Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian và cách viết

Bài viết phương trình đường thẳng trong không gian bao gồm: các dạng phương trình đường thẳng trong không gian, cách viết phương trình đường thẳng trong không gian, ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian…

Tóm tắt nội dung bài viết

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian
Phương trình tham số
Phương trình chính tắc
Phương trình tổng quát đường thẳng trong không gian
Phương trình đường thẳng Ox trong không gian
Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng có vectơ chỉ phương
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian
Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian
Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương
Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác
Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác
Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian

Bao gồm 2 dạng là phương trình chính tắc và phương trình tham số .

Đường thẳng d đi qua điểm $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$

Bạn đang đọc: Các dạng phương trình đường thẳng trong không gian và cách viết

và có vec tơ chỉ phương $\vec{u}=(a,b,c)$ có:

Phương trình tham số

và có vec tơ chỉ phươngcó :

$\left\{\begin{matrix} x = x_{0} + at & \\ y = y_{0} + bt & \\ z = z_{0} + ct & \end{matrix}\right.$

Với $t\in R$

Phương trình chính tắc

$\frac{x-x_{0}}{a}=\frac{y-y_{0}}{b}=\frac{z-z_{0}}{c}$

Với $abc\neq 0$

Phương trình tổng quát đường thẳng trong không gian

Để viết được phương trình đường thẳng d ta quy d thành giao tuyến của mặt phẳng ( P ) và ( Q. ). Với

(P): $A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0$

(Q): $A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0$

Thì phương trình tổng quát của d là :

Xem Thêm Cách vệ sinh dây da đồng hồ tại nhà, chuẩn xác và hiệu quả không tưởng cập nhật 2022

$\left\{\begin{matrix} A_{1}x + B_{1}y + C_{1}z + D_{1} = 0 & \\ A_{2}x + B_{2}y + C_{2}z + D_{2} = 0 & \end{matrix}\right.$

Khi đó vector chỉ phương của d là $\vec{u_{d}} = \left [ \vec{n_{P}},\vec{n_{Q}}\right ]$

Phương trình đường thẳng Ox trong không gian

Đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng Oyz nên nhận véc tơ (1,0,0) của trục Ox làm vector chỉ phương. Mặt khác Ox lại đi qua điểm O (0,0,0) nên phương trình đường thẳng Ox là: $\left\{\begin{matrix} x = t & \\ y = 0 & \\ z = 0 & \end{matrix}\right.$

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Đường thẳng $d$ đi qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$ và đường thẳng $d'$ đi qua $M'_0(x'_0;y'_0;z'_0)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}=(a';b';c')$ . Khi đó:
+ và cùng nằm trong một mặt phẳng $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0$ .
+ và cắt nhau $\Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}=0\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$ .
+ $d \parallel d' \Leftrightarrow\begin{cases}\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\overrightarrow{0}\\ \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right] \ne\overrightarrow{0} \end{cases}$ .
+ $d \equiv d' \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]=\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{M_0M'_0}} \right]=\overrightarrow{0}$
+ và $d'$ chéo nhau $\Leftrightarrow\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]\overrightarrow{M_0M'_0}=\overrightarrow{0}$

Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

Đường thẳng đi qua và có vectơ chỉ phương và mặt phẳng $(P) : Ax+By+Cz+D=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(A;B;C)$ . Khi đó:
+ cắt $(P)\Leftrightarrow Aa+Bb+Cc \ne 0$
+ $d \parallel (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D \ne 0 \end{cases}$
+ $d \subset (P)\Leftrightarrow \begin{cases}Aa+Bb+Cc = 0 \\ Ax_0+by_0+Cz_0+D = 0 \end{cases}$
+ $d \perp (P) \Leftrightarrow \overrightarrow{u} \parallel \overrightarrow{n} \Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}} \right]=\overrightarrow{0}$

Góc giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và đường thẳng có vectơ chỉ phương. Gọi $0^\circ \le\phi \le 90^\circ$ là góc giữa hai đường thẳng đó ta có:
$\cos \phi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u'}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{u'}|}=\frac{|aa'+bb'+cc'|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{a'^2+b'^2+c'^2}}$

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Cho đường thẳng có vectơ chỉ phương và mặt phẳng $(P)$ có vectơ pháp tuyến . Gọi $0^\circ \le \psi \le 90^\circ$ là góc hợp bởi đường thẳng và mặt phẳng ta có:
$\sin \psi = \frac{\left| {\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}} \right|}{|\overrightarrow{u}|.|\overrightarrow{n}|}=\frac{|Aa+Bb+Cc|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Khoảng cách từ điểm $M_1(x_1;y_1;z_1)$ đến đường thẳng $\Delta$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}$

+ Cách $1:$
– Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$ qua $M_1$ và vuông góc với .
– Tìm tọa độ giao điểm $H$ của và mặt phẳng .
– d $(M_1, \Delta)=M_1H$ .
+ Cách $2:$ Sử dụng công thức: d $(M_1, \Delta)=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{M_1M_0},\overrightarrow{u}} \right]} \right|}{|\overrightarrow{u}|}$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau đi qua và có vectơ chỉ phương và đường thẳng $\Delta'$ đi qua và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u'}$ .
+ Cách
– Viết phương trình mặt phẳng chứa và song song với .
– Tính khoảng cách từ $M'_0$ tới mặt phẳng .
– d $(\Delta,\Delta')=$ d $(M'_0,(Q))$ .
+ Cách Sử dụng công thức: d $(\Delta,\Delta')=\frac{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right].\overrightarrow{M_0M'_0}} \right|}{\left| {\left[ {\overrightarrow{u},\overrightarrow{u'}} \right]} \right|}$ .

Ví dụ bài tập viết phương trình đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm $A\left( {1;2; - 3} \right)$ và song song với giá của vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 1;3;5} \right)$ .

Xem Thêm Top 10 máy phiên dịch tốt nhất năm 2020

Giải

Vì d song song với giá của vectơ $\overrightarrow u$ nên d nhận làm vectơ chỉ phương.

d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là nên có phương trình tham số :

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\\z = - 3 + 5t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Ví dụ 2. Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm $M\left( {1;4; 0} \right)$ , $N\left( {-2;4; 5} \right)$ .

Giải

$\overrightarrow MN = \left( { - 3;0;5} \right)$

Vì d đi qua hai điểm M và N nên vectơ $\overrightarrow {MN}$ có giá trùng với d $\Rightarrow \overrightarrow {MN}$ là vectơ chỉ phương của d.

Xem thêm: Trong “từ điển” của người trưởng thành, không có khái niệm của 2 từ “hiểu chuyện”: Hiểu chuyện là giả, chịu đựng mới là thật

d đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là nên có phương trình tham số :

$\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 4\\z = 5t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d có phương trình: $\frac{{x - 2}}{3} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{2}$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho OM vuông góc với d (với O là góc tọa độ).

Giải

Từ phương trình tham số của d, ta thấy d đi qua điểm $M\left( {2;0; - 1} \right)$ và có VTCP là $\overrightarrow u = \left( {3; - 1;2} \right)$ nên có phương trình tham số là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = -t\\z = -1+2t\end{array} \right.\,\,\,\left( {t \in R} \right)$

Vì $M \in d \Rightarrow M\left( {2 + 3t; - t; - 1 + 2t} \right)$ .

$\Rightarrow \overrightarrow {OM} = \left( {2 + 3t; - t; - 1 + 2t} \right)$

Vì $OM \bot d \Rightarrow \overrightarrow {OM} \bot \overrightarrow u \Rightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow u = 0$

$\Leftrightarrow 3\left( {2 + 3t} \right) + t + 2\left( { - 1 + 2t} \right) = 0$ $\Leftrightarrow 14t + 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{-2}{7}$

