :USD { t_1 } = \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } ; { t_2 } = \ frac { { 4 \ pi } } { 9 } $ và $ { t_3 } = \ frac { { 8 \ pi } } { 9 } $Suy ra phương trình có ba nghiệm là :USD x = c { \ rm { os } } \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } ; x = c { \ rm { os } } \ frac { { 4 \ pi } } { 9 } $ và USD x = c { \ rm { os } } \ frac { { 8 \ pi } } { 9 } $Lưu ý : Trong bài toán trên ta đặt điều kiện kèm theo USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ chứ không phải USD t \ in R $ là do mục tiêu sau cuối của ta là tìm USD x USD, nên chỉ cần tìm những giá trị $ t $ đơn cử để thay vào tìm USD x USD. Thật vậy nếu đặt điều kiện kèm theo USD t \ in { \ rm { R } } $ nhìn thì có vẻ là vô số nghiệm USD x USD nhưng do tính tuần hoàn của hàm số cosin nên thì khi xử lí nghiệm USD t $ phức tạp : USD t = \ pm \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } + \ frac { { k2 \ pi } } { 3 } $ ( vô số nghiệm USD t USD ) $ \ to USD thay vào tìm USD x USD ta được USD x = c { \ rm { os } } \ left ( { \ pm \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } + \ frac { { k2 \ pi } } { 3 } } \ right ) USD thực ra “ vô số giá trị của $ F $ chỉ cho 3 giá trị của USD x USD là 3 nghiệm đã tìm ra như đề bài .Đồng thời việc đặt điều kiện kèm theo $ t $ phải dựa trên điều kiện kèm theo :– Mỗi giá trị của USD t $ phải ứng với một giá trị của USD x USD .– Mỗi giá trị của USD x USD phải ứng với tối thiểu một giá trị của USD t USD .Tức là hiểu nôm na với mỗi USD x USD thuộc tập giá trị của USD x USD thì phải ứng với tối thiểu một giá trị của $ t $ ( hoàn toàn có thể một giá trị của USD x $ ứng với nhiều $ A $ nhưng nếu quá nhiều USD t $ thì khi thay USD t $ trở lại tìm USD x USD sẽ bị lặp nghiệm ). Như vậy để tối ưu hóa lời giải ta đặt USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ do :– Khi USD x = cost USD thì tập giá trị của USD x USD là $ \ left [ { – 1 ; 1 } \ right ] $ ( 1 ) .– Với mỗi USD x \ in \ left [ { – 1 ; 1 } \ right ] $, ta luôn tìm được duy nhất USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ ( 2 ) .Ta trọn vẹn hoàn toàn có thể đặt điều kiện kèm theo là USD t \ in \ left [ { \ pi ; 2 \ pi } \ right ] $ ; hay USD t \ in \ left [ { – \ pi ; 0 } \ right ] $, đều thỏa mãn nhu cầu hai điều kiện kèm theo ( 1 ), ( 2 ) nhưng có vẻ như rằng việc chọn tập giá trị của USD t $ là $ \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ vẫn là “ đẹp ” và dễ thao tác nhất !Từ đó những bạn hãy suy ra tại sao sử dụng những bước đặt sau ta lại dùng những điều kiện kèm theo tương ứng :– Đặt USD x = sint USD, điều kiện kèm theo USD t \ in \ left [ { \ frac { { – \ pi } } { 2 } ; \ frac { \ pi } { 2 } } \ right ] $– Đặt USD x = tant USD, điều kiện kèm theo USD t \ in \ left [ { \ frac { { – \ pi } } { 2 } ; \ frac { \ pi } { 2 } } \ right ] $– Đặt USD x = cotant USD, điều kiện kèm theo USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ .Ví dụ 11 : Giải phương trình $ { x ^ 3 } – 3 x + 1 = 0 USD .Phân tích và giải thuật :Phương trình này có hình thức giống phương trình đã được ra mắt ở Ví dụ 9 ( đều có thông số trước USD x $ gấp ( – 3 ) lần thông số trước $ { x ^ 3 } $ ), nhưng khác một điều là nghiệm của phương trình này lại có giá trị tuyệt đối bé hơn 2, vậy nên không hề xử lí theo cách đặt USD x = t + \ frac { 1 } { t } $ được !Máy tính cho ta ba nghiệm lẻ $ { x_1 } \ approx 1,879385242 ; { x_2 } \ approx 1,532088886 $ và $ { x_3 } \ approx 0,3472963553 USD. Nhận xét rằng những nghiệm này đều có giá trị tuyệt đối bé hơn 2, nên ta hoàn toàn có thể sử dụng phép đặt USD x = 2 cost USD. Lợi thế của phép đặt này : $ { x ^ 3 } – 3 x = 8 co { s ^ 3 } t – 6 cost = 2 ( 4 co { s ^ 3 } t – 3 cost ) = 2 cos3x USD, lúc đó phương trình đã cho trở thành phương trình lượng giác cơ bản : USD 2 cos3x + 1 = 0 USD .Tất nhiên việc tiên phong phải làm là chứng tỏ $ \ left | x \ right | \ le 2 USD, tức là cần chứng tỏ vỏ’i $ \ left | x \ right | > 2 USD thì phương trình vô nghiệm. Khảo sát hàm số là một cách, nhung cách đề cập sau đây sẽ “ lách luật ” để bài giải gọn hơn. Ta có :USD { x ^ 3 } – 3 x + 1 = 0 \ Leftrightarrow { x ^ 3 } – 3 x = – l \ Leftrightarrow \ left | { { x ^ 3 } – 3 x } \ right | = 1 \ Leftrightarrow \ left | x \ right |. \ left | { { x ^ 2 } – 3 } \ right | = 1 ( * ). $Với $ \ left | x \ right | > 2 USD thì $ \ left | { { x ^ 2 } – 3 } \ right | > 1 \ Rightarrow \ left | x \ right | \ left | { { x ^ 2 } – 3 } \ right | > 2.1 > 1 USD, xích míc $ \ left ( * \ right ) \ Rightarrow \ left | x \ right | \ le 2 USD .Lúc này hoàn toàn có thể đặt USD x = 2 cost USD ( với USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ ) .Phương trình đã cho trở thành :USD 8 co { s ^ 3 } t – 6 cost + 1 = 0 \ Leftrightarrow 2 cos3t + 1 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow c { \ rm { o } } { { \ rm { s } } ^ 3 } t = \ frac { { – 1 } } { 2 } \ Leftrightarrow 3 t = \ pm \ frac { { 2 \ pi } } { 3 } + k2 \ pi \ left ( { k \ in Z } \ right ) \ Leftrightarrow t = \ pm \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } + \ frac { { k2 \ pi } } { 3 } $Với USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ thì ta tìm được ba giá trị của USD t $ thỏa mãn nhu cầu làUSD { t_1 } = \ frac { { 2 \ pi } } { 9 } ; { t_2 } = \ frac { { 4 \ pi } } { 9 } $ và $ { t_3 } = \ frac { { 8 \ pi } } { 9 } $Từ đó Kết luận phương trình có ba nghiệm là :USD x = 2 cos \ frac { { 2 \ pi } } { 2 } ; x = 2 cos \ frac { { 4 \ pi } } { 9 } $ và USD x = 2 cos \ frac { { 8 \ pi } } { 9 } $Câu hỏi đặt ra : Liệu có cách nào để hiểu rõ thực chất bước đặt này không ? Tại sao lại hoàn toàn có thể nghĩ đến phép đổi biến USD x = 2 cost USD như vậy ? Tại sao ở Ví dụ 10 thì USD x = cost USD mà ở Ví dụ 11 lại đặt USD x = 2 cost USD ?Để vấn đáp lần lượt những câu hỏi này, tiên phong ta phải xuất phát từ công thức lượng giác :USD c { \ rm { os } } 3 t = 4 c { \ rm { o } } { { \ rm { s } } ^ 3 } t – 3 \ cos t \ to \ frac { { He \, so \, truoc \, { { \ cos } ^ 3 } x } } { { He \, so \, truoc \, \ cos x } } = \ frac { 4 } { { – 3 } } = \ frac { { – 4 } } { 3 } $Như vậy nếu phương trình có dạng USD 4 k { x ^ 3 } – 3 kx + a = 0 $ ( tức là $ \ frac { { He \, so \, truoc \, { { \ cos } ^ 3 } x } } { { He \, so \, truoc \, \ cos x } } = \ frac { 4 } { { – 3 } } = \ frac { { – 4 } } { 3 } $ thì khi đặt USD x = cost USD, phương trình này trọn vẹn hoàn toàn có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản :USD 4 kco { s ^ 3 } t – 3 cost + a = 0 \ Leftrightarrow k ( 4 co { s ^ 3 } t – 3 cost ) + a = 0 \ Leftrightarrow cos3t = \ frac { { – a } } { k } $ .Để phương trình này có nghiệm thì điều kiện kèm theo là $ \ left | { \ frac { a } { k } } \ right | \ le 1 $ ( cần quan tâm )Như vậy câu hỏi thứ nhất đã được xử lý .Phép đặt USD x = 2 cost USD thực ra là “ hai phép đặt trong một ”. Đầu tiên phương trình có dạng : $ { x ^ 3 } – 3 x + 1 = 0 \ Leftrightarrow \ frac { { He \, so \, truoc \, { x ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, x } } = \ frac { 1 } { { – 3 } } = \ frac { { – 1 } } { 3 } $Vậy có cách nào để đưa tỉ số thông số đó thành $ \ frac { { – 4 } } { 3 } $ hay không ? Hoàn toàn hoàn toàn có thể nhờ sử dụng thông số bất định : đổi biến USD x = ky USD ( trong đó USD k USD là thông số, còn USD y $ là biến mới ), lúc đó phương trình đã cho trở thành :USD k { y ^ 3 } – 3 ky { \ rm { } } + 1 = 0 \ left ( 1 \ right ) USD .Giờ đi tìm thông số USD k USD sao cho :USD \ frac { { He \, so \, truoc \, { y ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, y } } = \ frac { { – 4 } } { 3 } \ Leftrightarrow \ frac { { { k ^ 3 } } } { { – 3 k } } = \ frac { { – 4 } } { 3 } \ Leftrightarrow k = \ pm 2 USDChọn USD k = 2 USD th ì ( 1 ) thành : USD 8 { y ^ 3 } – 6 y + 1 = 0 \ to \ frac { { He \, so \, truoc \, { y ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, y } } = \ frac { 8 } { { – 6 } } = \ frac { { – 4 } } { 3 } $USD \ to USD sử dụng phép đặt USD y = cost USD thì hoàn toàn có thể đưa phương trình thành :USD 8 co { s ^ 3 } t – 6 cost + 1 = 0 \ Leftrightarrow 2 cos3t + 1 = 0 USD .Nhìn lại : USD x = 2 y $, còn USD y = cost \ Rightarrow x = 2 \ cos t \ to USD thực chất của phép đặt USD x = 2 \ cos t $ là hai phép đặt !Như vậy, với phương trình có dạng USD a { x ^ 3 } + bx + c = 0 $ bất kể ta hoàn toàn có thể dùng phép đặt USD x = ky USD để đưa về tỉ lệ mà ta muốn .Mở rộng :Với phương trình bậc ba khuyết USD x USD có dạng : USD a { x ^ 3 } + bx + c = 0 \ left ( { ab \ ne 0 } \ right ) USD thì ta trọn vẹn hoàn toàn có thể dùng phép đặt USD x = ky USD để đưa về “ tỉ lệ mong ước ” :USD ak { y ^ 3 } + bky { \ rm { } } + c = 0 USDLập tỉ lệ $ \ frac { { He \, so \, truoc \, { y ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, y } } = \ frac { { a { k ^ 3 } } } { { bk } } = \ frac { { a { k ^ 2 } } } { b } = $ tỉ lệ mong muôn ”, ta sẽ tìm được thông số k thích hợp .Trong đó thì “ tỉ lệ mong ước ” thường gặp của tất cả chúng ta là $ \ frac { 1 } { 3 } $ ( để quy về phương trình Dạng 2 ) hoặc $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $ hoặc $ \ frac { { – 4 } } { 3 } $ ( để quy về phương trình Dạng 3 ). Nhưng thường ta sẽ chỉ dùng tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $Lưu y : Do $ { k ^ 2 } > 0 $ nên tỉ lệ $ \ frac { { He \, so \, truoc \, { y ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, y } } $ sẽ cùng dấu với $ \ frac { a } { b } USD. Vậy nên tỉ lệ mong ước của tất cả chúng ta phải cùng dấu với $ \ frac { a } { b } $, tức là cùng dấu với $ { ab } $ .Minh họa phần Mở rộng và quan tâm :

Ví dụ 12: Giải phương trình $3{x^3} + 4x + 5 = 0$.

Lời giải và nghiên cứu và phân tích : Do tích $ ab = 3.4 > 0 $ nên ta sẽ mục tiêu sẽ đưa phương trình về dạng tỉ lệ $ \ frac { 1 } { 3 } $ ( không hề là tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $ hay $ \ frac { { – 4 } } { 3 } $ vì hai tỉ lệ này đêu trái dấu với USD ab USD ). Nháp : Đặt USD x = ky USD thì phương trình trở thành : USD 3 { k ^ 3 } { y ^ 3 } + 4 ky + 5 = 0 USD .Cần có $ \ frac { { He \, so \, truoc \, { y ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, y } } = \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow \ frac { { 3 { k ^ 3 } } } { { 4 k } } = \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow k = \ pm \ frac { 2 } { 3 } $Ta sẽ chọn thông số USD k USD dương để tiện trình diễn .Trình bày : Đặt USD x = \ frac { 2 } { 3 } y $ thì phương trình đã cho trở thành :USD 3. { \ left ( { \ frac { 2 } { 3 } y } \ right ) ^ 3 } + 4 \ frac { 2 } { 3 } y + 5 = 0 \ Leftrightarrow \ frac { 8 } { 9 } { y ^ 3 } + \ frac { 8 } { 3 } y + 5 = 0 \ Leftrightarrow { y ^ 3 } + 3 y + \ frac { { 45 } } { 8 } = 0 \ left ( 1 \ right ) USDĐặt USD y = t – \ frac { 1 } { t } \ left ( { t \ ne 0 } \ right ) USD thì ( 1 ) trở thành :USD \ begin { array } { l } { \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } + 3 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { { 45 } } { 8 } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + \ frac { { 45 } } { 8 } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + \ frac { { 45 } } { 8 } { t ^ 3 } – 1 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 45 \ pm \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 45 \ pm \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } } } \ end { array } $Với hai giá trị này của USD t $ thì chỉ ứng với một giá trị của USD y $ làUSD y = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 16 } } { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } } } $Từ đó suy ra nghiệm của phương trình làUSD x = \ frac { 2 } { 3 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 16 } } { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } } } } \ right ) USDVí dụ 13 : Giải phương trình USD 3 { x ^ 3 } – 4 x + 5 = 0 USD .Lời giải và nghiên cứu và phân tích : Do tích $ ab = 3. \ left ( { – 4 } \ right ) < 0 $ nên ta sẽ đưa về dạng tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $ hoặc $ \ frac { { – 4 } } { 3 } USD. Thế nhưng tối ưu nhất vẫn là đưa về tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $, bởi nó sẽ có lợi thế sau :– Nếu phương trình ẩn $ y $ có nghiệm mà có giá trị tuyệt đối lớn hơn 2 thì ta hoàn toàn có thể giải theo cách đặt USD y = t – \ frac { 1 } { t } $– Nếu phương trình ẩn $ y $ có nghiệm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 2 thì ta hoàn toàn có thể giải theo cách lượng giác hóa $ x = 2 \ cos t $ ( ta nhớ luôn cách đặt này trong trường hợp tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $ ) .Nháp : Đặt USD x = ky USD thì phương trình trở thành : USD 3 { k ^ 3 } { y ^ 3 } – 4 ky + 5 = 0 USD .Cần có $ \ frac { { He \, so \, truoc \, { y ^ 3 } } } { { He \, so \, truoc \, y } } = \ frac { { – 1 } } { 3 } \ Leftrightarrow \ frac { { 3 { k ^ 3 } } } { { – 4 k } } = \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow k = \ pm \ frac { 2 } { 3 } $ chọn USD k = \ frac { 2 } { 3 } $Trình bày : Đặt USD x = \ frac { 2 } { 3 } y $ thì phương trình đã cho trở thành :USD 3. { \ left ( { \ frac { 2 } { 3 } y } \ right ) ^ 3 } – 4 \ frac { 2 } { 3 } y + 5 = 0 \ Leftrightarrow \ frac { 8 } { 9 } { y ^ 3 } – \ frac { 8 } { 3 } y + 5 = 0 \ Leftrightarrow { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 45 } } { 8 } = 0 \ left ( 2 \ right ) USDBấm máy cho ta nghiệm $ { y_0 } \ approx – 2,327412164 $ có $ \ left | { { y_0 } } \ right | > 2 USD nên sẽ dùng phép đặt ẩn phụ $ y = t – \ frac { 1 } { t } $ .Nhưng tiên phong là phải chứng tỏ vô nghiệm ( 2 ) vô nghiệm trên $ \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USD. Sau đây là cách “ lắt léo ” mà ta sẽ nghiên cứu và phân tích ở phần Kĩ năng .Ta có :USD { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 45 } } { 8 } = \ left ( { { y ^ 3 } – 3 y + 2 } \ right ) + \ left ( { \ frac { { 45 } } { 8 } – 2 } \ right ) = \ left ( { y + 2 } \ right ) { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + \ frac { { 29 } } { 8 } \ ge \ frac { { 29 } } { 8 } $với mọi $ y > – 2 USD ( do $ \ left ( { y + 2 } \ right ) { \ left ( { y – l } \ right ) ^ 2 } > 0 USD ) .Như vậy để ( 2 ) có nghiệm thì điều kiện kèm theo cần là USD y \ le – 2 USD. Lúc đó ta hoàn toàn có thể đặt USD y = t – \ frac { 1 } { t } $ ( với $ { t < 0 } $ ), ( 2 ) trở thành :USD \ begin { array } { l } { \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } – 3 \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { { 45 } } { 8 } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } + \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + \ frac { { 45 } } { 8 } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + \ frac { { 45 } } { 8 } { t ^ 3 } + 1 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 45 \ pm \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 45 \ pm \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } } } \ end { array } $ ( đều thỏa mãn nhu cầu $ { t < 0 } $ ) .Với hai giá trị này của USD t $ thì chỉ tìm được một giá trị của USD y $ làUSD y = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } } } + \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 16 } } { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } } } \ Rightarrow x = \ frac { 2 } { 3 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } { { 16 } } } } + \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 16 } } { { – 45 + \ sqrt { 2281 } } } } } } \ right ) USD3. Lược đồ giải pt bậc baVới đề bài : Giải phương trình $ a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + cx + d = 0 \ left ( * \ right ) \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .Việc tiên phong ta làm đó là … bấm máy tính tìm nghiệm của phương trình ( * ). Đó là hướng đi tiên phong trong việc giải phương trình này. Sẽ có xảy ra những trường hợp. sau :THI : Phương trình ( * ) có một nghiệm “ đẹp ” $ \ to USD nghiên cứu và phân tích nhân tử .TH2 : Phương trình ( * ) có nghiệm “ lẻ ” !– Định hưởng 1 : Thử nhóm lập phương. Cách này nói chung không vận dụng được thoáng đãng cho phương trình bậc ba, nhưng nếu vận dụng được thì có lợi thế là trình diễn rất gọn .– Định hướng 2 : Khử $ { x ^ 2 } $ trong phương trình ( * ) bằng phép đặt :USD x = z – \ frac { b } { { 3 a } } $Lúc này phương trình trở thành :USD \ begin { array } { l } a { \ left ( { z – \ frac { b } { { 2 a } } } \ right ) ^ 3 } + b { \ left ( { z – \ frac { b } { { 3 a } } } \ right ) ^ 2 } + c \ left ( { z – \ frac { b } { { 3 a } } } \ right ) + d = 0 \ \ \ Leftrightarrow a \ left ( { { z ^ 3 } – \ frac { b } { a } { z ^ 2 } + \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 { a ^ 2 } } } z – \ frac { { { b ^ 3 } } } { { 27 { a ^ 3 } } } } \ right ) + b \ left ( { { z ^ 3 } – \ frac { { 2 b } } { { 3 a } } { z ^ 2 } + \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 9 { a ^ 2 } } } } \ right ) + cz – \ frac { { bc } } { { 3 a } } + d = 0 \ \ \ Leftrightarrow a { z ^ 3 } + \ left ( { c – \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 a } } } \ right ) z + \ left ( { d + \ frac { { { b ^ 3 } } } { { 27 { a ^ 3 } } } – \ frac { { bc } } { { 3 a } } } \ right ) = 0 \ left ( { * * } \ right ) \ end { array } $Có thể xảy ra những trường hợp :TH2. 1. Nếu USD c – \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 a } } = 0 USD hoặc USD d + \ frac { { { b ^ 3 } } } { { 27 { a ^ 3 } } } – \ frac { { bc } } { { 3 a } } = 0 $ thì ( * * ) trở về dạng đơn thuần .TH2. 2. Nếu $ \ left ( { c – \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 a } } } \ right ) \ left ( { d + \ frac { { { b ^ 3 } } } { { 27 { a ^ 3 } } } – \ frac { { bc } } { { 3 a } } } \ right ) \ ne 0 $ xét dấu $ \ left ( { 3 ac – { b ^ 2 } } \ right ) USD+ ) Nếu $ \ left ( { 3 ac – { b ^ 2 } } \ right ) > 0 $ thì quy ( * * ) về dạng tỉ lệ $ \ frac { 1 } { 3 } $ bằng phép đặt USD z = ky USD .Tiếp tục sử dụng phép đặt USD y = t – \ frac { 1 } { t } $ và tìm USD t USD .+ ) Nếu $ \ left ( { 3 ac – { b ^ 2 } } \ right ) < 0 $ thì quy ( * * ) về dạng tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $ bằng phép đặt USD z = ky USD .Lúc đó phương trình ẩn $ y $ ta thu được sẽ có dạng chung là : $ { y ^ 3 } – 3 y + A = 0 USD. Bấm máy tính :– Nếu có nghiệm USD y < 2 USD thì đặt USD y = 2 cost USD để tìm USD t USD .– Nếu có nghiệm USD y > 2 USD thì đặt USD y = t + \ frac { 1 } { t } $ và tìm USD t USD .Khi tìm được USD t \ Rightarrow y \ Rightarrow z \ Rightarrow x USD. Khi quen rồi chứng ta hoàn toàn có thể chỉ cần đặt một bước “ một trong ba ” : đặt dạng USD x USD theo USD t USD luôn và giải phương trình tìm USD t USD. Nhìn chung có vẻ như rườm rà, nhưng khi thực hành thực tế trên phương trình có những thông số $ a, b, c, d USD đơn cử thì lại không rườm rà thông số như trên .Trong quy trình giải toán thì tôi đã chứng tỏ được rằng :Phương trình $ { x ^ 3 } – 3 x + k = 0 $ nếu có ba nghiệm lẻ ( trường hợp nghiệm đẹp thì ta không xét làm gì ! ) đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 2 thì bạn hãy triển khai luôn phép đặt USD x = 2 cost \ left ( { r \ in \ left [ { 0 ; 7 } \ right ] } \ right ) USD, lúc đó sẽ tìm được đúng 3 giá trị $ t $ thỏa mãn nhu cầu, ứng với đó là 3 giá trị phân biệt của USD x USD. Như vậy là ta đã tìm được 3 nghiệm thực của phương trình đó, mà ta biết phương trình bậc USD n USD thì có nhiều nhất là USD n $ nghiệm $ \ Rightarrow $ phương trình bậc ba của tất cả chúng ta đã tìm được ba nghiệm nên 3 nghiệm USD x USD mà ta tìm đựợc cũng chính là nghiệm của phương trình, không có thêm nghiệm nào nữa ! Chính thế cho nên bước chứng tỏ phương trình vô nghiệm với $ \ left | x \ right | > 2 USD sẽ không cần phải thực thi .Ngoài cách giải phương trình bậc ba tổng quát như trên thì ta còn công thức Cardano tổng quát cho phương trình bậc ba :Với phương trình bậc ba : USD a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + cx + d = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .Ta đổi biến USD x = y – \ frac { b } { { 3 a } } $ và biến hóa tương tự phương trình thành :USD { y ^ 3 } + by + q = 0 USD( trong đó $ p = – \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 3 a } } + \ frac { c } { a } $ và USD q = \ frac { { 2 { b ^ 3 } } } { { 27 { a ^ 3 } } } – \ frac { { bc } } { { 3 { a ^ 2 } } } + \ frac { d } { a } $Công thức Cardano cho phương trình ẩn y :USD y = \ sqrt [ 3 ] { { – \ frac { q } { 2 } + \ sqrt { \ frac { { { q ^ 2 } } } { 4 } + \ frac { { { p ^ 3 } } } { { 27 } } } } } + \ sqrt [ 3 ] { { – \ frac { q } { 2 } – \ sqrt { \ frac { { { q ^ 2 } } } { 4 } + \ frac { { { p ^ 3 } } } { { 27 } } } } } $Với công thức này thì nếu $ \ frac { { { q ^ 2 } } } { 4 } + \ frac { { { p ^ 3 } } } { { 27 } } \ ge 0 $ thì lúc đó phương trình có nghiệm duy nhất. Còn khi $ \ frac { { { q ^ 2 } } } { 4 } + \ frac { { { p ^ 3 } } } { { 27 } } < 0 $ thì lúc đó cần đến công cụ khai căn số phức để xử lí, nhiều lúc sẽ gặp phức tạp. Đây chính là điểm yếu kém của công thức Carnado, khó vận dụng được với những học viên không được học đến số phức .Ngoài ra ta cũng hoàn toàn có thể dùng phép lượng giác hóa $ x = tant USD để xử lí nhanh phương trình bậc ba trong một số ít trường hợp đặc biệt quan trọng .4. Một số kĩ năng cần có sau khi xử lí phương trình bậc baa, Kĩ năng nghiên cứu và phân tích đa thức bậc ba thành nhân tử :Kĩ năng này đã được đề cập khá kĩ ở Ví dụ 1 .b, Kĩ năng chứng tỏ phương trình bác ba vô nghiệm trên một đoạn, một khoảng chừng :Giả sử ta cần chứng tỏ phương trình $ a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + cx + d = 0 $ vô nghiệm trên đoạn $ \ left [ { m ; n } \ right ] $ ví dụ điển hình .Ta sẽ khảo sát hàm số USD f \ left ( x \ right ) = a { x ^ 3 } + b { x ^ 2 } + cx + d USD trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] $ và lúc đó, nếu tập giá trị của USD f \ left ( x \ right ) USD không chứa điểm 0 thì phương trình USD f \ left ( x \ right ) = 0 $ sẽ vô nghiệm trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] USD. Nói cách khác, ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của USD y \ left ( x \ right ) USD trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] $ để Kết luận tập giá trị của USD f \ left ( x \ right ) USD không chứa điểm 0. Việc này thì quá thuận tiện so với học viên trung học phổ thông .Vi dụ 14 : Chứng minh rằng phương trình $ { x ^ 3 } + 9 { x ^ 2 } + 6 x + 5 = 0 $ vô nghiệm trên $ \ left [ { – 5 ; 6 } \ right ] $ .Giải : xét hàm số $ { x ^ 3 } + 9 { x ^ 2 } + 6 x + 5 = 0 $ trên $ \ left [ { – 5 ; 6 } \ right ] $ .( Bấm máy tính thấy nghiệm duy nhất $ { x_0 } \ approx – 8,353382916 \ in \ left [ { – 5 ; 6 } \ right ] $ nên USD f \ left ( x \ right ) USD chắc như đinh vô nghiệm trong đoạn này )Ta có USD f ’ \ left ( x \ right ) = 3 { x ^ 2 } + 18 x + 6 = 0 \ Leftrightarrow x = – 3 \ pm \ sqrt 7 USD( Chỉ có USD – 3 + \ sqrt 7 \ in \ left [ { – 5 ; 6 } \ right ] $ )Tính những giá trị USD f \ left ( { – 5 } \ right ) = 75 ; f \ left ( { – 3 + \ sqrt 7 } \ right ) = 41 – 14 \ sqrt 7 $ và USD f \ left ( 6 \ right ) = 581 USDUSD \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ mathop { \ max } \ limits_ { \ left [ { – 5 ; 7 } \ right ] } f \ left ( x \ right ) = 581 \ \ \ mathop { \ min } \ limits_ { \ left [ { – 5 ; 7 } \ right ] } f \ left ( x \ right ) = 41 – 14 \ sqrt 7 > 0 \ end { array } \ right. \ Rightarrow f \ left ( x \ right ) > 0 \ forall x \ in \ left [ { – 5 ; 6 } \ right ] $ $ \ Rightarrow $ Phương trình USD f \ left ( x \ right ) = 0 $ vô nghiệm trên $ \ left [ { – 5 ; 6 } \ right ] $ ( đpcm ) .Tất nhiên với một số đề bài thì nó cũng không cho quá lộ là bắt chứng tỏ vô nghiệm trên khoảng chừng nào, đoạn nào, mà hầu hết là ta “ cần chứng tỏ nó ”. Sau này đi giải những phương trình vô tỷ thì việc này sẽ phải làm rất nhiều, nhất là trong chiêu thức phối hợp. Còn với phương trình đa thức thì có lẽ rằng việc ta phải chứng tỏ vô nghiệm như thế này chỉ dùng khi ta đổi biến dạng USD t + \ frac { 1 } { t } $ ( bởi khi đổi biến $ t – \ frac { 1 } { t } $ thì không cần điều kiện kèm theo, còn khi lượng giác hóa thì phương ttình đã có sẵn ba nghiệm rồi nên USD t $ không cần chúng minh vô nghiệm nữa ). Tức là hầu hết cần chứng tỏ vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Ở Ví dụ 13, ta đã dùng thủ pháp “ lắt léo ” để chứng tỏ nhanh phương trình vô nghiệm. Vậy nó đã dựa vào cơ sở nào để làm như vậy ? Câu vấn đáp chính là khảo sát hàm số .Khảo sát hàm số USD g \ left ( y \ right ) = { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 45 } } { 8 } $ trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Ta có : USD g ’ \ left ( y \ right ) = 3 { y ^ 2 } – 3 ; g ’ \ left ( y \ right ) = 0 \ Leftrightarrow y = \ pm 1 USD .Đối chiếu những giá trị USD g \ left ( { – 2 } \ right ) = g \ left ( 1 \ right ) = \ frac { { 29 } } { 8 } ; g \ left ( { – 1 } \ right ) = g \ left ( 2 \ right ) = \ frac { { 61 } } { 8 } $USD \ Rightarrow \ mathop { \ min } \ limits_ { \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] } g \ left ( y \ right ) = \ frac { { 29 } } { 8 } \ Rightarrow g \ left ( y \ right ) \ ge \ frac { { 29 } } { 8 } $ trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $USD \ Rightarrow g \ left ( y \ right ) USD vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Vậy nên ở trong USD g \ left ( y \ right ) USD ta sẽ tách riêng lượng $ \ frac { { 29 } } { 8 } $, còn lượng còn lại chắc như đinh sẽ chứa nhân tử, trong đó có một nhân tử bình phương mà từ đó ta hoàn toàn có thể nhìn nhận được. Cụ thể :USD g \ left ( y \ right ) = { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 45 } } { 8 } = \ left ( { { y ^ 3 } – 3 y + 2 } \ right ) + \ frac { { 29 } } { 8 } = \ left ( { y + 2 } \ right ) { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + \ frac { { 29 } } { 8 } \ ge \ frac { { 29 } } { 8 } $Do $ \ left ( { y + 2 } \ right ) \ ge 0, { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } \ ge 0 $ với USD y \ in \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Vi dụ 15 : Chứng minh phương trình $ { x ^ 3 } – 3 x – 9 = 0 $ vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Giải : Ta có : $ { x ^ 3 } – 3 x – 9 = \ left ( { { x ^ 3 } – 3 x – 2 } \ right ) – 7 = \ left ( { x – 2 } \ right ) { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 2 } – 7 \ le – 7 $ do $ \ left ( { x – 2 } \ right ) \ le 0 $ với mọi USD x \ in \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Cơ sở : Trên đoạn $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $, ta thấy $ \ mathop { Max } \ limits_ { \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] } \ left ( { { x ^ 3 } – 3 x – 9 } \ right ) = – 7 < 0 USD, nên ta tách lượng ( - 7 ) riêng ra .Thể có bạn sẽ hỏi tại sao không lấy $ \ mathop { Min } \ limits_ { \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] } \ left ( { { x ^ 3 } – 3 x – 9 } \ right ) = – 11 USD ra để tách ( - 11 ) riêng ra ? Bởi vì khi tách riêng ( - 11 ) thì ta vẫn hoàn toàn có thể nhìn nhận được giá trị nhỏ nhất của nó : $ { x ^ 3 } – 3 x – 9 = \ left ( { { x ^ 3 } – 3 x + 2 } \ right ) – 11 { \ rm { } } = \ left ( { x + 2 } \ right ) { \ left ( { x – l } \ right ) ^ 2 } – 11 > – 11 \ ge – 11 \ forall x \ in \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Nếu có điều này thì tất yếu không hề chứng minh và khẳng định phương trình đã cho vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] USD. Đó chính là lí do ta cần chọn “ nhìn nhận lớn nhất ” hay “ nhìn nhận nhỏ nhất ” cho tương thích. Bạn cũng hoàn toàn có thể thấy điều này trải qua Ví dụ 13. Nêu ta dùng kiểu “ nhìn nhận lớn nhất ” thì cũng chưa thể khẳng định chắc chắn được phương trình vô nghiệm : USD g \ left ( y \ right ) \ le \ frac { { 61 } } { 8 } \ forall x \ in \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ thì chưa thể Tóm lại được phương trình vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Nhận xét : Với hàm số dạng $ f ( x ) = k { x ^ 3 } – 3 kx USD ( USD k USD là hằng số khác 0 ) thì hàm số đạt cực lớn, cực tiểu tại những điểm USD x = \ pm 1 $, đồng thời đồ thị USD f \ left ( x \ right ) USD nhận điểm $ \ left ( { 0 ; 0 } \ right ) USD làm tâm đối xứng nên USD f \ left ( 1 \ right ) = f \ left ( { – 2 } \ right ) USD và USD f \ left ( 2 \ right ) = f \ left ( { – 1 } \ right ) USD ( xem đồ thị minh họa ) $ \ Rightarrow $ giá trị cực lớn, cực tiểu của USD f \ left ( x \ right ) USD trên đoạn $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ tại điểm $ \ mathop { Min } \ limits_ { \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] } \ left ( { { x ^ 3 } – 3 x – 9 } \ right ) = – 11 < 0 $ khi gặp hàm số dạng USD f \ left ( x \ right ) = k { x ^ 3 } – 3 kx USD thì ta hoàn toàn có thể tìm được ngay max, min của USD f \ left ( x \ right ) USD trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ bằng cách so sánh USD f \ left ( 2 \ right ) USD và USD f \ left ( - 2 \ right ) USD ), cái nào lớn hơn thì là max, cái nào bé hơn thì là min .Hê quả : Hàm số dạng USD g \ left ( x \ right ) = k { x ^ 3 } – 3 kx + a USD sẽ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là USD f \ left ( 2 \ right ) USD hoặc USD f \ left ( - 2 \ right ) USD. Dựa vào nhận xét này, ta sẽ đi kiểm tra được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số dạng $ f ( x ) = k { x ^ 3 } – 3 kx + a USD mà không cần mất thời hạn khảo sát hàm số .II. BÀI TẬP ÁP DỤNG :1. Phần bài tâp :Giải những phương trình sau trên tập số thực :Bài 1 .a ) USD 6 { x ^ 3 } + 55 { x ^ 2 } + 53 x – 24 = 0 USD .b ) USD 15 { x ^ 3 } – 11 { x ^ 2 } – 24 x + 14 = 0 USDc ) USD 3 { x ^ 3 } – 2 x – 20 = 0 USD .d ) $ { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 2 = 0 USDe ) $ \ frac { { { x ^ 2 } + x + 1 } } { { x – 1 } } + \ frac { { { x ^ 2 } – x + 1 } } { { x + 1 } } + 8 = 0 USDf ) $ { x ^ 4 } + 5 x + 6 = \ frac { { 3 { x ^ 2 } + 3 x + 2 } } { { x – 1 } } $g ) $ \ sqrt 3 { x ^ 3 } – 2 { x ^ 2 } – x \ sqrt { 27 } – 10 = 0 USD .h ) $ \ sqrt 5 { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } – 14 \ sqrt 5 x + 24 = 0 USDk ) $ { x ^ 3 } – \ sqrt 7 { x ^ 2 } – 28 \ sqrt 7 = 0 USD .l ) USD 2 { x ^ 3 } – 2 \ sqrt 3 { x ^ 2 } + x – 26 \ sqrt 3 = 0 USDBài 2 .a ) USD 4 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 3 x + 1 = 0 USD .b ) USD 2 { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } = 0 USD .c ) USD 11 { x ^ 3 } – 12 { x ^ 2 } + 6 x – 1 = 0 USD .d ) $ { x ^ 3 } – 27 { x ^ 2 } + 18 x – 4 = 0 USD .e ) $ { x ^ 3 } – 6 { x ^ 2 }. \ sqrt [ 3 ] { 9 } + 12 x. \ sqrt [ 3 ] { 3 } – 8 = 0 USD .f ) $ \ frac { { { x ^ 3 } } } { 5 } – 3 { x ^ 2 }. \ sqrt [ 3 ] { 2 } + 3 x. \ sqrt [ 3 ] { 4 } = 2 USD .Bài 3 ,a ) $ { x ^ 3 } + 3 x – 2 = 0 USD .b ) $ { x ^ 3 } – 3 x + 5 = 0 USD .c ) USD 4 { x ^ 3 } – 3 x + \ frac { { \ sqrt 3 } } { 2 } = 0 USD .d ) $ \ frac { { 16 { x ^ 3 } } } { { 27 } } + x + 2 = 0 USD .e ) USD 3 { x ^ 3 } – 4 x + 3 = 0 USD .f ) USD 5 { x ^ 3 } + x + 2 = 0 USD .g ) $ { x ^ 3 } – { x ^ 2 } + 2 x + 9 = 0 USD .h ) USD 2 { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 9 x + 2 = 0 USD .2. Lời giải và đáp sốBài 1 .a ) Phương trình tương tự với$ \ left ( { x + 8 } \ right ) \ left ( { 2 x + 3 } \ right ) \ left ( { 3 x – 1 } \ right ) = 0 x = – 8 \ vee x = \ frac { 1 } { 3 } \ vee x = \ frac { { – 3 } } { 2 } $b ) Phương trình tương tự với$ \ left ( { 5 x – 7 } \ right ) \ left ( { 3 { x ^ 2 } + 2 x – 1 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 5 x – 7 = 0 \ \ 3 { x ^ 2 } + 2 x – 2 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ frac { 5 } { 7 } \ \ x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 7 } } { 3 } \ end { array } \ right. $c ) Phương trình tương tự với$ \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { 3 { x ^ 2 } + 6 x + 10 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = 2 USD ( do USD 3 { x ^ 2 } + 6 x { \ rm { } } + 10 = 3 { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 2 } + 7 > 0 USD ) .d ) Phương trình tương tự với$ \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 2 x + 2 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = 1 $ ( do $ { x ^ 2 } + 2 x + 2 = { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } + 1 > 0 USD ) .e ) Điều kiện : USD x \ ne \ pm 1 USD. Phương trình tương tự với$ \ left ( { { x ^ 2 } + x + l } \ right ) \ left ( { x + 1 } \ right ) + \ left ( { { x ^ 2 } – x + l } \ right ) \ left ( { x – { \ rm { } } 1 } \ right ) + 8 \ left ( { { x ^ 2 } – 1 } \ right ) = 0 $ $ \ Leftrightarrow 2 { x ^ 3 } – 8 { x ^ 2 } + 4 x – 8 = 0 \ Leftrightarrow 2 \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 2 x – 2 } \ right ) = 0 $ $ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x + 2 = 0 \ \ { x ^ 2 } + 2 x – 2 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 2 \ \ x = – 1 \ pm \ sqrt 3 \ end { array } \ right. $ ( thỏa man )Vậy phương trình có ba nghiệm USD x = 2 $ và $ x = – 1 \ pm \ sqrt 3 USDi ) Điều kiện : USD x \ ne 1 USD. Phương trình đã cho tương tự với$ \ left ( { { x ^ 2 } + 5 x + 6 } \ right ) \ left ( { x – 1 } \ right ) = 3 { x ^ 2 } + 3 x + 2 \ Leftrightarrow { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 2 x – 8 = 0 USD$ \ left ( { x – 2 } \ right ) ( { x ^ 2 } + 3 x + 4 ) – 0 \ Leftrightarrow x = 2 USD ( do $ { x ^ 2 } + 3 x + 4 = { \ left ( { x + \ frac { 3 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 7 } { 4 } > 0 USD ) .Đối chiếu điều kiện kèm theo ta có nghiệm của phương trình là USD x = 2 USD .g ) Nếu bấm máy thì cho nghiệm lẻ. Nhận thấy $ \ sqrt { 27 } = 3 \ sqrt 3 \ to USD những số hạng có bậc lẻ ( bậc 3 và bậc 1 ) đều chứa lượng $ \ sqrt 3 $ nên ta sẽ đặt USD x = t \ sqrt 3 $, phương trình trở thành :^ ( r ^ ) 3-2 ( í73 ) 2 – ( r ^ ). T27 – 10 = 0 < $ \ Rightarrow $ 9 × 3-6 × 2-9 × 2-10 = 0 $ \ sqrt 3 { \ left ( { t \ sqrt 3 } \ right ) ^ 3 } – 2 t { \ left ( { \ sqrt 3 } \ right ) ^ 2 } – \ left ( { t \ sqrt 3 } \ right ). \ sqrt { 27 } – 10 = 0 \ Leftrightarrow 9 { x ^ 3 } – 6 { x ^ 2 } – 10 = 0 $ $ \ Leftrightarrow \ left ( { 3 x – 5 } \ right ) \ left ( { 3 { x ^ 2 } + 3 x + 2 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { 5 } { 3 } $ ( do USD 3 { x ^ 2 } + 3 x + 2 = 3 { \ left ( { x + \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 5 } { 4 } > 0 $ )Từ đó suy ra nghiệm của phương trình là USD x = \ frac { { 5 \ sqrt 3 } } { 3 } $ .i ) Tương tự câu g ), ta đặt USD x = t \ sqrt 5 $ thì phương trình trở thành :USD \ begin { array } { l } \ sqrt 5 { \ left ( { t \ sqrt 5 } \ right ) ^ 3 } + 6 { \ left ( { t \ sqrt 5 } \ right ) ^ 2 } – 14 \ sqrt 5 \ left ( { t \ sqrt 5 } \ right ) + 24 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 25 { t ^ 3 } + 30 { t ^ 2 } – 70 t + 24 = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { 5 t – 4 } \ right ) \ left ( { 5 { t ^ 2 } + 10 t – 6 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 5 t – 4 = 0 \ \ 5 { t ^ 2 } + 10 t – 6 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } t = \ frac { 4 } { 5 } \ Rightarrow x = \ frac { { 4 \ sqrt 5 } } { 5 } \ \ t = \ frac { { – 5 \ pm \ sqrt { 55 } } } { 5 } \ Rightarrow x = – \ sqrt 5 \ pm \ sqrt { 11 } \ end { array } \ right. \ end { array } $Vậy phương trình có ba nghiệm USD x = \ frac { { 4 \ sqrt 5 } } { 5 } $ và $ x = – \ sqrt 5 \ pm \ sqrt { 11 } $ .k ) Ở bài này thì bấm máy cũng cho ta nghiệm lẻ, nhưng có tín hiệu là những số hạng bậc chẵn ( bậc 2 và bậc 0 ) đều chứa $ \ sqrt 7 \ Rightarrow $ đặt USD x = t \ sqrt 7 USD. Lúc đó phương trình trở thành :USD \ begin { array } { l } { \ left ( { t \ sqrt 7 } \ right ) ^ 3 } + \ sqrt 7 { \ left ( { t \ sqrt 7 } \ right ) ^ 2 } – 28 \ sqrt 7 = 0 \ Leftrightarrow 7 \ sqrt 7 { t ^ 3 } – 7 \ sqrt 7 { t ^ 2 } – 28 \ sqrt 7 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 7 \ sqrt 7 \ left ( { t – 2 } \ right ) \ left ( { { t ^ 2 } + t + 2 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = 2 \ end { array } $ ( do $ { t ^ 2 } + t + 2 = { \ left ( { t + \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 7 } { 4 } > 0 $ )Từ đó suy ra nghiệm của phương trình là USD x = 2 \ sqrt 7 USD .1 ) Tương tự câu k ), ta đặt USD x = 2 \ sqrt 3 $ thì phương trình trở thành :USD 2 { \ left ( { t \ sqrt 3 } \ right ) ^ 3 } – t \ sqrt 3 { \ left ( { t \ sqrt 3 } \ right ) ^ 2 } – \ left ( { t \ sqrt 3 } \ right ) – 26 \ sqrt 3 = 0 \ Leftrightarrow 6 { t ^ 3 } – 6 { t ^ 2 } + t – 26 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow \ left ( { t – 2 } \ right ) \ left ( { 6 { t ^ 2 } + 6 t + 13 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = 2 USD ( do USD 6 { t ^ 2 } + 6 t + 13 = { \ left ( { t + \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { { 23 } } { 2 } > 0 $ )Từ đó suy ra nghiệm của phương trình là USD x = 2 \ sqrt 3 $ .Bài 2 :a ) Kiểm tra nghiệm bằng máy tính của phương trình này thì thấy nó chỉ có một nghiệm duy nhất, và nghiệm lẻ $ \ Rightarrow $ có tín hiệu hoàn toàn có thể dùng chiêu thức nhóm lập phương .Tỉ lệ quen thuộc khi khai triển hằng đẳng thức : USD 3 : \ left ( { – 3 } \ right ) : 1 USD khiến ta liên tưởng đến hằng đẳng thức $ { ( x – 1 ) ^ 3 } = { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 1 $ ( ba số hạng cuối có tỉ lệ thông số tự do là USD 3 : \ left ( { – 3 } \ right ) : 1 \ to USD thêm vào một lượng là $ { x ^ 3 } $ để nhóm hằng đẳng thức, lượng còn lại sẽ là một lượng lập phương !USD 4 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 3 x + 1 = 0 \ Leftrightarrow 5 { x ^ 3 } = { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 1 \ Leftrightarrow 5 { x ^ 3 } = { ( x – 1 ) ^ 3 } $< $ \ Rightarrow $ 5/5 x = x-1 < $ \ Rightarrow $ x = - .USD \ Leftrightarrow \ sqrt [ 3 ] { 5 } x = x – 1 \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { 5 } } } $Nếu chưa tinh ý nhận xét tỉ lệ trên thì bạn cũng trọn vẹn hoàn toàn có thể giải bài này bằng chiêu thức thông số bất định :USD 4 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 3 x + 1 = 0 \ Leftrightarrow k { x ^ 3 } + 3 { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 3 x – 1 = \ left ( { k – 4 } \ right ) { x ^ 3 } \ left ( * \ right ) USDGiờ ta sẽ nhóm sao cho vế trái là một lượng lập phương dạng $ { ( ax + b ) ^ 3 } $ :USD \ begin { array } { * { 20 } { l } } { k { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – { \ rm { } } 3 x + 1 = { { ( ax + b ) } ^ 3 } } \ \ { \ Leftrightarrow kx + 3 { x ^ 2 } – 3 x + 1 = { a ^ 3 } x + 3 { a ^ 2 } b { x ^ 2 } + 3 a { b ^ 2 } x + { b ^ 3 } } \ end { array } $ $ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } k = { a ^ 3 } \ \ 3 { a ^ 2 } b = 3 \ \ 3 a { b ^ 2 } = – 3 \ \ { b ^ 2 } = 1 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b = 1 \ \ a = – 1 \ \ k = – 1 \ end { array } \ right. $Lúc đó ( * ) sẽ được viết dưới dạng :USD – { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 3 x + l = – 5 { x ^ 3 } \ Leftrightarrow { \ left ( { – x + l } \ right ) ^ 3 } = – 5 { x ^ 3 } \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { 5 } } } $b ) Kiểm tra nghiệm bằng máy tính thì phương trình chỉ có một nghiệm duy nhất. Kiểm tra tỉ lệ những thông số của những số hạng có bậc bé hơn 2 thì thấy tỉ lệ là USD 1 : 1 : \ frac { 1 } { 3 } $, tức chính bằng USD 3 : 3 : 1 \ to USD liên tưởng hằng đẳng thức $ { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 3 } \ to USD Theo kinh nghiệm tay nghề thì ta nhân thêm một lượng nào đỏ cho thông số tự do trở thành một lập phương $ \ Rightarrow $ tốt nhất là nhân 3 lên :USD \ begin { array } { l } 2 { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + \ frac { 1 } { 3 } = 0 \ Leftrightarrow 6 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } + 3 x + 1 = – 5 { x ^ 3 } \ Leftrightarrow { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 3 } = – 5 { x ^ 3 } \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 1 } } { { 1 + \ sqrt [ 3 ] { 5 } } } \ end { array } $c ) Máy tính cho ta một nghiệm lẻ duy nhất. Không còn là tỉ lệ quen thuộc USD 3 : 3 : 1 $ hay USD 3 : \ left ( { – 3 } \ right ) : 1 USD nên ta thử dùng thông số bất định xem phương trình có nhóm được lập phương hay không !USD { ( ax + b ) ^ 3 } = k { x ^ 3 } – 12 { x ^ 2 } + 6 x – 1 \ Leftrightarrow \ left \ { { \ begin { array } { * { 20 } { l } } { { a ^ 3 } = k } \ \ { 3 { a ^ 2 } b = – 12 } \ \ { 3 a { b ^ 2 } = 6 } \ \ { { b ^ 3 } = – 1 } \ end { array } } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { { \ begin { array } { * { 20 } { l } } { b = – 1 } \ \ { a = 2 } \ \ { k = 8 } \ end { array } } \ right. $ $ \ to USD cần tách ra USD 8 { x ^ 3 } USD. Từ đó ta nhóm nhân tử ;USD 11 { x ^ 3 } – 12 { x ^ 2 } + 6 x – 1 = 0 \ Leftrightarrow 8 { x ^ 3 } – 12 { x ^ 2 } + 6 x – 1 = – 3 { x ^ 3 } $ $ \ Leftrightarrow { \ left ( { 2 x – 1 } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { – \ sqrt [ 3 ] { 3 } x } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow 2 x – 1 = – \ sqrt [ 3 ] { 3 } x \ Leftrightarrow x = \ frac { 1 } { { 2 + \ sqrt [ 3 ] { 3 } } } $d ) Dấu hiệu để nhóm lập phương vẫn là phương trình có nghiệm lẻ duy nhất Còn về cơ sở nhóm lập phương trình ta vẫn dùng thông số bất định. Tất nhiên tiên phong nên nhân hai vế cho 2 để thu được thông số tự do là $ \ left ( { – 8 } \ right ) = { \ left ( { – 2 } \ right ) ^ 3 } $ :USD 2 { x ^ 3 } – 54 { x ^ 2 } + 36 x – 8 = 0 \ left ( { * * } \ right ) USD .Giờ đi tìm $ a, b USD sao cho :USD { ( ax + b ) ^ 3 } = k { x ^ 3 } – 54 { x ^ 2 } + 36 x – 8 \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } k = { a ^ 3 } \ \ 2 { a ^ 2 } b = – 54 \ \ 3 a { b ^ 2 } = 36 \ \ { b ^ 3 } = – 8 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } b = – 2 \ \ a = 3 \ \ k = 27 \ end { array } \ right. $Như vậy $ \ begin { array } { l } \ left ( { * * } \ right ) \ Leftrightarrow 27 { x ^ 3 } – 54 { x ^ 2 } + 36 x – 8 = 25 { x ^ 3 } \ Leftrightarrow { \ left ( { 3 x – 2 } \ right ) ^ 3 } = 25 { x ^ 3 } \ \ \ Leftrightarrow 3 x – 2 = \ sqrt [ 3 ] { { 25 } } x \ Leftrightarrow x = \ frac { 2 } { { 3 – \ sqrt [ 3 ] { { 25 } } } } \ end { array } $e ) Phương trình đã cho tương tự với :USD \ begin { array } { l } 3 { x ^ 3 } = 6 { x ^ 2 }. \ sqrt [ 3 ] { 9 } + 12 x \ sqrt [ 3 ] { 3 } – 8 = 2 { x ^ 3 } \ Leftrightarrow { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 3 } x – 2 } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { 2 } x } \ right ) ^ 3 } \ \ \ Leftrightarrow \ sqrt [ 3 ] { 3 } – 2 = \ sqrt [ 3 ] { 2 } x \ Leftrightarrow x = \ frac { 2 } { { \ sqrt [ 3 ] { 3 } – \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } \ end { array } $f ) Phương trình đã cho tương tự với :USD { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } \ sqrt [ 3 ] { 2 } + 3 x \ sqrt [ 3 ] { 4 } – 2 = \ frac { { 4 { x ^ 3 } } } { 5 } \ Leftrightarrow { \ left ( { x – \ sqrt [ 3 ] { 2 } } \ right ) ^ 3 } = { \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 4 } { 5 } } } x } \ right ) ^ 3 } \ Leftrightarrow x – \ sqrt [ 3 ] { 2 } = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 4 } { 5 } } } x \ Leftrightarrow x = \ frac { { \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 4 } { 5 } } } } } \ Leftrightarrow x = \ frac { { \ sqrt [ 3 ] { 2 } } } { { 1 – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { 4 } { 5 } } } } } = \ frac { { \ sqrt [ 3 ] { { 10 } } } } { { \ sqrt [ 3 ] { 5 } – \ sqrt [ 3 ] { 4 } } } $Bài 3 .Các bài toán ở mục này đều không xử lý được theo hướng nhóm nhân tử chung, và những nghiệm đều là nghiệm lẻ !a ) ( dạng tỉ lệ $ \ frac { 1 } { 3 } $ ) Đặt USD x = 1 – \ frac { 1 } { t } \ left ( { t \ ne 0 } \ right ) USD thì phương trình đã cho trở thành :USD \ begin { array } { l } { \ left ( { 1 – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } + 3 \ left ( { 1 – \ frac { 1 } { t } } \ right ) – 2 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } – 2 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } – 2 { t ^ 3 } – 1 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = 1 \ pm \ sqrt 2 \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { 1 \ pm \ sqrt 2 } } \ end { array } $Với 2 giá trị USD t $ ở trên thì ứng với một giá trị USD x USD làUSD x = \ sqrt [ 3 ] { { 1 + \ sqrt 2 } } – \ frac { 1 } { { \ sqrt [ 3 ] { { 1 + \ sqrt 2 } } } } = \ sqrt [ 3 ] { { 1 + \ sqrt 2 } } + \ sqrt [ 3 ] { { 1 – \ sqrt 2 } } $b ) Phân tích : dạng tỉ lệ $ \ frac { { – 1 } } { 3 } $ nghiệm duy nhất $ { x_0 } \ approx – 2,2790187 < – 2 \ to USD phải chứng tỏ phương trình vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] USD. Ta có :USD f \ left ( x \ right ) = { x ^ 3 } – 3 x + 5 \ to \ left \ { \ begin { array } { l } f \ left ( 2 \ right ) = 7 \ \ f \ left ( { – 2 } \ right ) = 3 \ end { array } \ right. \ to USD ta chứng tỏ USD f \ left ( x \ right ) \ ge 3 $ trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Giải : Ta có : $ { x ^ 3 } – 3 x + 5 = \ left ( { x + 2 } \ right ) { \ left ( { x – { \ rm { } } l } \ right ) ^ 2 } + 3 \ ge 3 \ forall x \ in \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $USD \ Rightarrow $ phương trình có nghiệm khi $ \ left | x \ right | > 2 USD. Lúc đó đặt USD x = 1 – \ frac { 1 } { t } \ left ( { t \ ne 0 } \ right ) USD thì phương trình đã cho trở thành :USD { \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } – 3 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 5 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + 5 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + 5 { t ^ 3 } + 1 = 0 $ $ \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 5 \ pm \ sqrt { 21 } } } { 2 } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 5 \ pm \ sqrt { 21 } } } { 2 } } } $Ứng với hai giá trị này của USD t $ thì chỉ tìm được một giá trị duy nhất của USD x USD làUSD x = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 5 + \ sqrt { 21 } } } { 2 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 5 + \ sqrt { 21 } } } { 2 } } } $c ) ( dạng tỉ lệ $ \ frac { { – 4 } } { 3 } $, phương trình có ba nghiệm có giá trị tuyệt đối USD < 1 USD, không cần chứng tỏ vô nghiệm ) .Với $ \ left | x \ right | \ le 1 $ thì ta hoàn toàn có thể đặt USD x = cost USD ( với USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ ). Phương trình trở thành : $ \ begin { array } { l } 4 { \ cos ^ 3 } t – 3 \ cos t + \ frac { { \ sqrt 3 } } { 2 } = 0 \ Leftrightarrow \ cos 3 t = \ frac { { – \ sqrt 3 } } { 2 } \ \ \ Leftrightarrow 3 t = \ pm \ frac { { 5 \ pi } } { 6 } + k2 \ pi \ left ( { k \ in Z } \ right ) \ Leftrightarrow t = \ pm \ frac { { 5 \ pi } } { { 18 } } + \ frac { { k2 \ pi } } { 3 } \ end { array } $Với USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ thì ta tìm được ba giá trị của USD t $ thỏa mãn nhu cầu là $ \ frac { { 5 \ pi } } { { 18 } } $, $ \ frac { { 7 \ pi } } { { 18 } } $ và $ \ frac { { 17 \ pi } } { { 18 } } $USD \ Rightarrow $ phương trình có ba nghiệm $ { x_1 } = \ cos \ frac { { 5 \ pi } } { { 18 } } ; { x_2 } = \ cos \ frac { { 7 \ pi } } { { 18 } } $ ; và $ { x_3 } = \ cos \ frac { { 17 \ pi } } { { 18 } } $Mặt khác ta thấy phương trình bậc ba thì có nhiều nhất là ba nghiệm thực, vậy nên ba nghiệm trên chính là ba nghiệm của phương trình đã cho .d ) Phân tích : dạng khuyết USD x USD, thông số trước $ { x ^ 3 } $ và x cùng dấu nên ta dùng hai bước đặt USD x = ky USD ( để quy về dạng tỉ lệ $ \ frac { 1 } { 3 } $ ) và $ y = t – \ frac { 1 } { t } $ để giải phương trình ẩn USD t \ Rightarrow y \ Rightarrow x USD .Dễ tìm được USD k USD qua tỉ lệ $ \ frac { { 27 } } { 1 } = \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow k = \ pm \ frac { 3 } { 4 } USD. Chọn $ k = \ frac { 3 } { 4 } $ đê trình diễn .Giải : Đặt USD x = \ frac { 3 } { 4 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD ( với $ { t \ ne 0 } $ ) thì phương trình đã cho trở thành :USD \ frac { { 16 } } { { 27 } } { \ left [ { \ frac { 3 } { 4 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) } \ right ] ^ 3 } + \ frac { 3 } { 4 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 2 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + 8 { t ^ 3 } – 1 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = – 4 \ pm \ sqrt { 17 } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { – 4 \ pm \ sqrt { 17 } } } $Với hai giá trị này thì chỉ tìm được một giá trị USD x USD tương ứng là USD x = \ frac { 3 } { 4 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { – 4 \ pm \ sqrt { 17 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { 4 \ pm \ sqrt { 17 } } } } \ right ) USD .Đây chính là nghiệm duy nhất của phương trình .e ) Phân tích, nháp : dạng khuyết $ { x ^ 2 } $, chưa có dạng tỉ lệ USD 1 : 3 $ hay USD 1 : \ left ( { – 3 } \ right ) USD hay USD 4 : \ left ( { – 3 } \ right ) USD, … nên phải dùng phép đặt USD x = ky USD để đưa về dạng tỉ lệ USD 1 : \ left ( { – 3 } \ right ) USD ( do thông số trước $ { x ^ 3 } $ và thông số trước USD x USD trái dấu ) .Để tìm được USD k = \ frac { 2 } { 3 } \ to USD đặt USD x = \ frac { 2 } { 3 } y $ và rút gọn thu được phương trình :Phương trình ẩn USD y $ này có nghiệm duy nhất nên ta sẽ dùng phép đổi biến USD y = t – \ frac { 1 } { t } USD. Tất nhiên ta không quên chứng tỏ phương trình ẩn USD y $ vô nghiệm trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ để hoàn toàn có thể có phép đổi biến đó .USD f \ left ( y \ right ) = { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 27 } } { 8 } \ to \ left \ { \ begin { array } { l } f \ left ( { – 2 } \ right ) = \ frac { { 11 } } { 8 } \ \ f \ left ( 2 \ right ) = \ frac { { 43 } } { 8 } \ end { array } \ right. \ to USD chứng tỏ USD f \ left ( x \ right ) \ ge \ frac { { 11 } } { 8 } $ trên $ \ left [ { – 2 ; 2 } \ right ] $ .Giải : Đặt USD x = \ frac { 2 } { 3 } y $ thì phương trình đã cho trở thành :USD 3 { \ left ( { \ frac { { 2 y } } { 3 } } \ right ) ^ 3 } – 4 \ left ( { \ frac { { 2 y } } { 3 } } \ right ) + 3 = 0 \ Leftrightarrow { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 27 } } { 8 } = 0 \ left ( * \ right ) USDTa có $ { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 27 } } { 8 } = \ left ( { y + 2 } \ right ) { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + \ frac { { 11 } } { 8 } \ ge \ frac { { 11 } } { 8 } \ forall y \ in \ left ( { – 2 ; 2 } \ right ) USDVậy nên phương trình có nghiệm khi $ \ left | y \ right | > 2 USD, lúc này hoàn toàn có thể USD y = t – \ frac { 1 } { t } $ và ( * ) trở thành :USD { \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } – 3 \ left ( { t + \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { { 27 } } { 8 } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } + \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + \ frac { { 27 } } { 8 } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + \ frac { { 27 } } { 8 } { t ^ 3 } + 1 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 27 \ pm \ sqrt { 473 } } } { { 16 } } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 27 \ pm \ sqrt { 473 } } } { { 16 } } } } $Với hai giá trị này của USD t $ thì chỉ ứng với một giá trị của USD x USD làUSD x = \ frac { 2 } { 3 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 27 + \ sqrt { 473 } } } { { 16 } } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 27 + \ sqrt { 473 } } } { { 16 } } } } } \ right ) USDf ) Phân tích : dạng khuyết $ { x ^ 2 } $, thông số trước $ { x ^ 3 } $ và thông số trước USD x USD cùng dấu nên dùng hai phép đặt USD x = ky USD vầ USD y = t – \ frac { 1 } { t } \ to USD tìm thông số USD k USD và gộp hai phép đặt vào một bước !Giải : Đặt USD x = \ frac { 1 } { { \ sqrt { 15 } } } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) USD ( với $ { t \ ne 0 } $ ). Phương trình đã cho trở thành :USD \ begin { array } { l } 5 { \ left [ { \ frac { 1 } { { \ sqrt { 15 } } } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) } \ right ] ^ 3 } + \ frac { 1 } { { \ sqrt { 15 } } } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 2 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } + \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + 6 \ sqrt { 15 } = 0 \ \ \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + 6 \ sqrt { 15 } { t ^ 3 } – 1 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = – 3 \ sqrt { 15 } \ pm 2 \ sqrt { 34 } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { – 3 \ sqrt { 15 } \ pm 2 \ sqrt { 34 } } } \ end { array } $Với hai giá trị này của USD t $ thì chỉ ứng với một giá trị của USD x USD làUSD x = \ frac { 1 } { { \ sqrt { 15 } } } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { – 3 \ sqrt { 15 } + 2 \ sqrt { 34 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { 3 \ sqrt { 15 } + 2 \ sqrt { 34 } } } } \ right ) USDg ) Phân tích : Đầu tiên khử số hạng bậc hai bằng phép đặt USD x = z – \ frac { b } { { 3 a } } $ :USD { \ left ( { z + \ frac { 1 } { 3 } } \ right ) ^ 3 } – { \ left ( { x + \ frac { 1 } { 3 } } \ right ) ^ 2 } + 2 \ left ( { z + \ frac { 1 } { 3 } } \ right ) + 9 = 0 \ Leftrightarrow { z ^ 3 } + \ frac { 5 } { 3 } z + \ frac { { 259 } } { { 27 } } = 0 USDTiếp tục đặt USD z = ky USD để quy về tỉ lệ USD 1 : 3 USD, khi đó : $ \ frac { { { k ^ 3 } } } { 5 } = \ frac { 1 } { 3 } \ Leftrightarrow k = \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } $Tỉ lệ USD 1 : 3 $ thì ta dùng thêm phép USD y = t – \ frac { 1 } { t } $, Kết luận ta đặt :USD x = z + \ frac { 1 } { 3 } = \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { 1 } { 3 } $Giải : Do $ t – \ frac { 1 } { t } $ có tập giá trị là $ R $ nên ta hoàn toàn có thể thực thi phép đặtUSD x = \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { 1 } { 3 } $Lúc đó phương trình đã cho trở thành :USD { \ left [ { \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { 1 } { 3 } } \ right ] ^ 3 } + { \ left [ { \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { 1 } { 3 } } \ right ] ^ 2 } + 2 \ left [ { \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { 1 } { 3 } } \ right ] + 9 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow \ frac { { 5 \ sqrt 5 } } { 3 } { \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } + \ frac { { 5 \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + \ frac { { 259 } } { { 27 } } = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + \ frac { { 259 } } { { 5 \ sqrt 5 } } = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + \ frac { { 259 } } { { 5 \ sqrt 5 } } { t ^ 3 } – 1 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 259 \ pm 3 \ sqrt { 7509 } } } { { 10 \ sqrt 5 } } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 259 \ pm 3 \ sqrt { 7509 } } } { { 10 \ sqrt 5 } } } } $Với hai giá trị này của USD t $ thì ứng với duy nhất một giá trị của USD x USD làUSD x = \ frac { { \ sqrt 5 } } { 3 } \ left ( { \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 259 + 3 \ sqrt { 7509 } } } { { 10 \ sqrt 5 } } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 10 \ sqrt 5 } } { { 259 – 3 \ sqrt { 7509 } } } } } } \ right ) + \ frac { 1 } { 3 } $h ) Đặt USD x = z – \ frac { 1 } { 6 } $ thì phương trình đã cho trở thành :USD 2 { \ left ( { x – \ frac { 1 } { 6 } } \ right ) ^ 3 } + { \ left ( { z – \ frac { 1 } { 6 } } \ right ) ^ 2 } = 9 \ left ( { z – \ frac { 1 } { 6 } } \ right ) + 2 – 0 \ Leftrightarrow 2 { z ^ 3 } – \ frac { { 55 } } { 6 } z + \ frac { { 96 } } { { 27 } } = 0 USDTiếp tục đặt USD z = \ frac { { 96 } } { { 27 } } y $ thì phương trình ẩn USD z USD trên trở thành :USD 2 { \ left ( { \ frac { { y \ sqrt { 55 } } } { 6 } } \ right ) ^ 3 } = \ frac { { 55 } } { 6 } \ left ( { \ frac { { y \ sqrt { 55 } } } { 6 } } \ right ) + \ frac { { 96 } } { { 27 } } = 0 \ Leftrightarrow { y ^ 3 } – 3 y + \ frac { { 384 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } = 0 \ left ( * \ right ) $ xét khi $ \ left | y \ right | \ le 2 USD, lúc đó hoàn toàn có thể USD y = 2 \ cos t USD ( với USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $ và ( * ) trở thành :USD 8 { \ cos ^ 3 } t – 6 \ cos t + \ frac { { 384 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } = 0 \ Leftrightarrow \ cos 3 t = \ frac { { 192 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } $ $ \ Leftrightarrow 3 t = \ pm ar \ cos \ frac { { 192 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } + k2 \ pi \ Leftrightarrow t = \ pm \ frac { 1 } { 3 } \ arccos \ frac { { 192 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } + \ frac { { k2 \ pi } } { 3 } \ left ( { k \ in Z } \ right ) USDVới USD t \ in \ left [ { 0 ; \ pi } \ right ] $, ta tìm được 3 giá trị của USD t $ thỏa mãn nhu cầu là :USD { t_1 } = \ frac { 1 } { 3 } arccos \ frac { { 192 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } ; { t_2 } = \ frac { { – 1 } } { 3 } arccos \ frac { { 192 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } + \ frac { { 2 \ pi } } { 3 } $ và $ { t_3 } = \ frac { 1 } { 3 } arccos \ frac { { 192 } } { { 55 \ sqrt { 55 } } } + \ frac { { 2 \ pi } } { 3 } $

Từ đó kết luận nghiệm của phương trình đã cho (lưu ý phương trình bậc ba có nhiều nhất 3 nghiệm).

Tốt nghiệp cử nhân ngôn từ Anh năm 2010, với hơn 10 năm kinh nghiệm tay nghề trong việc giảng dạy về Tiếng Anh. Nguyễn Võ Mạnh Khôi là một trong những biên tập viên về mảng ngoại ngữ tốt nhất tại VerbaLearn. Mong rằng những chia sẽ về kinh nghiệm tay nghề học tập cũng như kiến thức và kỹ năng trong từng bài giảng sẽ giúp fan hâm mộ giải đáp được nhiều vướng mắc .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp