[Cách viết] Phương Trình Đường Tròn, Phương Trình Tiếp Tuyến Của Đường Tròn – Công Thức Toán

Ibaitap : Qua bài [ Cách viết ] Phương trình đường tròn cùng tìm hiểu và khám phá những kỹ năng và kiến thức về phương trình đường tròn, những dạng bài tập thường gặp và hướng dẫn giải thuật cụ thể bài tập vận dụng .

I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Xét đường tròn tâm I ( a, b ) có nửa đường kính R, ta có phương trình đường tròn là :

(x – a)² + (y – b)² = R²

Xét phương trình tổng quát của đường tròn tâm I ( a, b ) có nửa đường kính R là :

x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 trong đó \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\) (đk: a² + b² – c  > 0)

II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

Xét đường tròn tâm I(a, b), cho điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (I), gọi ∆ là tiếp tuyến với (I) tại Mo, ta có phương trình tiếp tuyến ∆:

(∆): \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)

III. CÁCH DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc 2 là phương trình đường tròn, xác định tâm và bán kính của đường tròn.

Cách 1: 

Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) (x – a)² + (y – b)² = m.

Bước 2: Xét m:

• Nếu m < 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
• Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{m}\).

Cách 2: 

Bước 1: Đưa phương trình bậc 2 đã cho về dạng: (C) x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Bước 2: Xét m = a² + b² – c:

• Nếu m ≤ 0 ⇒ (C) không phải là phương trình đường tròn.
• Nếu m > 0 ⇒ (C) là phương trình đường tròn tâm I(a, b) có bán kính \( R= \sqrt{a^2+b^2-c}\).

Dạng 2: Lập phương trình đường tròn đi qua các điểm cho trước

Cách 1: 

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) đi qua 2 điểm A, B cho trước ⇔ IA² = IB² = R².

Bước 2: Dựa vào tọa độ tâm I tìm được bán kính R đường tròn (C): IA² = IB² = R².

Bước 3: Viết phương trình (C) có dạng: (x – a)² + (y – b)² = R².

Cách 2: 

Bước 1: Ta có phương trình tổng quát đường tròn (C) cần tìm là: x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Bước 2: Từ điều kiện của bài toán đã cho thiết lập hệ phương trình 3 ẩn a, b, c.

Bước 3:  Giải hệ phương trình tìm a, b, c thay vào phương trình đường tròn (C): x² + y² – 2ax – 2by + c = 0.

Dạng 3:Viết phương trình đường tròn khi tiếp xúc với đường thẳng cho trước.

Dựa vào những đặc thù của tiếp tuyến đường tròn :

• Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) d(I,Δ) = R.
• Đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng (Δ) tại điểm A ⇔ d (I,Δ) = IA = R.
• Đường tròn (C) tiếp xúc với 2 đường thẳng (Δ1) và (Δ2) ⇔ d (I,Δ1) = d (I,Δ2) = R.

Dạng 4: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết phương trình đường tròn cho trước.

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn tại điểm \( M_o(x_o; y_o)\) thuộc đường tròn (C) cho trước:

Bước 1: Tìm tọa độ tâm I(a; b) của đường tròn (C) cho trước.

Bước 2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại \( M_o(x_o; y_o)\) có dạng: \( (x_o-a).(x-x_o)+(y_o-b).(y-y_o)=0\)

Loại 1: Lập phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn khi chưa biết tiếp điểm:

Dựa vào đặc thù của tiếp tuyến đường tròn ( C ) tâm I, nửa đường kính R ⇔ d ( I, ∆ ) = R .

Dạng 4: Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác

III. BÀI TẬP MINH HỌA VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC

Ví dụ: Phương trình đường tròn (C) đi qua 3 điểm A(4;-1), B(0;3), C(4;7). Lập phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A.

Lời giải tham khảo:

Ta có phương trình tổng quát đường tròn ( C ) có dạng : x² + y² – 2 ax – 2 by + c = 0 .Vì ( C ) đi qua 3 điểm A, B, C nên thay lần lượt toạ độ A, B, C vào phương trình đường tròn ( C ) ta có hệ sau :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } 4 ^ 2 + ( – 1 ) ^ 2 – 2 a. 4 – 2 b. ( – 1 ) + c = 0 \ \ 0 ^ 2 + 3 ^ 2 – 2 a. 0 – 2 b. 3 + c = 0 \ \ 4 ^ 2 + 7 ^ 2 – 2 a. 4 – 2 b. 7 + c = 0 \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } – 8 a + 2 b + c = – 17 \ \ – 2 b + c = – 9 \ \ – 8 a – 14 b + c = – 65 \ end { matrix } \ right. \ )\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } a = 4 \ \ b = 3 \ \ c = – 9 \ end { matrix } \ right. \ )⇒ Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4 ; 3 ) .

Phương trình đường tròn (C) là: (x – 4)² + (y – 3)² = 16.

Đường tròn (C) có tâm I(4;3) có tiếp tuyến (∆) tại điểm A(4;-1):

⇒ = ( 4 – 4 ). ( x – 4 ) + ( – 1 – 3 ). ( y + 1 ) = 0 ⇔ y = – 1

Phương trình tiếp tuyến (∆) tại điểm A: y = -1

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp