Tóm tắt nội dung bài viết
1. Định nghĩa phương trình đường elip lớp 10
Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định và thắt chặt F1 và F2. Elip là tập hợp những điểm M sao cho tổng USD F_ { 1 } M + F_ { 2 } M = 2 a $ không đổi .
Trong đó những điểm USD F_ { 1 }, F_ { 2 } $ gọi là tiêu điểm của elip .
Khoảng cách $F_{1}F_{2}=2c$ gọi là tiêu cự của elip.
2. Phương trình chính tắc của đường elip
Cho elip có tiêu điểm USD F_ { 1 }, F_ { 2 } $ chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho USD F_ { 1 } ( – c ; 0 ) USD và $ F_ { 2 } ( c ; 0 ) USD. Khi đó người ta chứng tỏ được :
USD M \ left ( x ; y \ right ) \ epsilon USD elip $ \ Rightarrow \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 USD ( 1 )
Trong đó : USD b ^ { 2 } = a ^ { 2 } – c ^ { 2 } $
Phương trình ( 1 ) được gọi là phương trình chính tắc của đường elip .
Ví dụ : Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E ) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Hãy viết phương trình chính tắc của elip ( E ) ?
Giải :
Phương trình chính tắc của elip có dạng $ \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 $ ( a, b > 0 ) .
Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2 a = 12 => a = 6
Ta có độ bé bằng 6 nên 2 b = 6 => b = 3
Vậy phương trình của Elip là : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 36 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 USD
3. Thành phần và hình dạng của elip
Với elip ( E ) có phương trình ( 1 ) :
Nếu điểm M ( x ; y ) thuộc ( E ) thì những điểm USD M_ { 1 } $ ( – x ; y ), $ M_ { 2 } $ = ( x ; – y ) cũng thuộc ( E ) .
Vậy ( E ) có :
+ Các trục đối xứng : Ox, Oy
+ Tâm đối xứng là gốc O
Thay y = 0 vào ( 1 ) ta có USD x = \ pm a $, suy ra ( E ) cắt Ox tại hai điểm USD A_ { 1 } $ = ( – a ; 0 ) và $ A_ { 2 } = ( a ; 0 ) USD .
Tương tự thay x = 0 vào ( 1 ) ta được y = b, vậy ( E ) cắt Oy tại hai điểm USD B_ { 1 } = ( 0 ; – a ), B_ { 2 } = ( a ; 0 ) USD .
Các điểm USD A_ { 1 }, A_ { 2 }, B_ { 1 }, B_ { 2 } $ gọi là những đỉnh của elip .
Trong đó đoạn thẳng USD A_ { 1 }, A_ { 2 } $ là trục lớn, đoạn thẳng USD B_ { 1 }, B_ { 2 } $ là trục nhỏ của elip .
Ví dụ : Xác định độ dài những trục, toạ độ những tiêu điểm, toạ độ những đỉnh và vẽ elip ( E ) có phương trình : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 USD
Giải :
Vì phương trình đường elip có dạng $ \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 USD
$\left\{\begin{matrix}a^{2}=25\\ b^{2}=9\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=5\\ b=3\end{matrix}\right.$
USD c = \ sqrt { a ^ { 2 } – b ^ { 2 } } = 4 USD
Vậy ( E ) có :
– Trục lớn : USD A_ { 1 } A_ { 2 } $ = 2 a = 10
– Trục nhỏ : USD B_ { 1 } B_ { 2 } $ = 2 b = 6
– Hai tiêu điểm : USD F_ { 1 } $ ( – 4 ; 0 ), $ F_ { 2 } USD ( 4 ; 0 )
– Bốn đỉnh : USD A_ { 1 } $ ( – 5 ; 0 ), $ A_ { 2 } $ ( 5 ; 0 ), USD B_ { 1 } USD ( 0 ; – 3 ), $ B_ { 2 } USD ( 0 ; 3 ) .
4. Các dạng bài tập về phương trình đường elip
Câu 1 : Cho Elip ( E ) : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 16 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 12 } = 1 $ và điểm M nằm trên ( E ). Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1 thì những khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của ( E ) bằng bao nhiêu ?