Vậy $M\left( {\frac{8}{7};\frac{2}{7}; - \frac{{11}}{7}} \right)$

Cách viết phương trình đường thẳng trong không gian

Dạng I: Viết phương trình đường thẳng bằng cách xác định vectơ chỉ phương

Ví dụ $1.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$d :\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{3}$ và mặt phẳng $P : x - y - z -1 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng đi qua $A(1;1;-2)$ , song song với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng $d .$
Lời giải :
Để tìm một VTCP của ta phải tìm hai VTPT không cùng phương của nó rồi tìm tích có hướng của hai vectơ này.
Như vậy, $\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[ {\overrightarrow{u_{d}};\overrightarrow{n_{P}}}\right]=(2;5;-3)$
Trong đó $\overrightarrow{u_{d}}=(2;1;3);\overrightarrow{n_{P}}=(1;-1;-1)$
đi qua và có VTCP $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;5;-3)$ nên có phương trình
$\Delta : \frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{5}=\frac{z+2}{-3}$
Ví dụ $2.$ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$\Delta :\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-1}$ và mặt phẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua $M(2;1;0)$ , cắt và vuông góc với .
Lời giải :
$\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2;1; -1)$ . Gọi $H = d \cap \Delta$ .
Do $H \in \Delta$ nên có thể giả sử $H(1+ 2t;-1+ t;-t) \\\Rightarrow \overrightarrow{MH} = (2t -1;t - 2;-t)$ .
$\overrightarrow{MH} \perp \overrightarrow{u_{\Delta}} \Leftrightarrow 2(2t -1) + ( t- 2) - (-t ) = 0 \\\Leftrightarrow t=\frac{2}{3} \Leftrightarrow \overrightarrow{u_{d}} = 3\overrightarrow{MH} = (1;-4;-2)$
$\Rightarrow d : \begin{cases}x=2+t \\ y= 1-4t\\z=-2t\end{cases}$

Dạng II: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến một đường thẳng khác

Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
$d : \frac{x+1}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-2}{2}$
và mặt phẳng $(P): x + 3y + 2z + 2 = 0$ . Lập phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng $(P),$ đi qua $M(2; 2; 4)$ và cắt đường thẳng $(d).$
Lời giải :
Đường thẳng $(d)$ có PT tham số : $\begin{cases}x=-1+3t \\ y=2-2t\\z=2+2t \end{cases}$ .
Mặt phẳng có VTPT $\overrightarrow{n} = (1; 3; 2)$
Giả sử $N(-1 + 3t ; 2 - 2t ; 2 + 2t) \in d \\\Rightarrow \overrightarrow{MN}= (3t - 3;-2t;2t - 2)$
Để $MN \parallel (P)$ thì $\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{n} = 0 \\\Leftrightarrow 1.(-1+3t)+3.(2-2t)+2.(2+2t)=0\\\Leftrightarrow t = 7 \Rightarrow \overrightarrow{MN}= (18;-14;12)$
Do $\Delta \parallel MN$ nên chọn $\overrightarrow{u_{\Delta}}= (9;-7;6)$
Phương trình đường thẳng $\Delta : \frac{x-2}{9}=\frac{y-2}{-7}=\frac{z-4}{6}$

Xem Thêm 26 câu nói tiếng Anh hài hước sẽ khiến bạn phải bật cười

Dạng III: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến hai đường thẳng khác

Ví dụ Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(-4;-5;3)$ và cắt cả hai đường thẳng: $d_1 : \begin{cases}2x+3y+11=0 \\ y-2z+7=0 \end{cases}$ và $d_2 : \frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{-5}$
Lời giải :
Viết lại phương trình các đường thẳng: $d_1: \begin{cases}x=5-3t_1 \\ y=-7+2t_1 \\z=t_1\end{cases} (t_1 \in \mathbb{R}), \\d_2: \begin{cases}x=2+2t_2 \\ y=-1+3t_2 \\z=1-5t_2\end{cases} (t_2 \in \mathbb{R})$
Gọi $A = d \cap d_1,B = d \cap d_2 \\\Rightarrow A(5 - 3t_1;-7 + 2t_1;t_1), \\B(2 + 2t_2;-1+ 3t_2;1- 5t_2).$
$\overrightarrow{MA} = (-3t_1 + 9;2t_1 - 2;t_1 - 3), \\\overrightarrow{MB} = (2t_2 + 6;3t_2 + 4;-5t_2 - 2)$
$\left[ {\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] = (-13t_1t_2 - 8t_1 +13t_2 +16;\\-13t_1t_2 + 39t_2;-13t_1t_2 - 24t_1 + 31t_2 + 48)$
$M, A, B$ thẳng hàng $\Leftrightarrow \overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}$ cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}} \right] =\overrightarrow{0}$
$\Rightarrow A(-1;-3;2),B(2;-1;1) \\\Rightarrow \overrightarrow{AB} = (3;2;-1)$
Đường thẳng qua $M(-4; -5; 3)$ và có VTCP $\overrightarrow{AB} = (3;2;-1)$
$\Rightarrow d: \begin{cases}x=-4-3t \\ y=-5+2t \\z=3-t\end{cases} (t \in \mathbb{R})$

Dạng IV: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d): \begin{cases}x=2+4t \\ y=3+2t \\z=-3+t\end{cases}$ và mặt phẳng $(P): -x + y + 2z + 5 = 0$ . Viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ nằm trong song song với và cách một khoảng là $\sqrt{14}$ .
Lời giải :
Chọn $A(2;3; -3), B(6;5; -2) \in (d),$ mà thấy rằng $A, B \in (P)$ nên $(d) \subset (P) .$
Gọi là VTCP của $( d_1) \subset (P)$ , qua $A$ và vuông góc với thì $\begin{cases}\overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_d} \\ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{u_P} \end{cases}$
nên ta chọn $\overrightarrow{u} = [\overrightarrow{u_d} ,\overrightarrow{u_P} ] = (3;-9;6)$ .
Phương trình của đường thẳng $( d_1) : \begin{cases}x=2+3t \\ y=3-9t \\z=-3+6t\end{cases}$
Lấy $M(2+3t; 3 -9t; -3+6t) \in ( d_1)$ . là đường thẳng qua $M$ và song song với
Theo đề : $AM=\sqrt{14}\Leftrightarrow \sqrt{9t^2+81t^2+36t^2}=\sqrt{14}\\\Leftrightarrow 9t^2=1\Leftrightarrow t=\pm \frac{1}{3}$
Với $t= \frac{1}{3}\Rightarrow M(1;6;-5)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{4}=\frac{y-6}{2}=\frac{z+5}{1}$
Với $t= -\frac{1}{3}\Rightarrow M(3;0;-1)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-3}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}$
Ví dụ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $(d): \begin{cases}x=2+t \\ y=1-t \\z=1-3t\end{cases}$ và mặt phẳng $(P): x + y -z + 1= 0$ . Gọi $I$ là giao điểm của và $(P).$ Viết phương trình của đường thẳng nằm trong, vuông góc với sao cho khoảng cách từ đến bằng $3 \sqrt 2$ .
Lời giải :
có VTPT $\overrightarrow{n_P}= (1;1;-1)$ và có VTCP $\overrightarrow{u}= (1;-1;-3) .$
$I = d \cap (P)\\\Rightarrow I(x=2+t ; y=1-t ;z=1-3t) \in (P) \\\Rightarrow I(1;2;4)$
Vì $\Delta \subset (P); \Delta \perp d \Rightarrow \Delta$ có véc tơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{u}]=(-4;2;-2)$
Gọi là hình chiếu của trên $\Delta \Rightarrow H \in mp(Q)$ qua và vuông góc
$\Rightarrow$ Phương trình $(Q): -4(x -1) + 2(y - 2) -2(z - 4) = 0\\\Leftrightarrow -2x + y - z + 4 = 0$
Gọi $d_1 = (P) \cap (Q)\Rightarrow d_1$ có VTCP $\overrightarrow{u_{d_1}}=[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}] = (0;3;3) = 3(0;1;1)$ và $d_1$ qua $I\Rightarrow d_1 : \begin{cases}x=1 \\ y=2+t \\z=4+t\end{cases}$
Giả sử $H \in d_1 \Rightarrow H(1;2 + t;4 + t) \Rightarrow\overrightarrow{IH} = (0;t;t)$
Ta có:
$IH=3\sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt{2t^2}=3\sqrt 2\Leftrightarrow \left[ {\begin{matrix} t=3\\t=-3 \end{matrix}} \right.$
Với $t=3\Rightarrow H(1;5;7)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y-5}{1}=\frac{z-7}{-1}$
Với $t= -3\Rightarrow M(1;-1;1)\\\Rightarrow (\Delta) :\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{-1}$
Sotayhoctap chúc các bạn học tốt!