Giải :
Ta có USD a ^ { 2 } = 16, b ^ { 2 } = 12 USD
nên $c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$
$\Rightarrow a=4;c=2$ và hai tiêu điểm $F_{1}$(-2; 0); $F_{2}$(2;0)
Điểm M thuộc ( E ) và $ x_ { M } = 1 \ Rightarrow y_ { M } \ pm \ frac { 3 \ sqrt { 5 } } { 2 } $
Tâm sai của elip $e=\frac{c}{a}\Rightarrow e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow MF_{1}=a+ex_{M}=4+0.5=4.5$
$MF_{2}=a-ex_{M}=4-0.5=3.5$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $2\sqrt{5}$.
Giải :
Gọi phương trình chính tắc của elip ( E ) có dạng : $ \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } $ với a > b > 0
Tâm sai USD e = \ frac { c } { a } = \ frac { \ sqrt { 3 } } { 3 } \ Leftrightarrow c ^ { 2 } = \ frac { a ^ { 2 } } { \ sqrt { 3 } } $ .
Độ dài đường chéo hình chữ nhật $ \ sqrt { \ left ( 2 a \ right ) ^ { 2 } + \ left ( 2 b \ right ) ^ { 2 } } = 2 \ sqrt { 5 } \ Leftrightarrow a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 5 \ Leftrightarrow b ^ { 2 } = 5 – a ^ { 2 } $
Khi đó : USD a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + c ^ { 2 } \ Leftrightarrow a ^ { 2 } = 5 – a ^ { 2 } + \ frac { a ^ { 2 } } { 3 } \ Leftrightarrow a ^ { 2 } = 3 \ Rightarrow b ^ { 2 } = 2 USD
Vậy phương trình chính tắc của elip ( E ) cần lập là : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 3 } + \ frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1 USD
Câu 3 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip ( E ) biết rằng elip ( E ) có hai tiêu điểm USD F_ { 1 }, F_ { 2 } $, với USD F_ { 1 } ( – \ sqrt { 3 } ; 0 ) USD và có một điểm M thuộc ( E ) để tam giác F1MF2 vuông tại M và có S = 1 .
Giải :
Gọi phương trình chính tắc của elip ( E ) có dạng : $ \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } $ với a > b > 0
Với USD F_ { 1 } ( – \ sqrt { 3 } ; 0 ) USD, suy ra USD c = \ sqrt { 3 } $ => $ a ^ { 2 } – b ^ { 2 } – c ^ { 2 } = 3 $ hay USD a ^ { 2 } = b ^ { 2 } + 3 USD ( 1 )
Gọi $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$
$\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
\vec{MF_{1}}=\left ( -\sqrt{3}-x_{0};-y_{0}\right )\\ \vec{MF_{2}}=\left ( \sqrt{3} -x_{0};-y_{0}\right )\end{matrix}\right.$
Khi đó: $\widehat{F_{1}MF_{2}}=90^{\circ}$
$\Leftrightarrow \overline{MF_{1}}.\overline{MF_{2}}=0$
$\Leftrightarrow x_{0}^{2}-3+y_{0}^{2}=0$
$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=3$
Ta có: $S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}d(M,Ox).F_{1}F_{2}=\frac{1}{2}\left | y_{0} \right |.2\sqrt{3}=\sqrt{3}\left | y_{0} \right |=1$
$\Leftrightarrow y_{0}^{2}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow x_{0}^{2}=\frac{8}{3}$
Mặt khác $M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)$
$\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \frac{8}{3a^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}=1$ (2)
Thay (1) vào (2) ta được: $\frac{8}{3(b^{2}+3)}+\frac{1}{3b^{2}}=1\Leftrightarrow 3b^{4}=3\Leftrightarrow b=1$ (do b>0)
$\Rightarrow a^{2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của elip ( E ) cần lập là : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 USD
Bài 4 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C ) : USD x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 8 USD. Biết ( E ) có độ dài trục lớn bằng 8 và ( E ) cắt ( C ) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông vắn. Hãy viết phương trình chính tắc elip ( E ) .
Giải :
Ta có phương trình chính tắc của elip ( E ) có dạng : $ \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 USD
– ( E ) có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra 2 a = 8 => a = 4 .
– ( E ) cắt ( C ) tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông vắn => 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai .
Ta giả sử A là một giao điểm của ( E ) và ( C ) thuộc đường phân giác Δ : y = x .
– Gọi $ A ( t ; t ) \ epsilon \ Delta $ ( t > 0 ). Ta có : $ A \ epsilon ( C ) \ Rightarrow t ^ { 2 } + t ^ { 2 } = 8 \ Leftrightarrow t = 2 USD ( vì t > 0 ) => A ( 2 ; 2 )
– Mà $ A \ epsilon ( E ) \ Rightarrow \ frac { 2 ^ { 2 } } { 4 ^ { 2 } } + \ frac { 2 ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \ Rightarrow b ^ { 2 } = \ frac { 16 } { 3 } $
Vậy phương trình chính tắc của elip ( E ) là : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 16 } + \ frac { y ^ { 2 } } { \ frac { 16 } { 3 } } = 1 USD
Câu 5 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip ( E ) có hai tiêu điểm USD F_ { 1 } ( – \ sqrt { 3 } ; 0 ), F_ { 2 } ( \ sqrt { 3 } ; 0 ) USD và đi qua điểm $ A ( \ sqrt { 3 } ; \ frac { 1 } { 2 } ) USD. Hãy lập phương trình chính tắc của ( E ) và với mọi điểm M thuộc ( E ), hãy tính giá trị biểu thức : USD P = MF_ { 1 } ^ { 2 } + MF_ { 2 } ^ { 2 } – 3OM ^ { 2 } – MF_ { 1 } MF_ { 2 } $ .
Giải :
– Gọi phương trình chính tắc của elip ( E ) có dạng : $ \ frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 $ với a > b > 0
( E ) có hai tiêu điểm USD F_ { 1 } ( – \ sqrt { 3 } ; 0 ), F_ { 2 } \ left ( \ sqrt { 3 } ; 0 \ right ) USD suy ra USD c = \ sqrt { 3 } $
– Khi đó a² – b² = c² = 3 ⇔ a² = b² + 3 => ( E ) : $ \ frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } + 3 } + \ frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 USD
– Với $A\left ( \sqrt{3};\frac{1}{2}\right )\epsilon (E)$ ⇔ $\frac{3}{b^{2}+3}+\frac{1}{4b^{2}}=1$ ⇔ $4b^{2}-b^{2}-3=0\Leftrightarrow \left ( 4b^{2}+3\right )\left ( b^{2}-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow b^{2}=1\Rightarrow a^{2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của ( E ) là : $ \ frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 USD
$M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
MF_{1}=a+\frac{c}{a}x_{0};MF_{2}=a-\frac{c}{a}x_{0}\\OM^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2};\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}=1\end{matrix}\right.$
Khi đó :
P = $ \ left ( a + \ frac { c } { a } x_ { 0 } \ right ) ^ { 2 } + \ left ( a – \ frac { c } { a } x_ { 0 } \ right ) ^ { 2 } – 3 ( x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } ) – ( a + \ frac { c } { a } x_ { 0 } ) ( a – \ frac { c } { a } x_ { 0 } ) USD
= USD x ^ { 2 } + \ frac { 3 c ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } x_ { 0 } ^ { 2 } – 3 ( x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } ) USD
= USD 4 + \ frac { 9 } { 4 } x_ { 0 } ^ { 2 } – 3 ( x_ { 0 } ^ { 2 } + y_ { 0 } ^ { 2 } ) USD
= $4-3(\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2})$
= 4-3 = 1
Vậy P = 1
Thông qua những kiến thức và kỹ năng trong bài viết, hy vọng những em đã hoàn toàn có thể vận dụng kim chỉ nan vào làm bài tập về phương trình đường elip. Để hoàn toàn có thể học thêm nhiều phần bài giảng mê hoặc và chi tiết cụ thể khác, những em hoàn toàn có thể truy vấn ngay Vuihoc. vn để ĐK thông tin tài khoản để khởi đầu quy trình học tập của mình nhé !
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận